代数的内部のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[函数解析学]]において、[[ベクトル空間]]の部分集合の'''代数的内部'''（だいすうてきないぶ、{{Lang-en-short|algebraic interior}}）あるいは'''動径核'''（radial kernel）は、集合の[[内部 (位相空間論)|内部]]を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が[[併呑集合|併呑]]となるような点、すなわちその集合の{{仮リンク|動径集合|label=動径点|en|radial set}}<ref name="coherent">{{cite journal|title=Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and (<math>\mu,\rho</math>)-Portfolio Optimization|first1=Stefan|last1=Jaschke|first2=Uwe|last2=Kuchler|year=2000}}</ref>の全体である。代数的内部の元は、しばしば（代数的）'''内点'''（internal points）と呼ばれる<ref name="aliprantis+border">{{cite book|last=Aliprantis|first=C.D.|last2=Border|first2=K.C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|pages=199–200}}</ref><ref name="cook">{{cite web|url=http://www.johndcook.com/SeparationOfConvexSets.pdf | accessdate=May 26, 2015 |format=pdf |title=Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces |author=John Cook |date=May 21, 1988}}</ref>。

具体的に、<math>X</math> が[[線型空間]]であるとき、<math>A \subseteq X</math> の代数的内部は次で定義される。

: <math>\operatorname{core}(A) := \left\{x_0 \in A: \forall x \in X,\, \exists t_x > 0,\, \forall t \in [0,t_x],\, x_0 + tx \in A\right\}.</math><ref>{{cite book|author=Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ|title=Functional analysis I: linear functional analysis|year=1992|publisher=Springer|isbn=978-3-540-50584-6}}</ref>

一般に <math>\operatorname{core}(A) \neq \operatorname{core}(\operatorname{core}(A))</math> であることに注意されたい。しかし <math>A</math> が[[凸集合]]であるなら、<math>\operatorname{core}(A) = \operatorname{core}(\operatorname{core}(A))</math> である。また <math>A</math> が凸集合であるときは、<math>x_0 \in \operatorname{core}(A), y \in A, 0 < \lambda \leq 1</math> に対して <math>\lambda x_0 + (1 - \lambda)y \in \operatorname{core}(A)</math> が成立する。

== 例 ==
<math>A \subset \mathbb{R}^2</math> が <math>A = \{x \in \mathbb{R}^2: x_2 \geq x_1^2 \text{ or } x_2 \leq 0\}</math> で与えられるなら、<math>0 \in \operatorname{core}(A)</math> である。しかし、<math>0 \not\in \operatorname{int}(A)</math> および <math>0 \not\in \operatorname{core}(\operatorname{core}(A))</math> である。

== 性質 ==
<math>A,B \subset X</math> であるなら、次が成り立つ。
* <math>A</math> が[[併呑集合]]であるための必要十分条件は、<math>0 \in \operatorname{core}(A)</math> である<ref name="coherent" />。
* <math>A + \operatorname{core}B \subset \operatorname{core}(A + B)</math><ref name="Zalinescu">{{cite book|last=Zălinescu|first=C.|title=Convex analysis in general vector spaces|publisher=World Scientific Publishing&nbsp; Co.,&nbsp;Inc|location= River Edge,&nbsp;NJ, |year= 2002|pages=2–3|isbn=981-238-067-1|mr=1921556}}</ref>
* <math>B = \operatorname{core}B</math><ref name="Zalinescu" /> であるなら、<math>A + \operatorname{core}B = \operatorname{core}(A + B)</math> である<ref name="Zalinescu" />。

=== 内部との関係 ===
<math>X</math> を[[線型位相空間]]とし、<math>\operatorname{int}</math> を内部作用素とし、<math>A \subset X</math> とする。このとき次が成り立つ：
* <math>\operatorname{int}A \subseteq \operatorname{core}A</math>
* <math>A</math> が空でない凸集合で、<math>X</math> が有限次元であるなら、<math>\operatorname{int}A = \operatorname{core}A</math> である<ref name="aliprantis+border" />。
* <math>A</math> が凸集合で、その内部が空でないなら、<math>\operatorname{int}A = \operatorname{core}A</math>である<ref name="kantorovitz">{{cite book|title=Introduction to Modern Analysis |author=Shmuel Kantorovitz |publisher=Oxford University Press |year=2003 |isbn=9780198526568 |page=134}}</ref>。
* <math>A</math> が閉凸集合で、<math>X</math> が[[完備距離空間]]であるなら、<math>\operatorname{int}A = \operatorname{core}A</math>である<ref>{{citation|title=Perturbation Analysis of Optimization Problems|series=Springer series in operations research|first1=J. Frederic|last1=Bonnans|first2=Alexander|last2=Shapiro|publisher=Springer|year=2000|isbn=9780387987057|at=Remark 2.73, p.&nbsp;56|url=https://books.google.co.jp/books?id=ET70F9HgIpIC&pg=PA56&redir_esc=y&hl=ja}}.</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[内部 (位相空間論)|内部]]
* [[相対的内部]]
* [[準相対的内部]]
* [[順序単位]]
* {{仮リンク|境界点 (函数解析学)|en|Bounding point}}

{{DEFAULTSORT:たいすうてきないふ}}
[[Category:位相空間論]]
[[Category:解析学]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]