代数的K理論のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、'''代数的K-理論'''（だいすうてきK-りろん、algebraic K-theory）は、ある非負な整数 n に対して[[環 (数学)|環]]から[[アーベル群]]への[[函手]]の系列
:<math>K_n(R)</math>
を定義して適用することに関係した[[ホモロジー代数]]の重要な一部である。歴史的理由により、'''[[#低次 K-群|低次 K-群]]''' K<sub>0</sub> と K<sub>1</sub> は、n ≥ 2 に対する'''[[#低次 K-群|高次 K-群]]''' K<sub>n</sub> とはいくらか異なった項と考えられている。実際、高次の群よりも低次の群は受け入れやすく、より多くの応用を持っている。高次の群の理論は、（ R が[[整数]]の環であるときでさえ）非常に深く、計算することが確かに困難である。

群 K<sub>0</sub>(R) は、[[射影加群]]を使い、環の[[イデアル類群]]の構成を一般化したことになる。1960年代、1970年代の発展は、現在は{{仮リンク|キレン・サスリンの定理|en|Quillen–Suslin theorem}}(Quillen–Suslin theorem)となっている射影加群についての[[ジャン＝ピエール・セール]](Jean-Pierre Serre)の予想を解こうとした努力に関係していた。キレン・サスリンの定理は、この分野で発見された古典的代数の他の問題に多く関連している。同じように、K<sub>1</sub>(R) は、[[行列の基本変形]]を使った環の[[可逆元]]の群の変形である。群 K<sub>1</sub>(R) はトポロジー、特に、R が[[群環]]のときに重要である。なぜなら、その商である{{仮リンク|ホワイトヘッドの捩れ|label=ホワイトヘッド群|en|Whitehead torsion}}(Whitehead group)が、[[CW複体|単純ホモトピー論]](simple homotopy theory)や{{仮リンク|手術理論|label=手術|en|surgery theory}}(surgery theory)の理論における問題を研究するためのホワイトヘッドの捩れを含んでいるからである。群 K<sub>0</sub>(R) もたとえば有限性不変量のような他の不変量を含んでいる。1980年代以降、代数的K-理論は、ますます[[代数幾何学]]へ多くの応用が増加している。たとえば、{{仮リンク|モチーヴィックコホモロジー|en|motivic cohomology}}(motivic cohomology)は密接に代数的K-理論に関係している。
<!--In [[mathematics]], '''algebraic K-theory''' is an important part of [[homological algebra]] concerned with defining and applying a sequence

:''K''<sub>''n''</sub>(''R'')

of [[functor]]s from [[ring (mathematics)|rings]] to [[abelian group]]s, for all nonnegative integers ''n''. For historical reasons, the '''[[#Lower K-groups|lower K-groups]]''' ''K''<sub>0</sub> and ''K''<sub>1</sub> are thought of in somewhat different terms from the '''[[#Higher K-theory|higher algebraic K-groups]]''' ''K''<sub>''n''</sub> for ''n'' ≥ 2. Indeed, the lower groups are more accessible, and have more applications, than the higher groups. The theory of the higher K-groups is noticeably deeper, and certainly much harder to compute (even when ''R'' is the ring of [[integer]]s).

The group ''K''<sub>0</sub>(''R'') generalises the construction of the [[ideal class group]] of a ring, using [[projective module]]s. Its development in the 1960s and 1970s was linked to attempts to solve a conjecture of [[Jean-Pierre Serre|Serre]] on projective modules that now is the [[Quillen–Suslin theorem]]; numerous other connections with classical algebraic problems were found in this era. Similarly, ''K''<sub>1</sub>(''R'') is a modification of the group of [[unit (ring theory)|units]] in a ring, using [[elementary matrix]] theory. The group ''K''<sub>1</sub>(''R'') is important in [[topology]], especially when ''R'' is a [[group ring]], because its quotient the [[Whitehead torsion#The Whitehead group of a group|Whitehead group]] contains the [[Whitehead torsion]] used to study problems in [[CW complex|simple homotopy theory]] and [[surgery theory]]; the group ''K''<sub>0</sub>(''R'') also contains other invariants such as the finiteness invariant. Since the 1980s, algebraic ''K''-theory has increasingly had applications to [[algebraic geometry]]. For example, [[motivic cohomology]] is closely related to algebraic ''K''-theory.-->

