交換相互作用のソースを表示

[[物理学]]において、'''交換相互作用'''（こうかんそうごさよう、{{lang-en-short|exchange interaction}}、'''交換エネルギー'''とも）は、[[同種粒子]]間でのみ起こる[[量子力学]]的効果である。

この効果は[[同種粒子|区別ができない粒子]]の波動関数が[[同種粒子|交換対称性]]〔2つの粒子を交換した時に符号が変化しない（対称）または変化する（反対称）〕の対象なることによるものである。[[ボース粒子]]および[[フェルミ粒子]]のどちらも交換相互作用を経験しうる。フェルミ粒子では、これは'''パウリ反発'''と呼ばれることもあり、[[パウリの排他原理]]と関係している。ボース粒子では、交換相互作用は、[[ボース＝アインシュタイン凝縮]]において見られるように、同種粒子がすぐ近くに見出される原因となる引きつける性質の形を取る。

交換相互作用は、2つ以上の同種粒子の波動関数が重なり合う時の距離の{{仮リンク|期待値 (量子力学)|en|Expectation value (quantum mechanics)|label=期待値}}を変化させる。同種粒子間の距離の期待値は（区別ができる粒子の場合と比較して）、フェルミ粒子では増大し、ボース粒子では減少する<ref>{{cite book|author=[[デイヴィッド・グリフィス|David J. Griffiths]]|title=Introduction to Quantum Mechanics|edition= Second |pages=207–210|isbn=978-0131118928|year=2004|publisher=Pearson Prentice Hall}}</ref>。その他の帰結として、交換相互作用は[[強磁性]]や物質の体積に関与している。[[古典力学]]による交換相互作用の説明はできず、典型的な[[量子力学]]の効果のひとつである。

交換相互作用効果は、1926年に物理学者の[[ヴェルナー・ハイゼンベルク]]<ref>{{cite journal|title=Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik|author= W. Heisenberg|journal=Zeitschrift f&uuml;r Physik|volume=38|issue=6–7|year=1926|pages=411–426|doi=10.1007/BF01397160}}</ref>と[[ポール・ディラック]]<ref>{{cite journal|url=http://www.jstor.org/stable/94692|title=On the Theory of Quantum Mechanics|author= P. A. M. Dirac|journal=Proceedings of the Royal Society of London, Series A|volume=112|issue=762|year= 1926|pages=661–677}}</ref>によって独立に発見された。[[1928年]]、ハイゼンベルクが[[原子価結合法|ハイトラー-ロンドンの方法]]を使って交換相互作用（この場合特に直接交換相互作用とも言う）から[[強磁性]]の発現について議論した。ただし、この場合の交換相互作用による強磁性の実際の例は非常に少ないと思われている。

状態 '''i''', '''j''' に対する[[スピン角運動量|スピン]]に関する演算子をそれぞれ、{{math|'''''S'''''<sub>''i''</sub>}}、{{math|'''''S'''''<sub>''j''</sub>}}とすると、

{{Indent|<math> -2 J \boldsymbol{S}_i \cdot \boldsymbol{S}_j </math>}}

の形で表される相互作用が交換相互作用である。''J''は'''交換積分'''と言い、後で詳述する。

==ハートリー・フォック近似での交換相互作用==
最も簡単な場合として、2個の電子からなる系（2電子系）を考える。電子は半整数のスピンを持つ[[フェルミ粒子]]なので、これは2スピン系と考えることもできる。また、フェルミ粒子なので[[フェルミ統計]]に従い、[[パウリの排他原理]]により、2つの電子が同じ状態を占有することは禁止される。また、外場（原子の[[ポテンシャル]]など）や[[スピン軌道相互作用]]などは考えないこととする。

2電子系における電子の[[波動関数]] ''Ψ'' は[[スレーター行列式]]で表すと、

{{Indent|<math> \Psi = {1 \over \sqrt{2} } [ \psi_1 (\boldsymbol{x}_1) \psi_2 (\boldsymbol{x}_2) - \psi_1 (\boldsymbol{x}_2) \psi_2 (\boldsymbol{x}_1) ] </math>}}

となる。''ψ''<sub>1</sub>、''ψ''<sub>2</sub> は2電子系のそれぞれの電子に対応する波動関数で、これは座標 ''r'' に関する部分（軌道関数）とスピン σ に関する部分（スピン関数）とに変数分離できる（座標 '''''x''''' は、'''''x''''' = ('''''r''''', &sigma;) である）。

この2電子系の[[エネルギー固有値問題]]を解くと、2電子系（スピンをそれぞれ ''s''<sub>1</sub>、''s''<sub>2</sub>とする）の固有状態として'''スピン一重項''' (''s''<sub>1</sub> + ''s''<sub>2</sub> = 0) と'''スピン三重項''' (''s''<sub>1</sub> + ''s''<sub>2</sub> = 1) という2つの状態が出てくる。スピン一重項では軌道関数部分が座標の置換に対して対称で、スピン関数が反対称となり、スピン三重項ではその逆となる。このことからスピン一重項状態とスピン三重項状態とで系のエネルギーに差が生じる。このエネルギー差を引き起こすのが'''交換相互作用'''である。

軌道関数を ''φ''(''r'') として、スピン一重項の場合上の式での軌道関数部分は、

{{Indent|<math> \Psi_\mathrm{singlet} (\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = {1 \over {\sqrt{2}} } [ \phi_1 (\boldsymbol{r}_1) \phi_2 (\boldsymbol{r}_2) + \phi_1 (\boldsymbol{r}_2) \phi_2 (\boldsymbol{r}_1) ] </math>}}

