交換演算子のソースを表示

{{翻訳直後|[[:en:Special:Redirect/revision/740798120|en:Exchange operator]]|date=2016年11月}}
{{参照方法|date=2016年11月}}

[[量子力学]]において、'''交換演算子''' (こうかんえんざんし '''exchange operator''') <math>\hat{P}</math> は[[フォック空間]]上の状態に作用する{{仮リンク|label=量子力学的演算子|演算子 (量子力学)|en|Operator (quantum mechanics)}}の一つをいう。交換演算子は、同時位置[[量子状態]] <math>\left|x_1, x_2\right\rangle</math> で記述される二つの[[同種粒子]]のラベルを取り替えるような作用を及ぼす<ref>{{Cite book|author=J.S. Townsend|title=A modern approach to quantum mechanics|url=https://books.google.com/books?id=3_7uriPX028C&pg=PA342&lpg=PA342&dq=Exchange+operator+quantum+mechanics#v=onepage&q=Exchange%20operator%20quantum%20mechanics&f=false|edition=2|series=International series in pure and applied physics|year=2000|publisher=University Science Books|ISBN=1891389130|page=342|volume=69|number=|journal=}}</ref>。これらの粒子は区別が不可能であるから、[[同種粒子|交換対称性]]の考え方から交換演算子は[[ユニタリー性 (物理学)|ユニタリ演算子]]であることが要請される。

== 構成 ==
{{Main|交換相互作用}}
{{multiple image
| footer    = 2 + 1 次元空間上の二つの粒子の回転による交換。回転が等価でないため、(二次元空間平面を離れることなく）一方をもう一方へと変形させることができず、二次元空間における交換が不可能であることがわかる。
| width     = 150

| image1    = Particle exchange 2d anticlockwise.gif
| caption1      = 反時計周り

| image2    = Particle exchange 2d clockwise.gif
| caption2 = 時計周り
}}
三[[次元 (数学)|次元]]もしくはより高次元において、交換演算子は文字通りの粒子対の位置の交換を、別の粒子は固定したまま[[断熱過程]]の粒子運動により表現できる。そのような運動は実際には行われないことが多い。そのかわり、この演算子の作用は「あたかも」[[パリティ (物理学)|パリティ反転]]もしくは[[T対称性|時間反転]]のように扱われる。 このような粒子交換を二回反復することを考えると、
: <math>\hat{P}^2\left|x_1, x_2\right\rangle = \hat{P}\left|x_2, x_1\right\rangle = \left|x_1, x_2\right\rangle</math>
のようになるので、 <math>\hat{P}</math> はユニタリなだけでなく 1 の[[行列の平方根|平方根]]である必要があり、次のような可能性がある。
: <math>\hat{P}\left|x_1, x_2\right\rangle = \pm \left|x_1, x_2\right\rangle</math>
どちらの符号も自然界に実現されている。+1 となるような粒子を[[ボース粒子|ボソン]]と呼び、−1 となるような粒子を[[フェルミ粒子|フェルミオン]]と呼ぶ。[[スピン統計定理]]により、整数[[スピン角運動量|スピン]]を持つような粒子はすべてボソンとなり、半整数スピンを持つような粒子はすべてフェルミオンとなる。

交換演算子は[[ハミルトニアン]]と交換するため、{{仮リンク|保存量|en|Conserved quantity|preserve=1}}である。したがって、交換演算子の固有状態を基底とすることが常に可能であり、通常はそうすることが一番便利である。このような状態は同種ボソンの交換に対しては完全対称であり、同種フェルミオンの交換に対しては完全反対称である。{{仮リンク|反対称化演算子|en|Antisymmetrizer}}を用いてこのような反対称状態を構成することができる。

2次元の場合は、必ずしも断熱的な粒子交換が可能とは限らない。そのかわり、交換演算子の固有値は複素位相因子となる（その場合 <math>\hat{P}</math> はエルミートでなくなる）ことがある。このような場合については[[エニオン]]の項を参照されたい。厳密な1次元の場合、交換演算子を良く定義することはできないが、実効的に2次元系として振る舞うような1次元ネットワークを構築する方法がある。

