代数函数体のソースを表示

{{複数の問題| 要改訳 = 2015年2月|正確性 = 2015年2月}}
数学では、[[可換体|体]] {{mvar|k}} 上の {{mvar|n}} 変数の'''代数函数体''' (algebraic function field)（単に、'''函数体'''とも言う）は、{{mvar|k}} 上に[[超越次数]] {{mvar|n}} を持つ有限生成な[[体の拡大]] {{math|''K''/''k''}} である。同じことであるが<ref>{{cite book |authors=Gabriel Daniel and Villa Salvador|title=Topics in the Theory of Algebraic Function Fields|publisher=Springer |year= 2007|pages= |isbn=|url=https://books.google.com/books?id=RmKpEUltmQIC&printsec=frontcover&source=gbs_atb#v=onepage&q&f=false}}</ref>、{{mvar|k}} 上の {{mvar|n}} 変数の代数函数体は、{{mvar|k}} 上の {{mvar|n}} 変数の[[有理函数]]の体 {{math|''k''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} の[[有限拡大]]として定義できる。

== 例 ==
例として、[[多項式環]] {{math|''k''[''X'', ''Y'']}} において、[[既約多項式]] {{math|''Y''<sup>2</sup>&minus;''X''<sup>3</sup>}} により生成された[[イデアル]]を考え、[[剰余環]] ''k''[''X'',''Y'']/(''Y''<sup>2</sup>&minus;''X''<sup>3</sup>) の[[分数体]]を形成する。これは {{mvar|k}} 上の一変数の函数体であり、<math>k(X)(\sqrt{X^3})</math>、あるいは、<math>k(Y)(\sqrt[3]{Y^2})</math> と書くこともできる。代数函数体の次数はうまく定義できる考え方ではないことが分かる。

==カテゴリ構造==

''k'' 上の代数函数体は、[[圏 (数学)|圏]]を形成する。代数函数体 ''K'' から ''L'' への射は、すべての  ''a''&isin;''k'' に対して ''f''(''a'') = ''a'' となる[[環準同型]] ''f''&nbsp;:&nbsp;''K''&rarr;''L'' である。このような準同型は[[単射]]である。''K'' を ''n'' 変数の函数体、''L'' を ''m'' 変数の函数体、''n'' > ''m'' とすると、''K'' から ''L'' への射は存在しない。

==代数多様体、代数曲線、リーマン面から生ずる函数体==

{{mvar|k}} 上の次元 {{mvar|n}} の[[代数多様体の函数体]]は、{{mvar|k}} 上の {{mvar|n}} 変数の代数函数体である。

{{mvar|k}} 上の 1 変数の函数体は、本質的に{{仮リンク|正則スキーム|label=正則|en|regular scheme}}(regular)（つまり、滑らかで非特異な）射影既約代数曲線の函数体として生ずるので、{{math|''n'' {{=}} 1}} の場合（[[概型|スキーム]]の意味で既約代数曲線）は、特に重要である。事実、正規射影既約代数曲線（非定数の[[多様体の射|正則写像]]を射として持つ）の圏と、{{mvar|k}} 上の（射として {{mvar|k}}-線形体準同型をもつ）一変数函数体の圏との間の[[圏同値|圏の双対性]]（反変同値）が存在する。

連結な[[リーマン面]] {{mvar|X}} 上に定義された[[有理型函数]]の体 {{math|M(''X'')}} は、[[複素数]] '''C''' 上の一変数函数体である。実際、M は、コンパクトで連結なリーマン面の圏（非定数の正則写像を射としてもつ）と '''C''' 上の一変数函数体との間の反変圏同値である。同様な対応が、コンパクトで連結な{{仮リンク|クライン曲面|en|Klein surface}}(Klein surface)と '''R''' 上の一変数函数体との間にも存在する。

