代数曲面のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]において、'''代数曲面'''({{lang-en-short|algebraic surface}})とは、[[代数多様体|多様体]]の{{仮リンク|代数多様体の次元|label=次元|en|dimension of an algebraic variety}}が 2 である代数多様体のことを言う。[[複素数]]体上の場合には、代数曲面は複素次元 2（[[複素多様体]]として）であり、[[特異点|非特異]](non-singular)のときには、[[微分可能多様体]]としては次元 4 である。

代数曲面の理論は、[[代数曲線]]（[[コンパクト空間|コンパクト]][[リーマン面]]で、実次元が 2 の純粋な[[曲面]]）と比較して非常に複雑である。しかしながら、およそ 100年前の{{仮リンク|代数幾何学イタリア学派|en|Italian school of algebraic geometry}}(Italian school of algebraic geometry)以来、多くの結果が得られている。
<!---In [[mathematics]], an '''algebraic surface''' is an [[algebraic variety]] of [[dimension of an algebraic variety|dimension]] two. In the case of geometry over the field of [[complex number]]s, an algebraic surface has complex dimension two (as a [[complex manifold]], when it is [[non-singular]]) and so of dimension four as a [[smooth manifold]]. 

The theory of algebraic surfaces is much more complicated than that of [[algebraic curve]]s (including the [[compact space|compact]] [[Riemann surface]]s, which are genuine [[surface]]s of (real) dimension two).  Many results were obtained, however, in the [[Italian school of algebraic geometry]], and are up to 100 years old.-->

== 小平次元による分類 ==
{{main|エンリケス・小平の分類}}
次元が 1 の場合には、（位相的な）[[種数]]だけによる双有理な分類ができたが、次元が 2 の場合は、位相的な種数だけでは双有理的な区別ができないので、[[小平次元#脚注|算術種数]] <math>p_a</math> と [[小平次元#脚注|幾何種数]] <math>p_g</math> の差異が重要なことがわかる。従って、[[曲面の不正則数]]が代数多様体の双有理分類のために導入する。結果をまとめると下記のようになる。（詳細の曲面の各々の種類については、各々のリダイレクション先を参照） 
<!---== Classification by the Kodaira dimension ==
{{main|Enriques-Kodaira classification}}
In the case of dimension one varieties are birationally classified by only the [[genus|topological genus]], but dimension two, the difference between the [[arithmetic genus]] <math>p_a</math> and the geometric genus <math>p_g</math> turns to be important because we cannot distinguish birationally only the topological genus. Then we introduce the [[Irregularity of a surface|irregularity]] for the birational classification of them. Let's summarize the results. (in detail, for each kind of surfaces refer to each redirections) -->

代数曲面の例は下記のようになる（κ は[[小平次元]]である）。

* κ = &minus;∞ : {{仮リンク|複素射影平面|label=射影平面|en|complex projective plane}}(projective plane)、'''P'''<sup>3</sup> の中の [[二次曲面|2次曲面]]、{{仮リンク|3次曲面|en|cubic surface}}(cubic surface)、{{仮リンク|ベロネーゼ曲面|en|Veronese surface}}(Veronese surface)、{{仮リンク|デル・ペッゾ曲面|en|del Pezzo surface}}(del Pezzo surface)、{{仮リンク|線織曲面|en|ruled surface}}(ruled surface)
* κ = 0 : [[K3曲面]]、[[アーベル曲面]]、[[エンリケス曲面]]、[[超楕円曲面]]
* κ = 1 : [[楕円曲面]]
* κ = 2 : [[一般型代数曲面]]

さらに例があるので、{{仮リンク|代数曲面のリスト|en|list of algebraic surfaces}}を参照。

最初にある 5つの例は、実際、双有理同値である。すなわち、例えば、3次曲面は[[代数多様体の函数体|函数体]]が{{仮リンク|複素射影平面|label=複素平面|en|complex projective plane}}(projective plane)の函数体に同型であり、2つの変数の[[有理函数]]となっている。2つの曲線のカルテシアン積（直積）もまたこの例となる。
<!---Examples of algebraic surfaces include (κ is the [[Kodaira dimension]]):

* κ=&minus;∞: the [[complex projective plane|projective plane]], [[quadric]]s in '''P'''<sup>3</sup>, [[cubic surface]]s, [[Veronese surface]], [[del Pezzo surface]]s, [[ruled surface]]s
* κ=0 : [[K3 surface]]s, [[abelian surface]]s, [[Enriques surface]]s, [[hyperelliptic surface]]s
* κ=1: [[Elliptic surface]]s
* κ=2: [[surface of general type|surfaces of general type]].

For more examples see the [[list of algebraic surfaces]].

