交換関係 (量子力学)のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年3月}}
量子力学における'''交換関係'''（こうかんかんけい、{{lang-en-short|commutation relation}}）とは、[[演算子 (物理学)|演算子]]としてあらわされた[[物理量]]が満たす[[量子力学]]特有の関係である。

==定義==
二つの演算子（<math>\hat A</math>、<math>\hat B</math> とする）に対して、

:<math>\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \equiv [\hat A, \hat B]</math>

を'''[[交換子]]''' ({{lang-en-short|commutator}}) と言う。交換子も演算子であり、特に <math>\hat A</math>、<math>\hat B</math> がともに[[エルミート作用素|エルミート]]であるとき、交換子は歪エルミートとなる。量子力学において、この交換子を規定する関係が'''交換関係'''である。

普通の数はかける順序を逆にしても値は同じだが、量子力学における演算子は必ずしもそうではなく、<math>[\hat A, \hat B]</math> が <math>0</math> にならない場合がある。<math>[\hat A, \hat B] = 0</math> のとき、<math>\hat A</math> と <math>\hat B</math> は'''可換'''である、あるいは <math>\hat A</math> と <math>\hat B</math> は'''交換する'''という。<math>[\hat A, \hat B] \neq 0</math> のとき、<math>\hat A</math> と <math>\hat B</math> は'''非可換'''である、あるいは <math>\hat A</math> と <math>\hat B</math> は'''交換しない'''という。

<math>\hat A</math> と <math>\hat B</math> が可換なことと <math>\hat A</math>, <math>\hat B</math> の[[同時固有状態]]が存在することは等価である。

==性質==
交換子で定義される交換関係は次の性質を満たす。
*<math>[\hat A, \hat A] = 0</math>
*<math>[\hat A, \hat B] = - [\hat B, \hat A]</math> （交代性）
*<math>[\hat A, \hat B + \hat C] = [\hat A, \hat B] + [\hat A,\hat C]</math> （線形性）
*<math>[\hat A, \hat B \hat C] = [\hat A, \hat B] \hat C + \hat B [\hat A, \hat C]</math> （ライプニッツ則）
*<math>[[\hat A, \hat B], \hat C] + [[\hat B, \hat C], \hat A] + [[\hat C, \hat A], \hat B] = 0</math> （[[ヤコビの恒等式]]）

==正準交換関係==
演算子には物理量に対応するものがあり、特に正準共役な変数同士の交換関係を'''正準交換関係''' ({{lang-en-short|canonical commutation relations}}, CCR) と言う。正準共役な関係にある、[[座標]] <math>\hat{q}_j</math> と[[運動量]] <math>\hat{p}_k</math> で、

:<math>[\hat{q}_j, \hat{p}_k] = \hat{q}_j \hat{p}_k - \hat{p}_k \hat{q}_j = i \hbar \delta_{jk}</math>

という 交換関係が成り立つ（<math>\hbar=h/2\pi</math>で <math>h</math> は[[プランク定数]]）。勿論、古典論では上記の結果はゼロ（<math>[\hat q, \hat p] = 0</math>）となる。

==反交換関係==
<math>\hat{A} \hat{B} + \hat{B} \hat{A} \equiv \{\hat{A}, \hat{B}\}</math>

を'''反交換子''' ({{lang-en-short|anticommutator}}) といい、これから規定される関係を、'''反交換関係''' と言う。特に正準共役な変数同士の反交換関係を'''正準反交換関係''' ({{lang-en-short|canonical anticommutation relations}}, CAR) と言う。<math>[\hat A, \hat B]_{+}</math>という表式もしばしば用いられる。反交換子もまた演算子であり、特に <math>\hat A</math>、<math>\hat B</math> がともに[[エルミート作用素|エルミート]]であるとき、反交換子もまた[[エルミート作用素|エルミート]]となる。反交換関係は[[フェルミ粒子]]などを扱う際に用いられる。

== ポアソンの括弧式 ==
古典[[解析力学]]において、 [[正準座標]] <math>q</math> と [[正準変数|正準運動量]] <math>p</math> の関数 <math>A(q,p)</math> と <math>B(q,p)</math> に対して、
:<math>\{A,B\}\equiv\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}</math>
で定められる量を[[ハミルトン力学|ポアソンの括弧式]]という。[[ハミルトン力学|ポアソンの括弧式]]は次のような関係式を満たしている。
*<math>\{A,A\}=0</math>
*<math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>
*<math>\{aA+bB,C\}=a\{A,C\}+b\{B,C\}</math> （<math>a</math>、<math>b</math> は定数）
*<math>\{AB,C\}=A\{B,C\}+\{A,C\}B</math>
*<math>\{A,\{B,C\}\} + \{B,\{C,A\}\}+\{C,\{A,B\}\}=0</math> （[[ヤコビの恒等式]]）
*<math>\{q,p\}=1</math>
交換関係と同様の関係式を満たしており、量子力学での交換関係は古典力学のポアソンの括弧式に相当する。（[[正準量子化]]の項も参照）

==関連項目==
*[[演算子 (物理学)]]
*[[不確定性原理]]
*[[交換子]]
*[[リー代数]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:こうかんかんけい りようしりきかく}}
[[Category:量子力学]]