代数的サイクルのソースを表示

{{要改訳}}数学では、[[代数多様体]] V の上の'''代数的サイクル'''(algebraic cycle)とは、大まかには、V 上の[[ホモロジー類]](homology class)であり、V の[[部分多様体]]の線型結合により表されるものを言う。従って、V 上の代数的サイクルは、[[代数幾何学]]に直接関係する V の[[代数トポロジー]]である。1950年代から1960年代にかけて、いくつかの基本的な予想が提示され、代数的サイクルの研究が、一般的な多様体の代数幾何学の主要な対象のひとつとなった。
<!--In [[mathematics]], an '''algebraic cycle''' on an [[algebraic variety]] ''V'' is, roughly speaking, a [[homology class]] on ''V'' that is represented by a linear combination of [[subvarieties]] of ''V''. Therefore the algebraic cycles on ''V'' are the part of the [[algebraic topology]] of ''V'' that is directly accessible in [[algebraic geometry]]. With the formulation of some fundamental conjectures in the 1950s and 1960s, the study of algebraic cycles became one of the main objectives of the algebraic geometry of general varieties.-->

代数的サイクルの持つ難しさは、全く簡単なことであり、代数的サイクルの存在を予想することは容易であるが、それらを構成する今日の方法が不十分である。代数的サイクルの主な予想は、[[ホッジ予想]]や[[テイト予想 (代数幾何学)|テイト予想]]を含んでいる。[[ヴェイユ予想]]の証明の研究から、[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexander Grothendieck)や[[エンリコ・ボンビエリ]]は[[代数的サイクルの標準予想]]として現在知られていることを定式化した。
<!--The nature of the difficulties is quite plain: the existence of algebraic cycles is easy to predict, but the current methods of constructing them are deficient. The major conjectures on algebraic cycles include the [[Hodge conjecture]] and the [[Tate conjecture]]. In the search for a proof of the [[Weil conjectures]], [[Alexander Grothendieck]] and [[Enrico Bombieri]] formulated what are now known as the [[standard conjectures on algebraic cycles|standard conjectures of algebraic cycle]] theory. -->

代数的サイクルは、[[代数的K-理論]]に密接に関連していることが示されている。

良く使われる[[交叉理論]]のためには、様々な{{仮リンク|代数的サイクルの同値関係|en|equivalence relations on algebraic cycles}}(equivalence relations on algebraic cycles)が使われる。特に重要なことは、いわゆる'''有理的同値'''(rational equivalence)である。有理同値を無視してのサイクルは、次数付き環、{{仮リンク|周環|en|Chow ring}}(Chow ring)を形成し、積は[[交叉理論|交叉積]]により与えられる。さらに基本的な関係には、'''代数的同値'''(algebraic equivalence)、'''数値的同値'''(numerical equivalence)や'''ホモロジカル同値'''(homological equivalence)がある。一部は予想に過ぎないが、これらは[[モチーフ (代数幾何学)|モチーフ]]の理論への応用を持っている。
<!--Algebraic cycles have also been shown to be closely connected with [[algebraic K-theory]].

For the purposes of a well-working [[intersection theory]], one uses various [[equivalence relations on algebraic cycles]]. Particularly important is the so-called ''rational equivalence''. Cycles up to rational equivalence form a graded ring, the [[Chow ring]], whose multiplication is given by the [[intersection product]]. Further fundamental relations include ''algebraic equivalence'', ''numerical equivalence'', and ''homological equivalence''. They have (partly conjectural) applications in the theory of [[motive (algebraic geometry)|motives]].-->

==定義==
代数多様体、あるいは[[概型|スキーム]] ''X'' の'''代数的サイクル'''は、[[既約成分|既約]](irreducible)かつ{{仮リンク|被約スキーム|label=被約な|en|reduced scheme}}(reduced){{仮リンク|閉スキーム|label=閉部分スキーム|en|closed subscheme}}(closed subscheme)の形式的線型結合 ''V'' = ∑ ''n<sub>i</sub>·V<sub>i</sub>'' である。係数 ''n<sub>i</sub>'' は ''V'' の中での ''V<sub>i</sub>'' の'''多重度'''である。最初は、係数は整数として取られるが、有理数の係数も広く使われる。

対応 
:{既約かつ被約な閉部分スキーム V ⊂ X} ↭ {X の点}
（V は（[[ザリスキー位相]]に関して）{{仮リンク|生成点|en|generic point}}(generic point)へ写像され、逆に点は（被約な部分スキームをもつ）閉包へ写像され、）従って、代数的サイクルはまさに X の点の形式的な線型結合となる。

サイクルの群は自然に、サイクルの次元による次数をもつ群 Z<sub>*</sub>(X) を形成する。余次元による次数も有益で、群は通常 Z<sup>*</sup>(X) と書かれる。
<!--==Definition==
An ''algebraic cycle'' of an algebraic variety or [[scheme (mathematics)|scheme]] ''X'' is a formal linear combination ''V'' = ∑ ''n<sub>i</sub>·V<sub>i</sub>'' of [[irreducible component|irreducible]] [[reduced scheme|reduced]] [[closed subscheme]]s.  The coefficient ''n<sub>i</sub>'' is the ''multiplicity'' of ''V<sub>i</sub>'' in ''V''. Initially the coefficients are taken to be integers, but rational coefficients are also widely used.