== 歴史 ==
[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexander Grothendieck)は、1950年代中期に K-理論を[[リーマン・ロッホの定理]]に非常に広い一般化を述べるためのフレームワークとして発見した。その後数年以内には、K-理論の位相的側面が、[[マイケル・アティヤ]](Michael Atiyah)と[[フリードリッヒ・ヒルツェブルフ]](Friedrich Hirzebruch)により考え出され、現在は{{仮リンク|位相的K-理論|en|topological K-theory}}(topological K-theory)として知られている。

K-群の応用は[[多様体]]の{{仮リンク|手術理論|en|surgery theory}}(surgery theory)では、1960年代に K-群が発見され、特に、古典的な代数学の問題とこれ以外にも多くの関係がもたらされた。

少し遅れて、理論の[[作用素代数]]のための一分野は、豊かな発展をして、{{仮リンク|作用素K-理論|en|operator K-theory}}(operator K-theory)や{{仮リンク|KK-理論|en|KK-theory}}(KK-theory)をもたらした。K-理論は[[代数幾何学]]において[[代数的サイクル]]の理論で役割をはたすことも、明らかとなった（{{仮リンク|ゲルステンの予想|en|Gersten's conjecture}}(Gersten's conjecture)）<ref name=SABK36>{{cite book | last1=Soulé | first1=C. | last2=Abramovich | first2=Dan | last3=Burnol | first3=J.-F. | last4=Kramer | first4=Jürg | others=Joint work with H. Gillet | title=Lectures on Arakelov geometry | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=33 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1992 | isbn=0-521-47709-3 | zbl=0812.14015 | page=36 }}</ref>。ここでは'''高次''' K-群が'''高次の余次元'''の現象と関連してきていて、このことが研究を難しくしている。問題は、定義が不足していること（もしくは、多過ぎて、明らかな整合性を持たないこと）である。{{仮リンク|ロバート・スタインバーグ|en|Robert Steinberg}}(Robert Steinberg)の古典代数群の普遍中心拡大についての仕事により、[[ジョン・ウィラード・ミルナー|ジョン・ミルナー]](John Milnor)は環 A の群 K<sub>2</sub>(A) を、H<sub>2</sub>(E(A),'''Z''') と同型となる A 上の無限要素行列の群 E(A) の普遍中心拡大の中心として定義した（以下の定義）。そこには自然な K<sub>1</sub>(A) × K<sub>1</sub>(A) から K<sub>2</sub>(A) への双線型ペアリングが存在する。体 k の特別な場合には、K<sub>1</sub>(k) は乗法群 GL(1,k) に同型であり、{{仮リンク|松本秀也|en|Hideya Matsumoto}}(Hideya Matsumoto)は、K<sub>2</sub>(k) はある簡単に記述される関係式の集合を modulo とした K<sub>1</sub>(A) × K<sub>1</sub>(A) により生成される群に同型である。

結局、基本的な難しさは、（深い困難な理論を離れ）{{harvs|txt|authorlink=Quillen|last=Quillen|year1=1973|year2=1974}} により解決された。彼は{{仮リンク|プラス構成|en|plus-construction}}(plus-construction)と'''{{仮リンク|Q-構成|en|Q-construction}}'''(Q-construction)を通して、任意の非負な n に対して K<sub>n</sub>(A) の定義方法をいくつか示した。
<!--== History ==
[[Alexander Grothendieck]] discovered K-theory in the mid-1950s as a framework to state his far-reaching generalization of the [[Riemann–Roch theorem]]. Within a few years, its topological counterpart was considered by [[Michael Atiyah]] and [[Friedrich Hirzebruch]] and is now known as [[topological K-theory]].

Applications of ''K''-groups were found from 1960 onwards in [[surgery theory]] for [[manifold]]s, in particular; and numerous other connections with classical algebraic problems were brought out.