となり、スピン三重項では、

{{Indent|<math> \Psi_\mathrm{triplet} (\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = {1 \over {\sqrt{2}} } [ \phi_1 (\boldsymbol{r}_1) \phi_2 (\boldsymbol{r}_2) - \phi_1 (\boldsymbol{r}_2) \phi_2 (\boldsymbol{r}_1) ] </math>}}

となる。系の[[ハミルトニアン]]を''H''として、ここでも外場としてのポテンシャルは考えず電子間相互作用の部分のみに着目すれば、ハミルトニアンの期待値、

{{Indent|<math> E_\mathrm{total} = \langle \Psi | H | \Psi \rangle </math>}}

の中身に、以下の2つの重要な項が出てくる。
:<math>\begin{align}
K &= \iint \phi_1^* (\boldsymbol{r}_1) \phi_2^* (\boldsymbol{r}_2) {e^2 \over {\alpha | \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2 | } } \phi_2 (\boldsymbol{r}_2) \phi_1 (\boldsymbol{r}_1) d \boldsymbol{r}_1 d \boldsymbol{r}_2 \\
J &= \iint \phi_1^* (\boldsymbol{r}_1) \phi_2^* (\boldsymbol{r}_2) {e^2 \over {\alpha | \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2 | } } \phi_2 (\boldsymbol{r}_1) \phi_1 (\boldsymbol{r}_2) d \boldsymbol{r}_1 d \boldsymbol{r}_2
\end{align}</math>
''K'' を'''クーロン積分'''、''J'' を'''交換積分'''と言う。後者は、電子の座標の交換によって出てくる項のためこの名が付いている。''&alpha;'' = 4&pi;''&epsilon;''<sub>0</sub> で、 ''ε''<sub>0</sub> は[[真空の誘電率]]である。

スピン一重項に対応する固有エネルギー部分は、

{{Indent|<math> E_\mathrm{singlet} = K + J </math>}}

スピン三重項に対応する固有エネルギー部分は、

{{Indent|<math> E_\mathrm{triplet} = K - J </math>}}

となる。これから交換積分が正の場合、エネルギーとして ''E''<sub>triplet</sub> の方が低くなり、スピン三重項（2つのスピンが平行）の方がよりエネルギー的に安定となる。逆に交換積分が負の場合、''E''<sub>singlet</sub> の方が低くなり、スピン一重項（2つのスピンが反平行）の方がより安定となる。このように交換積分の正負によりスピン一重項、三重項の間でエネルギー差とエネルギーの大小が生じ、これを引き起こすのが交換相互作用と言える。スピンが平行、反平行どちらがより安定であるかが、系の磁気構造（[[強磁性]]か[[反強磁性]]か）がどうなるかに深く関係する。

2電子のスピンを '''''s'''''<sub>1</sub>、'''''s'''''<sub>2</sub> として先のエネルギー部分 ''E'' を表すと、

{{Indent|<math> E = K - {1 \over 2} J [1 + 4 (\boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{s}_2 ) ] </math>}}

となる。この時、軌道関数 ''φ''<sub>1</sub>(''r'') と ''φ''<sub>2</sub>(''r'') は互いに直交する場合、交換積分 ''J'' は必ず正の値となる。上の式の右辺第2項は、今回のような特定の問題設定に対し有効なハミルトニアンで、'''有効ハミルトニアン'''とよぶ。

==交換積分 (''J'' &gt; 0) について==
軌道関数 ''φ''<sub>1</sub>(''r'') と ''φ''<sub>2</sub>(''r'') が互いに直交する場合、交換積分の式において、''e''<sup>2</sup>/|'''''r'''''<sub>1</sub> - '''''r'''''<sub>2</sub>| の部分を[[フーリエ変換]]すると、

:<math> {e^2 \over {| \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2 |} } \to {1 \over {\Omega}} \sum_{k} { 4 \pi e^2 \over {k^2}} e^{i \boldsymbol{k} \cdot (\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2) } </math>

となる。''Ω'' は系の体積で、''k'' は[[波数]]である。これを交換積分の式に代入して、 φ<sub>1</sub>(''r'') と φ<sub>2</sub>(''r'') が直交することから、

:<math>
\begin{align}
J & = \frac{1}{\Omega} \sum_{k} \frac{4 \pi e^2}{k^2} \iint d \boldsymbol{r}_1 d \boldsymbol{r}_2 \phi_1^* (\boldsymbol{r}_1) \phi_2^* (\boldsymbol{r}_2) e^{i \boldsymbol{k} \cdot (\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2)} \phi_2 (\boldsymbol{r}_1) \phi_1 (\boldsymbol{r}_2) \\
&= \frac{1}{\Omega} \sum_{k} \frac{4 \pi e^2}{k^2} \int d \boldsymbol{r}_1 \phi_1^* (\boldsymbol{r}_1) \phi_2 (\boldsymbol{r}_1) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}_1} \int d \boldsymbol{r}_2  \phi_1 (\boldsymbol{r}_2) \phi_2^* (\boldsymbol{r}_2) e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}_2 }
\end{align}
</math>

と書き表すことが出来る。''k''<sup>2</sup> は正であり、上の式の最下段の式の'''''r'''''<sub>1</sub>、'''''r'''''<sub>2</sub> に関してのそれぞれの積分は互いに独立かつ共役（''A''<sup>*</sup>''A'' &gt; 0、''A''：個々の積分部分）になっているので、その積は正の値となる。従って、この場合の交換積分は正となる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

==関連項目==
*[[電子ガス]]
*[[交換正孔]]
*[[超交換相互作用]]
*[[二重交換相互作用]]
*[[間接交換相互作用]]
*[[RKKY相互作用]]
*[[ジャロシンスキー・守谷相互作用]]
*[[電子相関]]


{{DEFAULTSORT:こうかんそうこさよう}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:固体物理学]]
[[Category:磁気]]
[[Category:インタラクション]]