代数多様体の特異点のソースを表示

[[代数幾何学]]という数学の分野において、'''[[代数多様体]]''' ''V'' '''の特異点''' (singular point of an [[:en:algebraic variety|algebraic variety]]) は、この点において多様体の[[接空間]]をきちんと決められないという幾何学的な意味で'特別な'（つまり特異な）点 ''P'' である。実数体上定義された多様体の場合には、この概念は非{{仮リンク|局所平坦性|en|local flatness}}の概念を一般化する。代数多様体の特異でない点を'''正則''' (regular) という。特異点を全く持たない代数多様体を'''非特異''' (non singular) あるいは'''滑らか''' (smooth) という。

例えば、方程式
:''y''<sup>2</sup> &minus; ''x''<sup>2</sup>(''x'' + 1) = 0
の定める[[平面代数曲線]]（[[三次曲線]]）<!--, which is plotted below-->は、原点 (0,0) で自己交叉し、したがって原点は曲線の[[二重点]]である。それは''特異''である、なぜならばただ1つの[[接線]]がそこで正しく定義されないからである。
<!--
[[Image:Singularptfn.JPG]]-->

より一般に ''F'' を[[滑らかな関数]]として[[陰関数]]
:''F''(''x'',''y'') = 0,
で定義される平面曲線がある点で''特異''であるとは、''F'' の[[テイラー級数]]のその点での{{仮リンク|冪級数の位数|label=位数|en|Power series#Order of a power series}}が少なくとも 2 であるということである。

その理由は、[[微分学]]において、そのような曲線の点 (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) における接線は、左辺がテイラー展開の一次の項であるような方程式
:<math>(x-x_0)F'_x(x_0,y_0) + (y-y_0)F'_y(x_0,y_0),</math>
によって定義されることである。したがって、この項が0であれば、接線は通常の方法では定義できない。接線はそもそも存在しない、あるいは、特別な定義をしなければならない。

一般に[[超曲面]]

:''F''(''x'', ''y'', ''z'', ...) = 0

に対して'''特異点''' (singular point) はすべての[[偏微分]]が同時に消えるような点である。いくつかの[[多項式]]の共通零点として定義される一般の[[代数多様体]] ''V'' に対しては、''V'' の点 ''P'' が特異点であるとは多項式の一次の偏微分の[[ヤコビ行列]]が ''P'' において多様体の他の点の[[行列の階数|行列のランク]]よりも低いランクをもつということである。

特異でない ''V'' の点を'''非特異''' (non-singular) あるいは'''正則''' (regular) という。たいていの点は非特異であるということは次のような意味で常に正しい。非特異点全体は空でない[[開集合]]をなす<ref>Hartshorne, ''Algebraic Geometry'', page 33</ref>。

（実係数の多項式で定義された多様体の実座標の点の集合である）実多様体の場合には、多様体 (variety) はすべての正則点の近くで[[多様体]] (manifold) である。しかし実多様体 (variety) は多様体 (manifold) であり特異点をもつかもしれないことを注意することは重要である。例えば方程式 <math>y^3 + 2 x^2 y - x^4 = 0</math> は実{{仮リンク|解析的多様体|en|analytic manifold}}を定義するが原点に特異点をもつ<ref>Milnor, pp. 12–13</ref>。これは次のように言うことで説明できる。曲線は原点において実分枝を切る2つの[[複素共役]]な[[分岐点 (数学)|分岐]]をもつ。

==滑らかな写像の特異点==
特異点の概念はまったく局所的な性質であるので、上記の定義は[[滑らかな関数|滑らかな]]写像（''M'' から '''R'''<sup>n</sup> への関数ですべての微分が存在するもの）からなるより広いクラスに拡張できる。これらの特異点の解析は写像の [[:en:Jet (mathematics)|jet]] を考えることによって代数多様体のケースに帰着することができる。''k''-th jet は ''k'' 次までで打ち切り{{仮リンク|定数項|en|constant term}}を削除した、写像の[[テイラー級数]]である。

==結節点==
{{仮リンク|古典的代数幾何学|en|Glossary of classical algebraic geometry}} において、ある種の特別な特異点は'''結節点''' (node) とも呼ばれた。結節点は[[ヘッセ行列]]が特異でない特異点である。これは特異点が重複度 2 をもち接錐がその頂点の外では特異でないことを意味する。

== 関連項目 ==
* [[曲線の特異点]]
* {{仮リンク|特異点論|en|Singularity theory}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite book | title=Singular Points of Complex Hypersurfaces | author=John Milnor | authorlink=John Milnor | series=Annals of Mathematics Studies | volume=61 | publisher=[[Princeton University Press]] | year=1969 | isbn=0-691-08065-8 }}

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[[Category:代数多様体]]
[[Category:特異点論]]
[[Category:数学に関する記事]]