The first five examples are in fact [[birationally equivalent]]. That is, for example, a cubic surface has a [[function field of an algebraic variety|function field]] isomorphic to that of the [[projective plane]], being the [[rational function]]s in two indeterminates. The cartesian product of two curves also provides examples.-->

== 代数曲面の双有理幾何学 ==
代数曲面の[[双有理幾何学]]は、[[:en:blowing up|'''ブローアップ''']](blowing up)（また、{{仮リンク|モノイダル変換|en|monoidal transformation}}(monoidal transformation)としても知られている）により、非常に豊富な内容をもっている。この変換は、一点を接線方向の直線全体（ 1本の[[射影直線]](projective line)）で置き換えることである。ある曲線が、'''ブローダウン'''の結果かもしれないが、（その場合は、）自己交点数が &minus;1 でなくてはいけないという制限が存在する。
<!---== Birational geometry of surfaces ==
The [[birational geometry]] of algebraic surfaces is rich, because of [[blowing up]] (also known as a [[monoidal transformation]]); under which a point is replaced by the ''curve'' of all limiting tangent directions coming into it (a [[projective line]]). Certain curves may also be blown ''down'', but there is a restriction (self-intersection number must be &minus;1).-->

== 性質 ==

[[豊富なラインバンドル#ラインバンドルの豊富性の基準|中井の判定条件]]は、
:曲面 S の因子(divisor) D が豊富であることと、D<sup>2</sup> > 0 であり、かつ S 上の全ての規約曲線 C に対して D•C > 0 が成り立つことは同値である。

豊富な因子は、その性質がよく知られている射影空間のある超平面バンドルのプルバック(pullback)となっているという、素晴らしい性質を持っている。<math>\mathcal{D}(S)</math> を S の因子の全てからなるアーベル群とすると、 [[交点数 (代数幾何学)|交点定理]]のおかげで、
:<math>\mathcal{D}(S)\times\mathcal{D}(S)\rightarrow\mathbb{Z}:(X,Y)\mapsto X\cdot Y</math>
を[[二次形式]]とみなすことができる。
:<math>\mathcal{D}_0(S):=\{D\in\mathcal{D}(S)|D\cdot X=0,\text{for all } X\in\mathcal{D}(S)\}</math>
とすると、<math>\mathcal{D}/\mathcal{D}_0(S):=Num(S)</math> は、S の'''数値的な同値類群'''となり、
:<math>Num(S)\times Num(S)\mapsto\mathbb{Z}=(\bar{D},\bar{E})\mapsto D\cdot E</math>
もまた、<math>Num(S)</math> 上の二次形式となる。ここに <math>\bar{D}</math> は S 上の D の像である。（以下では、像 <math>\bar{D}</math> を省略し、D と書くことにする。）

S 上の豊富なバンドル H に対し、定義
:<math>\{H\}^\perp:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.</math>
は'''ホッジ指数定理'''(Hodge index theorem)の曲面バージョンを導く。
:<math>D\in\{\{H\}^\perp|D\ne0\}</math>に対して、<math>D\cdot D < 0</math> が成り立つ、つまり、<math>\{H\}^\perp</math> は負定値二次形式である。

この定理は、中井の判定条件と曲面のリーマン・ロッホの定理を使い、証明することができる。全ての <math>\{H\}^\perp</math> の中の因子に対して、この定理は成り立つ。この定理は、曲面の研究のツールを提供するのみならず、全ての代数的閉体の上で成り立つので、ドリーニュ(Deligne)による[[ヴェイユ予想]]の証明に用いられた。
<!---== properties ==

[[ample line bundle#Intersection theorem|'''Nakai criterion''']] says that:
:A Divisor ''D'' on a surface ''S'' is ample if and only if ''D<sup>2</sup> > 0'' and for all irreducible curve ''C'' on ''S'' ''D•C > 0.

Ample divisors have a nice property such as it is the pullback of some hyperplane bundle of projective space, whose properties are very well known. Let <math>\mathcal{D}(S)</math> be the abelian group consisting of all the divisors on ''S''. Then due to the [[intersection number|intersection theorem]]
:<math>\mathcal{D}(S)\times\mathcal{D}(S)\rightarrow\mathbb{Z}:(X,Y)\mapsto X\cdot Y</math>
is viewed as a [[quadratic form]]. Let
:<math>\mathcal{D}_0(S):=\{D\in\mathcal{D}(S)|D\cdot X=0,\text{for all } X\in\mathcal{D}(S)\}</math>
then <math>\mathcal{D}/\mathcal{D}_0(S):=Num(S)</math> becomes to be a '''numerical equivalent class group''' of ''S'' and
:<math>Num(S)\times Num(S)\mapsto\mathbb{Z}=(\bar{D},\bar{E})\mapsto D\cdot E</math>
also becomes to be a quadratic form on <math>Num(S)</math>, where <math>\bar{D}</math> is the image of a divisor ''D'' on ''S''. (In the bellow the image <math>\bar{D}</math> is abbreviated with ''D''.)

