代数的位相幾何学のソースを表示

'''代数的位相幾何学'''（だいすうてきいそうきかがく、[[英語]]：algebraic topology、代数的トポロジー）は[[抽象代数学|代数]]的手法を用いる[[位相幾何学]]の分野のことをいう。
古典的な位相幾何学は、図形として取り扱い易い[[多面体]]を扱っていたが、1900年前後の[[アンリ・ポアンカレ|ポアンカレ]]の一連の研究を契機として20世紀に発展した<ref>
{{Cite journal|和書| doi = 10.11540/bjsiam.15.1_49| volume = 15| issue = 1| pages = 49–52| author = 古田幹雄| title = トポロジーとその「応用」の可能性| journal = 応用数理| year = 2005}}
</ref>。
ポアンカレは [[1895年]]に出版した "''Analysis Situs''" の中で[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]の概念を導入した。これはホモロジー論へと発展した。同じ論文の中でポアンカレは[[基本群]]の研究を行った。これは[[ホモトピー]]論へと発展した。これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。
[[多様体]]、[[基本群]]、[[ホモトピー]]、[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]、[[コホモロジー]]、[[ファイバー束]]などの、[[位相空間]]の[[不変量]]として[[代数的構造|代数系]]を対応させ、位相的性質を代数的性質に移して研究する．

* セル複体（胞体複体）
**[[単体的複体]]
** [[CW複体]]
* [[多様体]]
** {{仮リンク|閉曲面|en|closed surface}}

== 主な小分野 ==
以下に代数的位相幾何学で研究されている主な領域を幾つか示す。

===ホモトピー群===
{{Main|ホモトピー群}}
数学において、ホモトピー群は[[位相空間]]を分類する為に代数的位相幾何で用いられる．最初のかつ最も単純なホモトピー群は[[基本群]]であり、これは空間のループに関する情報を記録している。直感的には，ホモトピー群は位相空間の基本的な形状あるいは穴の情報を記録している。

===ホモロジー===
{{Main|ホモロジー_(数学)|l1=ホモロジー}}
代数的位相幾何や[[抽象代数学]]において，'''ホモロジー'''（一部は[[ギリシア語]] ὁμός ''homos'' "同一" に由来）は、[[位相空間]]や[[群_(数学)|群]]などの所与の数学的対象に対して、[[アーベル群]]あるいは[[環上の加群|加群]]からなる[[列_(数学)|列]]を対応付ける仕方である。<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=163}}</ref>

===コホモロジー===
{{Main|コホモロジー}}
<!--
In [[homology theory]] and algebraic topology, '''cohomology''' is a general term for a [[sequence]] of [[abelian group]]s defined from a [[chain complex|co-chain complex]].  That is, cohomology is defined as the abstract study of '''cochains''', [[chain complex|cocycle]]s, and [[coboundary|coboundaries]].  Cohomology can be viewed as a method of assigning [[algebraic invariant]]s to a topological space that has a more refined [[algebraic structure]] than does [[homology (mathematics)|homology]]. Cohomology arises from the algebraic dualization of the construction of homology. In less abstract language, cochains in the fundamental sense should assign 'quantities' to the ''[[chain (algebraic topology)|chains]]'' of homology theory.
-->

===多様体===
{{Main|多様体}}
<!--
A '''manifold''' is a [[topological space]] that near each point resembles [[Euclidean space]]. Examples include the [[Plane (geometry)|plane]], the [[sphere]], and the [[torus]], which can all be realized in three dimensions, but also the [[Klein bottle]] and [[real projective plane]] which cannot be realized in three dimensions, but can be realized in four dimensions. Typically, results in algebraic topology focus on global, non-differentiable aspects of manifolds; for example [[Poincaré duality]].
-->

===結び目理論===
{{Main|結び目理論}}
<!--
'''Knot theory''' is the study of [[knot (mathematics)|mathematical knot]]s. While inspired by knots that appear in daily life in shoelaces and rope, a mathematician's knot differs in that the ends are joined together so that it cannot be undone. In precise mathematical language, a knot is an [[embedding]] of a [[circle]] in 3-dimensional [[Euclidean space]], <math>\mathbb{R}^3</math>. Two mathematical knots are equivalent if one can be transformed into the other via a deformation of <math>\mathbb{R}^3</math> upon itself (known as an [[ambient isotopy]]); these transformations correspond to manipulations of a knotted string that do not involve cutting the string or passing the string through itself.
-->

===複体===
{{Main|複体|CW複体}}
'''単体的複体'''は或る種の[[位相空間]]であって、[[点_(数学)|点]]、[[線分]]、[[三角形]]やそれらの [[単体_(数学)|n 次元の対応物]]を'''接着'''することで構成される。単体的複体を現代的な単体的ホモトピー論に現れるより抽象的な概念である[[単体的集合]]と混同してはならない。単体的複体の純粋に組み合わせ論的な対応物が[[抽象単体的複体]]である。

'''CW複体'''は{{仮リンク|J・H・C・ホワイトヘッド|en|J. H. C. Whitehead}}が[[ホモトピー論]]の要請にしたがって導入した位相空間の一種である。この空間のクラスは[[単体的複体]]のクラスよりも広大であり、かつ幾つかのより良い[[圏論|圏論的]]性質を持つが、なお（しばしばより小さな複体による）計算を許す組合せ論的な特質を保っている。<!-- 訳者メモ：ホモロジーやベッチ数などの計算のことだろうが原文が曖昧 -->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[志賀浩二]]、「数学の流れ30講 （下） ―20世紀数学の広がり―」(第24講、第25講)、朝倉書店、2009年

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{{数学}}
{{Topology}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たいすうてきいそうきかかく}}
[[Category:代数的位相幾何学|*]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]