代数幾何学のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年12月|ソートキー=学}}
{{Expand English|Algebraic geometry|date=2024年5月}}
{{Redirect|代数幾何|高等学校の数学の科目|代数・幾何}}
'''代数幾何学'''（だいすうきかがく、{{lang-en-short|algebraic geometry}}）とは、[[多項式]]の[[零点]]（zero）のなすような図形を代数的手法を用いて（[[代数多様体]]として）研究する[[数学]]の一分野である<ref>Rowland, Todd. "Algebraic Geometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicGeometry.html</ref>。

==概論==
大別して、「多変数[[代数函数体]]に関する幾何学論」「[[射影空間]]上での[[複素多様体]]論」とに分けられる。前者は[[代数学]]の中の[[可換環論]]と関係が深く、後者は[[幾何学]]の中の[[多様体]]論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。

[[ルネ・デカルト]]は、多項式の零点を[[曲線]]として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、''x'', ''y'' を[[実数|実]]変数として "''x''<sup>2</sup> + ''ay''<sup>2</sup> − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす '''R'''<sup>2</sup> の中の集合は ''a'' の正、零、負によってそれぞれ[[楕円]]、平行な2[[直線]]、[[双曲線]]になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。

上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。

当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の[[代数多様体]]についてはあまり研究は進んでいない。

2次元の場合、[[多様体]]に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、特殊な物をのぞいて[[極小モデル]]と呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。

3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。しかし、1988年[[森重文]]により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム<ref>{{Cite web|和書|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b265777.html|title = 双有理幾何学|website = www.iwanami.co.jp|publisher = 岩波書店|date = |accessdate = 2020-06-14}}</ref>」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。

19世紀中期に、[[ベルンハルト・リーマン]]がアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。20世紀前半には、[[アンドレ・ヴェイユ]]、[[オスカー・ザリスキ]]によって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降は[[グロタンディーク]]のスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。

== 局所的性質 ==
{{Rough translation|フランス語版|3=節}}
局所的問題についてきちんとした話題を与える前に、アフィン多様体における位相を定義する必要がある；もちろん、''基礎体''（{{lang-fr-short |corps de base}}）が<math>\R</math>や<math>\C</math>の場合、通常のユークリッド的な位相の移し変えを考察することは駄目になる、だがしかしこれらはあまりにも豊富過ぎる。本質的に、私たちは多項式が連続であることの正当な必要を有する。さしあたり、私たちは基礎体における位相を自由に使えない、だがしかしそれは<math>\{{0\}}</math>が閉じている事を要求し過ぎない（そして[[単集合]]について並びに一連の有限な単集合の和集合についての均質性についてもまた：以上の事は都合よく既述の{{日本語版にない記事リンク<!--フランス語版でもリンク先の記事は未作成です。-->|共有限|fr|cofinie}}を与える）。そういう訳で、私たちは正則関数の''<math>k</math>-環''（{{lang-fr-short |<math>k</math>-algèbre}}）の要素である<math>Z(f)</math>もしくは<math>f</math>を共に重点的に描写する、すなわちひとつの定義された多項式はあるイデアル<math>I(V)</math>の要素を直ちに与える。私たちはそれらが、[[ザリスキ位相]]と呼ばれる、ある特定の位相をしっかりと巧く構成することを確かめることを得る。<math>D(F) := \{P \in V / f( p ) \neq 0\}</math>において、''開いた基底''（{{lang-fr-short |base d'ouverts}}）が豊富に備わっている事だけについて言及する、領域の周囲を成すそれらについてここに問題ではない。

== 大局的性質 ==
{{Rough translation|フランス語版|3=節}}
[[微分幾何学]]で私たちがすることのようにする、しかしながら、圧倒的にアフィン多様体と局所的に似ていること更に多項式的な[[地図 (多様体)|地図]]の（座標）変換における、位相空間のようなものである私たちの大域的な対象の定義を私たちはし辛くさせられる。しかしながら[[層 (数学)|層]]におけるこれらの、私たちが選んだところの見方でのこの論点ではそうでない。私たちは、環<math>A_j</math>のいくつかの[[概型#環のスペクトル |スペクトル]]に同型な、導かれた層を備えたところの、開いた<math>U_i</math>における被覆を許す[[局所環]]における''環付き空間''（{{lang-fr-short |espace annelé
}}）全体をそのとき[[概型]]と呼ぶ。概型の間の[[同型写像 (数学) |同型]]は何も局所環における環付き空間の同型とは別のものでない。

== 計算代数幾何学 ==
'''計算代数幾何学'''（英：computational algebraic geometry）の始まりは[[1979年#できごと#6月|1979年6月]]にフランスの[[マルセイユ]]で開かれたEUROSAM '79（International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation）を年代として推定できるかもしれない。この会議では、
* デニス・アーノン（英：Dennis S. Arnon）は{{仮リンク|ジョージ・E.コリンズ|en|George E. Collins}}の'''{{仮リンク|円柱的代数的分解|en|Cylindrical algebraic decomposition}}'''（CAD）により半代数的集合（英：semi-algebraic set）の位相の計算が可能であることを示した。
* {{仮リンク|ブルーノ・ブッフベルガー|en|Bruno Buchberger}}は'''[[グレブナー基底]]'''とそれを求めるためのアルゴリズムを提示した。
* {{仮リンク|ダニエル・ラザード|en|Daniel Lazard}}は同次多項式の方程式の系を解くための新しいアルゴリズムを提示した。その計算量は見込まれる解の数に関して本質的に多項式的であり、したがってその未知数の数について、指数関数的な{{仮リンク|計算複雑性|en|computational complexity}}になる。このアルゴリズムは{{仮リンク|マッカーレイ|en|Francis Sowerby Macaulay}}の[[終結式|多変数終結式]]と深く関係している。