For an ample bundle ''H'' on ''S'' the definition
:<math>\{H\}^\perp:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.</math>
leads the '''Hodge index theorem''' of the surface version.
:for <math>D\in\{H\}^\perp|D\ne0, D\cdot D < 0</math>, i.e. <math>\{H\}^\perp</math> is a negative definite quadratic form.
This theorem is proved by using the Nakai criterion and the Riemann-Roch theorem for surfaces. For all the divisor in <math>\{H\}^\perp</math> this theorem is true. This theorem is not only the tool for the research of surfaces but also used for the proof of the [[Weil conjecture]] by Deligne because it is true on the algebraically closed field.-->

代数曲面上の基本的な結果として、{{仮リンク|ホッジ指数定理|en|Hodge index theorem}}(Hodge index theorem)がある。また、[[エンリケス・小平の分類]]と呼ばれる双有理同値分類の 5つのグループへの分割がある。'''一般型'''のタイプのクラスは小平次元が 2 で、（次数が）非常に大きい（例えば、次数 5 もしくはそれ以上の次数の '''P'''<sup>3</sup> の中の非特異曲線である）。

本質的には、曲面には 3つの不変量である[[ホッジ理論|ホッジ数]]がある。それらの中の h<sup>1,0</sup> は古典的には'''不正則数'''と呼ばれ、q で表され、h<sup>2,0</sup> は'''幾何種数''' p<sub>g</sub> と呼ばれた。三番目の h<sup>1,1</sup> は、[[双有理不変量|双有理不変]]ではない。なぜならば、{{仮リンク|ブローアップ (代数幾何学)|label=ブローアップ|en|blowing up}}(blowing up)により H<sup>1,1</sup> を持つ曲線全体を加えることができるからである。{{仮リンク|ホッジサイクル|en|Hodge cycle}}(Hodge cycle)は代数的であり、{{仮リンク|代数的同値|en|algebraic equivalence}}(algebraic equivalence)は、ホモロジー同値と一致することが知られているので、h<sup>1,1</sup> は、[[ネロン・セヴィリ群]]のランク ρ の上界である。算術種数 p<sub>a</sub> は次の式のような差である。 

:'''算術種数'''  = '''幾何種数''' &minus; '''不正則数'''

実際、これが、なぜ「エラー項」という意味の不正則数という名前がついたかの理由である。
<!---Basic results on algebraic surfaces include the [[Hodge index theorem]], and the division into five groups of birational equivalence classes called the [[classification of algebraic surfaces]]. The ''general type'' class, of [[Kodaira dimension]] 2, is very large (degree 5 or larger for a non-singular surface in '''P'''<sup>3</sup> lies in it, for example). 

There are essential three [[Hodge number]] invariants of a surface. Of those, ''h''<sup>1,0</sup> was classically called the '''irregularity''' and denoted by ''q''; and ''h''<sup>2,0</sup> was called the '''geometric genus''' ''p''<sub>''g''</sub>. The third, ''h''<sup>1,1</sup>, is not a [[birational invariant]], because [[blowing up]] can add whole curves, with classes in ''H''<sup>1,1</sup>. It is known that [[Hodge cycle]]s are algebraic, and that [[algebraic equivalence]] coincides with [[homological equivalence]], so that ''h''<sup>1,1</sup> is an upper bound for ρ, the rank of the [[Néron-Severi group]]. The [[arithmetic genus]] ''p''<sub>''a''</sub> is the difference 

:geometric genus &minus; irregularity.

In fact this explains why the irregularity got its name, as a kind of 'error term'.-->

== 曲面のリーマン・ロッホの定理 ==
{{main|曲面のリーマン・ロッホの定理}}
[[曲面のリーマン・ロッホの定理]] は最初に、{{仮リンク|マックス・ネター|en|Max Noether}}(Max Noether)により定式化された。曲面の上の曲線の族は、ある意味で分類することができ、豊かな興味深い幾何学をもたらす。
<!---== Riemann-Roch theorem for surfaces ==
{{main|Riemann-Roch theorem for surfaces}}
The [[Riemann-Roch theorem for surfaces]] was first formulated by [[Max Noether]]. The families of curves on surfaces can be classified, in a sense, and give rise to much of their interesting geometry.-->

==参考文献==
*{{SpringerEOM|title=Algebraic surface|last= Dolgachev|first=I.V.|urlname=Algebraic_surface}}
*{{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=Algebraic surfaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58658-6 | mr=1336146 | year=1995}}

== 外部リンク ==
* [http://imaginary.org/program/surfer Free program SURFER] to visualize algebraic surfaces in real-time, including a user gallery.
* [http://www.singsurf.org/singsurf/SingSurf.html SingSurf] an interactive 3D viewer for algebraic surfaces.
* [http://www.bru.hlphys.jku.at/surf/index.html Page on Algebraic Surfaces started in 2008]
* [http://maxwelldemon.com/2009/03/29/surfaces-2-algebraic-surfaces/ Overview and thoughts on designing Algebraic surfaces]

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:たいすうきよくめん}}
[[Category:代数曲面|*]]
[[Category:曲面]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]