== 量子化学 ==
[[量子化学]]における[[ハートリー＝フォック方程式|ハートリー・フォック法]]の文脈では、上述の交換統計から生じる[[交換相互作用]]エネルギーを推算するために修正された交換演算子が定義される。この方法では、次のようなエネルギー的交換演算子を定義することが多い。
: <math>\hat K_j (x_1) f(x_1)= \phi_j(x_1) \int { \frac{\phi_j^*(x_2)f(x_2)}{r_{12}}\mathrm dx_2}</math>
ここで、 <math>\hat K_j (x_1)</math> は1電子交換演算子、 <math> f(x_1) </math>,<math> f(x_2) </math> は交換演算子の作用する1電子[[波動関数]]を位置による関数表示したもの、 <math> \phi_j(x_1) </math> および <math> \phi_j(x_2) </math> は {{mvar|j}} 番目の電子の1電子波動関数を位置による関数表示したものである。これらの距離を {{Math|''r''<sub>12 </sub>}} と表わしている<ref>Levine, I.N., ''Quantum Chemistry'' (4th ed., Prentice Hall 1991) p.403. </ref>。1 および 2 というラベルは単に記法的な便宜上のものであり、物理的には「どの電子がどれか」を追跡する方法は存在しない。

== 関連項目 ==
* [[交換相互作用]]
* [[ハートリー-フォック方程式]]
* [[フォック演算子]]
* [[クーロン演算子]]

== 出典 ==
{{Reflist}}
* {{Cite news|author1=K. Kitaura|author2=K. Morokuma|year=2004|journal=International journal of quantum chemistry|title=A new energy decomposition scheme for molecular interactions within the Hartree-Fock approximation|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/qua.560100211/abstract;jsessionid=ACF30D173A2ECCB52C43518A1E2CC834.d03t02?deniedAccessCustomisedMessage=&userIsAuthenticated=false|volume=10|issue=2|pages=325–340|publisher=Wiley|doi=10.1002/qua.560100211|DOI=10.1002/qua.560100211}}
* {{Cite news|author1=Bylander, D. M.|author2=Kleinman, Leonard|year=1990|journal=Physical Review B (Condensed Matter)|title=Good semiconductor band gaps with a modified local-density approximation|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1990PhRvB..41.7868B/abstract|volume=41|issue=11|pages=7868–7871|publisher=|doi=10.1103/PhysRevB.41.7868|DOI=10.1103/PhysRevB.41.7868}}
* {{Cite news|author=A.P. Polychronakos|year=1992|journal=Phys.Rev.Lett|title=Exchange Operator Formalism for Integrable Systems of Particles|url=http://arxiv.org/pdf/hep-th/9202057v1.pdf|volume=69|issue=|pages=703–705|publisher=|doi=10.1103/PhysRevLett.69.703|DOI=10.1103/PhysRevLett.69.703}}
* {{Cite news|year=1957|title=On a new exchange potential|url=http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03156345|volume=7|issue=3|pages=357–364|publisher=Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae}}
* {{Cite news|author=R.K Nesbet|year=1958|journal=Annals of Physics|title=The Heisenberg exchange operator for ferromagnetic and antiferromagnetic systems|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0003491658900393|volume=4|issue=1|pages=87–103|location=Lincoln, Massachusetts, USA|publisher=Elsevier}}

== 外部リンク ==
* [http://www.cmth.ph.ic.ac.uk/people/p.haynes/thesis/node14.html 2.3.''Identical particles'', P. Haynes]
* [http://www.sonic.net/~rknop/php/astronomy/enma/enma_v0.29_12.pdf Chapter 12, ''Multiple Particle States'']
* [http://www.av8n.com/physics/exchange.htm ''Exchange of Identical and Possibly Indistinguishable Particles'', J. Denker]

{{量子力学}}

{{DEFAULTSORT:こうかんえんさんし}}
[[Category:量子化学]]