Under the correspondence 
:{irreducible reduced closed subschemes ''V'' ⊂ ''X''} ↭ {points of ''X''}
(''V'' maps to its [[generic point]] (with respect to the [[Zariski topology]]), conversely a point maps to its closure (with the reduced subscheme structure))
an algebraic cycle is thus just a formal linear combination of points of ''X''.

The group of cycles naturally forms a group ''Z''<sub>*</sub>(''X'') graded by the dimension of the cycles. The grading by codimension is also useful, then the group is usually written ''Z''<sup>*</sup>(''X'').-->

==平坦引き戻しと固有押し出し==
代数的サイクルの群の共変な函手が存在する。f : X  → X<nowiki>'</nowiki> を多様体の射とする。

f がある定数の相対次元（つまり、全てのファイバーが同じ次元を持っている）で[[平坦射|平坦]](flat)であれば、任意の部分多様体 Y<nowiki>'</nowiki>&nbsp;⊂&nbsp;X<nowiki>'</nowiki> に対し、 
: <math>f^*([Y']) = [f^{-1}(Y')]\,\!</math>
となる（平坦引き戻し(flat pullback)）。上の式は、仮定より、Y&prime; の同じ余次元を持つ。

逆に、f が[[固有射|固有]](proper)であれば、X の部分多様体 Y に対し、固有押し出し(proper pushforward)は、
:<math>f_*([Y]) = n [f(Y)]\,\!</math>
と定義される。ここに n は[[函数体 (スキーム論)|函数体]] [k(Y) : k(f(Y))] の次数とする。ただし、f の Y への制限が[[有限射|有限]](finite)の場合であり、f が有限でない場合は n = 0 とする。
<!--==Flat pullback and proper pushforward==
There is a covariant and a contravariant functoriality of the group of algebraic cycles. Let ''f'' : ''X''  → ''X<nowiki>'</nowiki>'' be a map of varieties.

If ''f'' is [[flat morphism|flat]] of some constant relative dimension (i.e. all fibers have the same dimension), we can define for any subvariety ''Y<nowiki>'</nowiki>''&nbsp;⊂&nbsp;''X<nowiki>'</nowiki>'': 

: <math>f^*([Y']) = [f^{-1}(Y')]\,\!</math>

which by assumption has the same codimension as ''Y&prime;''. 

Conversely, if ''f'' is [[proper morphism|proper]], for ''Y'' a subvariety of ''X'' the pushforward is defined to be

:<math>f_*([Y]) = n [f(Y)]\,\!</math>

where ''n'' is the degree of the extension of [[Function field (scheme theory)|function fields]] [''k''(''Y'') : ''k''(''f''(''Y''))] if the restriction of ''f'' to ''Y'' is [[finite morphism|finite]] and 0 otherwise. -->

線型性により、これらの定義はアーベル群の準同型へ拡張でされる。

:<math>f^* \colon Z^k(X') \to Z^k(X) </math> 　と <math>f_* \colon Z_k(X) \to Z_k(X') \,\!</math>

はアーベル群の準同型である（これは記法のおかげ）。環構造に関連する函手の議論については、{{仮リンク|周環|en|Chow ring}}(Chow ring)を参照。
<!--By linearity, these definitions extend to homomorphisms of abelian groups

:<math>f^* \colon Z^k(X') \to Z^k(X) \quad\text{and}\quad f_* \colon Z_k(X) \to Z_k(X') \,\!</math>

(the latter by virtue of the convention) are homomorphisms of abelian groups. See [[Chow ring]] for a discussion of the functoriality related to the ring structure.-->

==参考文献==
* {{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link = William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]. Third series. A Series of Modern Surveys in Mathematics | isbn=978-0-387-98549-7 | mr=1644323 | year=1998 | volume=2}}
* {{Citation | editor1-last=Gordon | editor1-first=B. Brent | editor2-last=Lewis | editor2-first=James D. | editor3-last=Müller-Stach | editor3-first=Stefan | editor4-last=Saito | editor4-first=Shuji | editor5-first=Noriko | editor5-last=Yui| title=The arithmetic and geometry of algebraic cycles: proceedings of the CRM summer school, June 7–19, 1998, Banff, Alberta, Canada | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-1954-8 | year=2000 }}

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