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{{Expand English|Fundamental theorem of algebra|date=2024年5月}}
'''代数学の基本定理'''（だいすうがくのきほんていり、{{lang-en-short|fundamental theorem of algebra}}）とは、「[[多項式の次数|次数]]が 1 以上の任意の[[複素数|複素]][[係数]]一変数[[多項式]]には複素[[多項式の根|根]]が存在する」という[[定理]]である。

== 概要 ==
[[実数|実]]係数の[[代数方程式]]は一般に実数の範囲内に解を有するとは限らないが、実数体上で既約な多項式 {{math|''x''{{sup|2}} + 1}} の[[多項式の根|根]] として {{math|''i'' {{=}} {{sqrt|&minus;1}}}}（[[虚数単位]]）という実数ではない「数」をただ 1 つ[[添加 (体論)|添加]]した体上では、任意の実係数の代数方程式はその[[体の拡大|拡大体]]上で解を持つ。

そうして得られた'''[[複素数]]'''を係数とする代数方程式の解も、複素数の範囲に必ず解を持つ。これが'''代数学の基本定理'''の主張である。

この定理の主張は、[[因数定理]]を帰納的に用いることより
:複素係数の任意の {{mvar|n}} 次多項式
::<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n, \cdots, a_0 \in \mathbb{C}, \; a_n \ne 0)
</math>
:は複素根を[[重根 (多項式)|重複]]を込めてちょうど {{mvar|n}} 個持つという結果を導き、そのことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。つまり、複素係数の任意の多項式は、複素係数の1次式の冪積に分解できる。

代数学の基本定理は、複素数体は、実数を含む（代数方程式の根を添加して得られる）代数的拡大体として最大のものであることを意味する。このことを[[体論]]の言葉では「複素数体は'''[[代数的閉体]]'''である」 という。

== 歴史 ==
[[17世紀]]前半に{{仮リンク|アルベール・ジラール|fr|Albert Girard|en|Albert Girard}}らによって主張され、[[18世紀]]の半ばから[[ジャン・ル・ロン・ダランベール]]、[[レオンハルト・オイラー]]、{{仮リンク|フランソワ・ダヴィエ・ド・フォンスネ|it|François Daviet de Foncenex}}、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]、[[ピエール＝シモン・ラプラス]]らが証明を試み、その手法は洗練されていった。[[1799年]]に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の証明を与えた（ただし、現在ではガウスの最初の証明も完全ではなかったことが分かっている<ref group="注">ガウスの最初の証明は幾何学的な前提として[[ジョルダン曲線定理]]が暗黙で使われており、後年の観点からは不備がある。</ref>ため、代数学の基本定理の世界初の完全な証明はアマチュア数学者のアルガンによるものである）。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。

== 証明 ==
最もよく知られている初等的な証明は、次の通りである。



<math>f(x)</math>は {{math|{{abs|''x''}} → ∞}} のとき {{math|∞}} に発散する。

よって、<math>|x|>C</math><math>\Longrightarrow</math><math>f(x)>f(0)</math>となるような実数<math>C</math>を定めることができる。

また、有界（一般には[[コンパクト (数学)|コンパクト集合]]）上の[[連続関数]]は最小値を持つ（[[最大値最小値定理]]）ことから、<math>f(x)</math>は最小値をもつ。それを<math>c</math>とする。

上記の不等式から<math>c<C</math>である。

このとき、<math>f(x_c)=c</math>となる<math>x_c</math>を置き、<math>c\neq0</math>を仮定する。

ある複素数<math>\epsilon</math>について<math>f(x_c+\epsilon)=|A_n\epsilon^n+A_1\epsilon^{n-1}+A_2\epsilon^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+A_0|</math>  (<math>A_n</math>は<math>\epsilon</math>の係数)を考えると、<math>A_n\neq0</math>となる<math>n</math>のうち最小の<math>n</math>を<math>k</math>と置くと<math>f(x_c+\epsilon)=|A_n\epsilon^n+A_1\epsilon^{n-1}+A_2\epsilon^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+A_k\epsilon^k+A_0|</math>となる。

ここで<math>\epsilon=t(-\frac{A_0}{A_k})^{\frac{1}{k}}</math>と置くと<math>f(x_c+t(-\frac{A_0}{A_k})^{\frac{1}{k}})=|A_0(1-t^k)+F(t)|</math> 

(<math>t</math>は正の実数、<math>F(t)</math>は<math>A_n\epsilon^n+A_1\epsilon^{n-1}+A_2\epsilon^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+A_{k+1}\epsilon^{k+1}</math>に<math>\epsilon=t(-\frac{A_0}{A_k})^{\frac{1}{k}}</math>を代入した式)

