代数多様体の函数体のソースを表示

{{要改訳}}
代数幾何学では、[[代数多様体]] V の'''函数体'''(function field)は、V 上の有理函数と解釈される対象から構成される。古典的な代数幾何学では、函数体は[[有理函数|多項式の比]]であり、{{仮リンク|解析多様体|label=複素代数幾何学|en|analytic variety}}(complex algebraic geometry)では、函数体は[[有理型函数]]とその高次元類似である。[[概型|現代の代数幾何学]]では、函数体は環の[[商体]]の元である。
<!--In [[algebraic geometry]], the '''function field''' of an [[algebraic variety]] ''V'' consists of objects which are interpreted as rational functions on ''V''. In classical [[algebraic geometry]] they are [[Rational function|ratios of polynomials]]; in [[analytic variety|complex algebraic geometry]] these are [[meromorphic function]]s and their higher-dimensional analogues; in [[scheme (mathematics)|modern algebraic geometry]] they are elements of some quotient ring's [[field of fractions]].-->

==複素多様体での定義==

複素代数幾何学では、研究対象は複素{{仮リンク|解析多様体|en|analytic varieties}}(analytic varieties)であり、その上の局所概念は[[複素解析]]で、複素解析を通して有理型函数を定義することもある。従って、代数多様体の函数体は、代数多様体の上のすべての有理型函数の集合である。（すべての有理型函数のように、これらは '''C'''∪{&infin;} に値を持つ。）函数の加法と乗法の操作とともに、函数体は代数の意味で[[可換体|体]]である。

複素数 '''P'''<sup>1</sup> 上の多様体である[[リーマン面]]に対し、大域的有理型函数はまさに[[有理函数]]である（つまり、複素多項式の比である）。
<!--==Definition for complex manifolds==

In complex algebraic geometry the objects of study are complex [[analytic varieties]], on which we have a local notion of [[complex analysis]], through which we may define meromorphic functions. The function field of a variety is then the set of all meromorphic functions on the variety. (Like all meromorphic functions, these take their values in '''C'''u{&infin;}.) Together with the operations of addition and multiplication of functions, this is a [[field (mathematics)|field]] in the sense of algebra.

For the [[Riemann sphere]], which is the variety '''P'''<sup>1</sup> over the complex numbers, the global meromorphic functions are exactly the [[rational function]]s (that is, the ratios of complex polynomial functions).-->

==代数幾何学での構成==

古典代数幾何学では、第二の視点を一般化している。上記のリーマン球に対して、大域的には定義されていないが、多項式の考え方は[[アフィン空間]]の座標の観点からは単純で、球の北極点を除く全ての複素平面から構成される。一般的な多様体 V に対し、開アフィン部分集合 U 上の有理函数は、U の[[アフィン多様体|アフィン座標環]]で 2つの多項式の比として定義され、V 全体での有理函数が開アフィン集合の交叉上で一致するような局所データからなっているということができる。そのような部分集合全体は稠密であるので、V 上の有理函数を任意の開集合のアフィン座標の上で定義された[[商体]]と定義する。
<!--==Construction in algebraic geometry==

In classical algebraic geometry, we generalize the second point of view. For the Riemann sphere, above, the notion of a polynomial is not defined globally, but simply with respect to an [[affine space|affine]] coordinate chart, namely that consisting of the complex plane (all but the north pole of the sphere). On a general variety ''V'', we say that a rational function on an open affine subset ''U'' is defined as the ratio of two polynomials in the [[affine variety|affine coordinate ring]] of ''U'', and that a rational function on all of ''V'' consists of such local data which agree on the intersections of open affines. We may define the function field of ''V'' to be the [[field of fractions]] of the affine coordinate ring of any open affine subset, since all such subsets are dense.-->

