代数的閉包のソースを表示

[[数学]]、特に[[抽象代数学]]において、[[可換体|体]] ''K'' の'''代数的閉包'''（だいすうてきへいほう、{{lang-en-short|algebraic closure}}）は、[[代数的閉体|代数的に閉じている]] ''K'' の[[代数拡大]]である。数学においてたくさんある[[閉包]]のうちの1つである。

[[ツォルンの補題]]を使って、すべての体は代数的閉包をもつ<ref name=McC21>McCarthy (1991) p.21</ref><ref>M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11-12.</ref><ref name=Kap7476>Kaplansky (1972) pp.74-76</ref>ことと、体 ''K'' の代数的閉包は ''K'' のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。この本質的な一意性のため、''an'' algebraic closure of ''K'' よりむしろ ''the'' algebraic closure of ''K'' と呼ばれることが多い。

体 ''K'' の代数的閉包は ''K'' の最大の代数拡大と考えることができる。このことを見るためには、次のことに注意しよう。''L'' を ''K'' の任意の代数拡大とすると、''L'' の代数的閉包は ''K'' の代数的閉包でもあり、したがって ''L'' は ''K'' の代数的閉包に含まれる。''K'' の代数的閉包はまた ''K'' を含む最小の代数的閉体でもある。なぜならば、''M'' が ''K'' を含む任意の代数的閉体であれば、''K'' 上[[代数拡大|代数的]]な ''M'' の元全体は ''K'' の代数的閉包をなすからだ。

体 ''K'' の代数的閉包の[[濃度 (数学)|濃度]]は、''K'' が無限体ならば ''K'' と同じで、''K'' が有限体ならば[[可算無限]]である<ref name=Kap7476/>。

== 例 ==
* [[代数学の基本定理]]により、[[実数]]体の代数的閉包は[[複素数]]体である。

* [[有理数]]体の代数的閉包は[[代数的数]]体である。

* 代数的数体を真に含み複素数体に含まれる可算濃度の代数的閉体は多数存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば '''Q'''(π) の代数的閉包。

* 元の個数が[[素数]]のベキ ''q'' である[[有限体]]の代数的閉包は[[可算無限]]の濃度をもつ体であって、各正[[整数]] ''n'' に対して位数 ''q''<sup>''n''</sup> の体のコピーを含む（実はこれらのコピーの和集合である）<ref>{{citation | title=Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields | volume=95 | series=Contemporary Mathematics | first1=Joel V. | last1=Brawley | first2=George E. | last2=Schnibben | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1989 | isbn=978-0-8218-5428-0 | contribution=2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field | pages=22–23 | url=https://books.google.co.jp/books?id=0HNfpAsMXhUC&pg=PA22&redir_esc=y&hl=ja | zbl=0674.12009}}.</ref>。

* {{仮リンク|ピュイズーの定理|en|Puiseux theorem}}により、[[標数]] 0 の代数的閉体係数[[ローラン級数]]体の代数的閉包は{{仮リンク|ピュイズー級数|en|Puiseux series}}体である<ref>{{cite book
|last = Eisenbud
|first = D.
|title = Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry
|year = 1995
|page = {{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=295|295}}
|publisher = Springer-Verlag
|isbn = 978-3-540-78122-6
}}</ref>。

== 分離閉包 ==
''K'' の代数的閉包 ''K<sup>alg</sup>'' は、''K'' の ''K<sup>alg</sup>'' におけるすべての（代数的）[[分離拡大]] を含むような ''K'' の唯一の[[分離拡大]] ''K<sup>sep</sup>'' を含む。この部分拡大は ''K'' の'''分離閉包'''（separable closure）と呼ばれる。分離拡大の分離拡大は再び分離拡大であるので、''K<sup>sep</sup>'' の2次以上の有限次分離拡大は存在しない。別の言い方をすれば、''K'' は「分離的に閉じている」代数拡大体に含まれている。これは（同型を除いて）本質的にただひとつである<ref name=McC22>McCarthy (1991) p.22</ref>。

分離閉包が代数閉包全体であることと ''K'' が[[完全体]]であることは同値である。例えば、 ''K'' が標数 ''p'' &ne; 0 の体で ''X'' が ''K'' 上超越的であれば、<math>K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)</math> は非分離的代数拡大である。

一般に、''K'' の{{仮リンク|絶対ガロワ群|en|absolute Galois group}}は ''K<sup>sep</sup>'' の ''K'' 上のガロワ群である<ref name=FJ12>{{cite book | last1=Fried | first1=Michael D. | last2=Jarden | first2=Moshe | title=Field arithmetic | edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=11 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001 | page=12 }}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[代数的閉体]]
* [[代数拡大]]
* {{仮リンク|ピュイズー展開|en|Puiseux expansion}}

==脚注==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{cite book | first=Irving | last=Kaplansky | authorlink=Irving Kaplansky | title=Fields and rings | edition=Second | series=Chicago lectures in mathematics | publisher=University of Chicago Press | year=1972 | isbn=0-226-42451-0 | zbl=1001.16500 }}
* {{cite book | last=McCarthy | first=Paul J. | title=Algebraic extensions of fields | edition=Corrected reprint of the 2nd | isbn=978-0-486-66651-8 | zbl=0768.12001 | location=New York | publisher=Dover Publications | year=1991 }}

{{DEFAULTSORT:たいすうてきへいほう}}
[[Category:体の拡大]]
[[Category:数学に関する記事]]