代数的スタックのソースを表示

'''代数的スタック'''（だいすうてきスタック）あるいは'''代数スタック'''（だいすうスタック）とは、[[モジュライ空間|モジュライ理論]]の研究の基礎となる代数空間または[[概型|スキーム]]の一般化である。多くのモジュライ空間は、[[エミール・アルティン|アルティン]]の表現可能定理など、代数的スタック固有の手法を駆使して構築される。これは、尖った代数曲線のモジュライ空間の構築に使用される。 <math>\mathcal{M}_{g,n}</math>は楕円曲線のモジュラススタックで、それらはモジュライ空間の自己同型を追跡するために[[アレクサンドル・グロタンディーク|グロタンディーク]]<ref>{{Cite arXiv|arxiv=1603.02229|class=math.GT|last=A'Campo|first=Norbert|last2=Ji|first2=Lizhen|title=On Grothendieck's construction of Teichmüller space|date=2016-03-07}}</ref>により導入された。これは、モジュライ空間を基礎とするスキームや代数空間が滑らかであるかのように扱うことを可能とする。多くの一般化を通じ、代数的スタックの概念がついにアルティンにより発見された<ref name=":0">{{Cite journal|last=Artin|first=M.|date=1974|title=Versal deformations and algebraic stacks|url=https://eudml.org/doc/142310|journal=Inventiones Mathematicae|volume=27|issue=3|pages=165–189|bibcode=1974InMat..27..165A|DOI=10.1007/bf01390174|ISSN=0020-9910}}</ref>。

== 定義 ==
代数的スタックの動機付けの例の1つは、亜群スキームである。 <math>(R,U,s,t,m)</math> 固定スキーム上<math>S</math> 。たとえば、  （<math>\mu_n</math>は、1を根とする群スキーム）、 <math>U = \mathbb{A}^n_S</math> 、 <math>s = \text{pr}_U</math>射影、 <math>t</math>は群作用である。

'''代数的スタック'''はファイバー化された圏<blockquote><math>p: \mathcal{X} \to (\mathrm{Sch}/S)_{fppf}</math></blockquote>で以下の条件
# <math>\mathcal{X}</math>は[[亜群でファイバー化された圏]]である。
# ファイバー化された圏の対角射<math>\Delta:\mathcal{X} \to \mathcal{X}\times_S\mathcal{X}</math>は代数空間で表現可能である。
#  fppfスキーム<math>U \to S</math>と対応するファイバー圏の1-射 <math>\mathcal{U} \to \mathcal{X}</math>で全射かつ滑らかであるようなものが存在する。この射は'''アトラス'''と呼ばれる.

== 脚注 ==
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