==数体と有限体==

数体と{{仮リンク|函数体との類似|en|function field analogy}}(function field analogy)は非常に重要で、'''函数体との類似'''は、19世紀に数体の[[整数環]]が代数曲線やコンパクトリーマン面の点や消えた数体の「無限点の座(infinite places)を加えたアフィン[[座標環]]に似ていることが発見された。この考え方は、さらに詳しく、[[大域体]]はすべて同じ基礎の上に扱うことができるということに現われている。さらに、複素数体上の[[楕円曲面]]も数体上の[[代数体]]上の[[楕円曲線]]と非常によく似ている。[[代数体|数体]]上の定理の大半が、[[有限体]]上の函数体の上で成り立つという事実である。有限体上の函数体での類似は、数体の定理に比較して容易に証明することができることが多い。（例えば、[[素数定理#有限体上の既約多項式での類似|有限体上の既約多項式での類似]]を参照。）この類似の脈絡では、数体と函数体のことを'''[[大域体]]'''と呼ぶことが多い。

有限体上の函数体の研究は、[[暗号理論]]や[[前方誤り訂正|誤りコード訂正]]への応用を持っている。例えば、[[楕円曲線]]の[[代数多様体の函数体|函数体]]（[[公開鍵暗号]]のための重要な数学的ツール）は代数函数体である。

[[有理数]]体上の函数体は[[ガロアの逆問題]]を解くことに重要な役割を果たす。

==定数の体==

''k'' 上の代数函数体 ''K'' が与えられると、''k'' の上に[[代数的な元|代数的な]] ''K'' の元を考えることができる。これらの元は体を形成し、代数函数体の'''定数の体'''として知られている。

たとえば、'''C'''(''x'') は '''R''' の一変数の函数体である。この定数の体は '''C''' である。

==付値と座==
代数函数体を研究する重要なツールは、{{仮リンク|絶対値 (代数)|label=絶対値、付値、座|en|absolute value (algebra)}}(absolute values, valuations, places)と付値体の完備化である。

一変数の代数函数体 ''K/k'' が与えられたとき、''K/k'' の'''付値環'''を定義する。この環は ''k'' を含み ''k'' とも ''K'' とも異なる ''K'' の[[部分環]] ''O'' であり、''K'' の任意の元 ''x'' に対し、''x''&isin;''O''、もしくは ''x''<sup>&nbsp;-1</sup>&isin;''O'' となるようなものである。そのような付値環は、[[離散付値環]]であり、その極大イデアルを ''K/k'' の'''座'''と呼ぶ。

''K/k'' の'''離散付値'''は、全射函数 ''v'' : ''K''&rarr;'''Z'''∪{&infin;} であって以下を満たすものである。''v''(x)&nbsp;=&nbsp;&infin; と ''x''&nbsp;=&nbsp;0 は同値であり、すべての ''x'',&nbsp;''y''&isin;''K'' に対し ''v''(''xy'')&nbsp;=&nbsp;''v''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''v''(''y'') および ''v''(''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')&nbsp;&ge;&nbsp;min(''v''(''x''),&nbsp;''v''(''y'')) が成り立ち、すべての ''a''&isin;''k''\{0} に対し ''v''(''a'')&nbsp;=&nbsp;0 が成り立つ。

''K/k'' の付値環の集合、''K/k'' の座の集合、''K/k'' の離散付値の集合の間には自然な全単射の対応が存在する。これらの集合に自然な位相構造を与えることができ、''K/k'' の{{仮リンク|ザリスキー・リーマン空間|en|Zariski–Riemann space}}(Zariski–Riemann space)となる。''k'' が代数的閉体の場合、''K/k'' のザリスキー・リーマン空間は ''k'' 上滑らかな曲線であり、''K'' はこの曲線の函数体である。

==関連項目==
*{{仮リンク|基本理論 (数論)|en|Infrastructure (number theory)}}(Infrastructure (number theory))
*[[代数多様体の函数体]]
*[[函数体 (スキーム論)]]
*[[代数関数|代数函数]](algebraic function)

== 参考文献 ==
<references/>

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{{デフォルトソート:たいすうかんすうたい}}
[[Category:体論]]
[[Category:数学に関する記事]]