<math>F(t)</math>は<math>t</math>の次数が<math>t^k</math>より高次の項しかないため、<math>t</math>が十分小さければ<math>|A_0(1-t^k)+F(t)|</math>の内<math>F(t)</math>を無視できる、すなわち<math>t</math>が十分に小さいとき<math>|A_0(1-t^k)+F(t)|<|A_0|</math>となる。

つまり<math>f(x_c+\epsilon)<f(x_c)</math>となるが、これは<math>x_c</math>の定義に矛盾。

よって仮定が偽なので<math>c=0</math>となり、[[因数定理]]より、<math>f(x)=(x-x_c)p(x)</math>と置くことができる。この時<math>x_c</math>は<math>f(x)</math>の根となっている。

以上の操作を繰り返すことで、<math>f(x)</math>は<math>n</math>個の根を持つことがわかる。

証明終わり

=== 複素解析的な証明 ===
[[複素解析]]に基づく証明法としては、[[リウヴィルの定理 (解析学)|リウヴィルの定理]]を用いる方法と、[[ルーシェの定理]]を用いる方法が有名であり、大学教育における初等的な複素解析の教科書は代数学の基本定理をこれらの複素解析学の定理を用いて証明するまでを学ぶことを目標としているものが多い（これははたして本当だろうか？多いとはどのぐらいの割合か？）。

以下にリウヴィルの定理を用いる証明の概略を示す（ルーシェの定理を用いる証明については、[[ルーシェの定理#代数学の基本定理の証明]]を参照）。

いま定数ではない任意の複素数係数多項式を {{math|''f''(''z'')}} とする。そうして {{math|''f''(''z'')}} は複素平面上に零点を持たないと仮定する。そのとき {{math|''g''(''z'') {{=}} {{sfrac|1|''f''(''z'')}}}} は複素平面全体で正則かつ有界になるから、'''リウヴィルの定理'''により {{math|''g''(''z'')}} は定数である。すると {{math|''f''(''z'')}} も定数になるが、これは多項式 {{math|''f''(''z'')}} が定数ではないとしたことに矛盾する。従って、定数ではない複素係数多項式  {{math|''f''(''z'')}} は複素平面上に少なくとも1つの零点を持つ。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2016-02}}
* {{Cite book|和書|author=彌永昌吉|authorlink=彌永昌吉|date=1978-04|title=数の体系|volume=下|series=岩波新書（黄版）43|publisher=岩波書店|isbn=4-00-420043-1}}
* {{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|date=1983-09|title=解析概論|edition=改訂第3版 軽装版|publisher=岩波書店|isbn=4-00-005171-7}}
* {{Cite book|和書|author=高木貞治|year=1965-11|title=代数学講義|edition=改訂新版|publisher=共立出版|isbn=4-320-01000-0}}
* {{Cite book|和書|last=Fine|first=Benjamin|coauthors=Rosenberger, Gerhard|translator=[[新妻弘]]・[[木村哲三]]|date=2002-02|title=代数学の基本定理|publisher=共立出版|isbn=4-320-01689-0}}

== 関連文献 ==
* {{Citation|author=[[カール・フリードリヒ・ガウス]]|year=1866|title=ガウス全集|publisher=ゲッティンゲン王立科学協会|volume=第3巻}}
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|ガウスの第1証明（ラテン語）|page=1}}, pp.1-31。
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|ガウスの第2証明（ラテン語）|page=32}}, pp.32-56。
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|ガウスの第3証明（ラテン語）|page=57}}, pp.57-64。
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|ガウスの第4証明（ドイツ語）|page=71}}, pp.71-103。

== 関連項目 ==
{{Wikisourcelang|la|Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse}}
{{Wikisource|解析概論}}
{{Wikisource|代数学講義}}
* [[因数定理]]
* [[体論]]
* [[算術の基本定理]]
* [[ベズーの定理]]

== 外部リンク ==
* {{PDFlink|[http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/geom/fundalg.pdf 代数学の基本定理]}}
* {{PDFlink |{{Wayback|url=http://mister-hd.hp.infoseek.co.jp/tex/ft_alg.pdf |title=代数学の基本定理 |date=20040616033750}}}}
* {{MathWorld|title=Fundamental Theorem of Algebra|urlname=FundamentalTheoremofAlgebra}}
* {{Google books|g3VaAAAAcAAJ|ガウスの第1証明（ラテン語）}}
* {{Google books|Svc7AQAAMAAJ|ガウスの第1証明（ラテン語）}}
<!--* [http://dochost.rz.hu-berlin.de/dissertationen/historisch/gauss-carolo/HTML/ ガウスの第1証明]（ラテン語）-->
* {{高校数学の美しい物語|799|代数学の基本定理とその初等的な証明}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たいすうかくのきほんていり}}
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:代数学の定理]]
[[Category:代数方程式]]
[[Category:基本定理]]
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス]]
[[Category:数学に関する記事]]