==任意のスキーム上への一般化==

現代の[[概型|スキーム論]]という最も一般的な設定の中では、上記の最後の視点を離れた点からの視点と考える。つまり、X を整な<ref>整な(integral)スキーム X とは、すべての開集合 U ⊆ X に対し環 <math>\mathcal{O}_X(U)</math> が[[整域]]となるようなスキームを言う。整なスキームと、既約(irreducible)かつ被約(reduced）なスキームは同値である。なお、整スキームでない場合は[[函数体 (スキーム論)]]を参照。</ref>[[概型|スキーム]]とすると、全てのアフィン部分群 U は整域であるから、商体を持っている。さらに、これらは全て同じで、X の{{仮リンク|生成点|en|generic point}}(generic point)の[[局所環]]と全て等しいとすることができる。このように、X の函数体はまさに生成点の局所環である。この観点は、[[函数体 (スキーム論)]]へと発展した。{{harvs|txt|authorlink=Robin Hartshorne|first=Robin |last=Hartshorne|year=1977}} を参照。
<!--==Generalization to arbitrary scheme==

In the most general setting, that of modern [[scheme theory]], we take the latter point of view above as a point of departure.  Namely, if ''X'' is an integral [[Scheme (mathematics)|scheme]], then every open affine subset ''U'' is an integral domain and, hence, has a field of fractions.  Furthermore, it can be verified that these are all the same, and are all equal to the [[local ring]] of the [[generic point]] of ''X''.  Thus the function field of ''X'' is just the local ring of its generic point.  This point of view is developed further in [[function field (scheme theory)]].-->

==函数体の幾何学==

V を体 K 上の多様体とすると、函数体 K(V) は V が定義された基礎体 K 上の[[体の拡大]]である。体の拡大の[[超越次数|超越次元]](transcendence degree)は、多様体の{{仮リンク|代数多様体の次元|label=次元|en|dimension of an algebraic variety}}(dimension)に等しい。K の有限生成である全ての拡大は、ある代数多様体からこの方法で生じる。これらの体拡大は K 上の[[代数函数体]]として知られている。

函数体にのみ依存する多様体 V の性質は、[[双有理幾何学]]で研究される。
<!--==Geometry of the function field==

If ''V'' is a variety defined over a field ''K'', then the function field ''K''(''V'') is a finitely generated [[field extension]] of the ground field ''K''; its [[transcendence degree]] is equal to the [[dimension of an algebraic variety|dimension]] of the variety. All extensions of ''K'' that are finitely-generated as fields over ''K'' arise in this way from some algebraic variety. These field extensions are also known as [[algebraic function field]]s over ''K''.

Properties of the variety ''V'' that depend only on the function field are studied in [[birational geometry]].-->

== 例 ==

K 上の一点の函数体は K である。

K 上のアフィン直線の函数体は、一変数の[[有理函数]]の体 K(t) である。これは[[射影直線]](projective line)の函数体でもある。

方程式 <math>y^2 = x^5 + 1</math> で定義されるアフィン平面曲線を考える。この函数体は、体 K(x,y) で、K 上の[[超越元]]であり、 <math>y^2 = x^5 + 1</math> を満たす元 x と y により生成される。
<!--== Examples ==

The function field of a point over ''K'' is ''K''.

The function field of the affine line over ''K'' is isomorphic to the field ''K''(''t'') of [[rational function]]s in one variable. This is also the function field of the [[projective line]].

Consider the affine plane curve defined by the equation <math>y^2 = x^5 + 1</math>. Its function field is the field ''K''(''x'',''y''), generated by elements ''x'' and ''y'' that are [[transcendental element|transcendental]] over ''K'' and satisfy the algebraic relation <math>y^2 = x^5 + 1</math>.-->

== 脚注 ==
<references/>

== 参照項目 ==

* [[函数体 (スキーム論)]]：一般化
* [[代数函数体]]
* [[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]]

==参考文献==
* {{cite book | title=Algebraic Functions and Projective Curves | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=215 | author=David M. Goldschmidt | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | isbn=0-387-95432-5 }}
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 | mr=0463157  | year=1977}}, section III.3 First Properties of Schemes exercise 3.6 

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