以来、この分野での多くの結果はこれらのアルゴリズムの一つを用いるか証明するかによって、あるいは未知数の数について指数的な複雑度を持つアルゴリズムの発見によって、上記の項目の一つあるいは幾つかと関係した。

記号的な方法を補完する'''{{仮リンク|数値代数幾何学|en|numerical algebraic geometry}}'''と呼ばれる数学的な理論の分野は過去数十年にわたって発展してきた。その主な計算法は'''{{仮リンク|ホモトピー接続法|en|homotopy continuation}}'''である。これはたとえば、代数幾何学の問題を解くための[[浮動小数点数]]を用いた計算のあるモデルを支える。

==他分野との関係==
代数幾何学はそもそも、[[多項式]]の[[零点]]のなすような図形を[[代数多様体]]として研究する学問であったが、現代では[[数理物理学]]<ref>[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-16H06335/ 数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開]</ref><ref>[http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/ja/physics_and_algebraic_geometry.html 数理物理と代数幾何]</ref>・[[可積分系]]<ref>[http://www.nara-wu.ac.jp/initiative-MPI/images/nwu_only/Inoue-file.pdf 可積分系と代数幾何学の入り口]</ref><ref>[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-17H06127/ 代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -]</ref><ref>Vanhaecke, P. (2001). Integrable systems in the realm of algebraic geometry. Springer Science & Business Media.</ref><ref>Integrable Systems and Algebraic Geometry, Proceedings of the Taniguchi Symposium 1997, Rokko Oriental Hotel, Kobe, 30 June – 4 July 1997, https://doi.org/10.1142/3597 (October 1998) Edited by M-H Saito (Kobe University, Japan), Y Shimizu (Kyoto University, Japan) and K Ueno (Kyoto University, Japan)</ref><ref>Integrable Systems and Algebraic Geometry, Edited by Ron Donagi, Cambridge University Press.</ref>との関係や、[[機械学習]]への応用が研究されている<ref>渡辺澄夫. (2006). 代数幾何と学習理論. [[森北出版]].</ref><ref>Watanabe, S. (2009). Algebraic geometry and statistical learning theory (Vol. 25). Cambridge University Press.</ref>。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* <!--フリーで読めます。-->{{cite book |last =Fulton |first =William |authorlink =:en:William Fulton (mathematician) |year =2008-01-28 <!--オリジナルはもっと古いです。-->|title =Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry |url =http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf |accessdate =2021-04-22 |ref =harv}}
* 中井喜和、永田雅宜：「代数幾何学」、共立出版（現代数学講座16）(1957年1月30日).
* 秋月康夫、中井喜和、永田雅宜：「代数幾何学」、岩波書店、ISBN 4-00-005638-7 (1978年3月20日).
* 河井壮一：「代数幾何学」、培風館（現代数学レクチャーズB-5）、(1979年11月30日).
* 秋月康夫，中井喜和，永田雅宜：「代数幾何学」、岩波書店、ISBN：4-00-005638-7（1987年3月20日）。
* 難波誠：「代数曲線の幾何学」、現代数学社、ISBN 4-7687-0196-5 (1991年2月5日).
* B. L. ファン・デル・ヴェルデン(著)、前田博信（訳）：「代数幾何学入門」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-70598-8 (1991年3月31日).
* 飯高茂、上野健爾、浪川幸彦：「デカルトの精神と代数幾何 増補版」、日本評論社、ISBN 978-4-535-60607-4 (1993年10月）。
* 上野健爾：「代数幾何学入門」、岩波書店、ISBN 4-00-005641-7 (1995年1月30日).
* 桂利行：「代数幾何入門」、共立出版（共立講座21世紀の数学17）、ISBN 4-320-01569-X (1998年10月25日)。
* 硲文夫：「代数幾何学」、森北出版、ISBN 4-627-03831-3 (1999年9月25日).
* 飯高茂：「平面曲線の幾何」、共立出版（共立講座21世紀の数学18）、ISBN 4-320-01570-3 (2001年4月25日)。
* 広中平祐（講義）、森重文（記録）：「代数幾何学」、京都大学学術出版会、ISBN 4-87698-637-1 (2004年11月10日).
* 上野健爾：「代数幾何」、岩波書店、ISBN 4-00-005649-2 (2005年10月6日)。
* 安藤哲哉：「代数曲線・代数曲面入門：複素代数幾何の源流」、数学書房、ISBN 978-4-8269-3107-6 (2007年2月25日).
* Ernst Kunz(著)、新妻弘(訳)：「平面代数曲線入門」、共立出版、ISBN 978-4-320-01970-6 (2011年7月25日).
* 海老原円：「14日間でわかる　代数幾何学事始」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78675-2 (2011年9月26日).
* 宮西正宜、増田佳代：「代数曲線入門」、共立出版、ISBN 978-4-320-11144-8 (2016年8月25日).
* [https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mukai/Agtext.html 代数幾何学教科書類(京大RIMS)]

== 関連項目 ==
* [[概型|スキーム]]
* [[代数多様体]]
* [[代数幾何学と解析幾何学]]

=== 主な日本人研究者 ===
*[[小平邦彦]]
*[[森重文]]
*[[広中平祐]]
*[[梅村浩]]
*[[飯高茂]]
*[[斎藤秀司]]

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[[Category:代数幾何学|*]]
[[Category:数学の分野]]
[[Category:数学に関する記事]]