A little later a branch of the theory for [[operator algebra]]s was fruitfully developed, resulting in [[operator K-theory]] and [[KK-theory]]. It also became clear that ''K''-theory could play a role in [[algebraic cycle]] theory in [[algebraic geometry]] ([[Gersten's conjecture]]):<ref name=SABK36>{{cite book | last1=Soulé | first1=C. | last2=Abramovich | first2=Dan | last3=Burnol | first3=J.-F. | last4=Kramer | first4=Jürg | others=Joint work with H. Gillet | title=Lectures on Arakelov geometry | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=33 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1992 | isbn=0-521-47709-3 | zbl=0812.14015 | page=36 }}</ref> here the ''higher'' K-groups become connected with the ''higher codimension'' phenomena, which are exactly those that are harder to access. The problem was that the definitions were lacking (or, too many and not obviously consistent). Using [[Robert Steinberg]]'s work on universal central extensions of classical algebraic groups, [[John Milnor]] defined the group  ''K''<sub>2</sub>(''A'') of a ring ''A'' as the center, isomorphic to ''H''<sub>2</sub>(E(''A''),'''Z'''), of the universal central extension of the group ''E''(''A)'' of infinite elementary matrices over ''A''. (Definitions below.) There is a natural bilinear pairing from ''K''<sub>1</sub>(''A'') × ''K''<sub>1</sub>(''A'')  to ''K''<sub>2</sub>(''A''). In the special case of a field k, with ''K''<sub>1</sub>(''k'') isomorphic to the multiplicative group GL(1,''k''), computations of [[Hideya Matsumoto]] showed that ''K''<sub>2</sub>(''k'') is isomorphic to the group generated by ''K''<sub>1</sub>(''A'') × ''K''<sub>1</sub>(''A'') modulo an easily described set of relations.

Eventually the foundational difficulties were resolved (leaving a deep and difficult theory) by {{harvs|txt|authorlink=Daniel Quillen|last=Quillen|year1=1973|year2=1974}}, who gave several definitions of ''K''<sub>''n''</sub>(''A'') for arbitrary non-negative ''n'', via the [[plus-construction]] and the ''[[Q-construction|Q''-construction]].-->

== 低次 K-群 ==
低次 K-群は、最初に発見され、様々な発見的な記述を持ち、有益なことがわかった。この記事においては、A を[[環 (数学)|環]]とする。
<!--== Lower K-groups ==
The lower K-groups were discovered first, and given various ad hoc descriptions, which remain useful. Throughout, let ''A'' be a [[ring (mathematics)|ring]].-->

=== K<sub>0</sub> ===
函手 K<sub>0</sub> は環 A に対し、A 上の[[有限生成加群|有限生成]]な[[射影加群]]の同型類の集合を直積によりモノイドとみなしたときの[[グロタンディーク群]]を K<sub>0</sub>(A) とすることで得られる 。任意の環準同型 A → B は、射影 A-加群 M を M ⊗<sub>A</sub> B へ写すことにより、写像 K<sub>0</sub>(A) → K<sub>0</sub>(B) を誘導するので、 K<sub>0</sub> は共変関手となる。

環 A が可換であれば、K<sub>0</sub>(A) の部分群を集合

: <math>\tilde{K}_0\left(A\right) = \bigcap\limits_{\mathfrak p\text{ prime ideal of }A}\mathrm{Ker}\dim_{\mathfrak p},</math>

として定義することができる。ここに、

:<math>\dim_{\mathfrak p}:K_0\left(A\right)\to \mathbf{Z}</math>

は、有限生成射影 A-加群 M を自由 <math>A_{\mathfrak p}</math>-加群 <math>M_{\mathfrak p}</math> のランクへ写す写像である（局所環上の有限生成射影加群は自由加群であるので、この加群は実際、自由加群である）。この部分群 <math>\tilde{K}_0\left(A\right)</math> は A の'''縮退した 0 番目の K-理論'''として知られている。

B を[[擬環|単位元のない環]]とすると、K<sub>0</sub> の定義を次のように拡張することができる。環 A を、アーベル群  B⊕'''Z''' に積構造を (x,n)×(y,m)=(xy+ny+mx,nm) で入れたものとして定義する。 A の単位元は (0,1) である。このとき 短完全系列 0 → B → A → '''Z →''' 0 が得られるが、K<sub>0</sub>(B) を対応する写像 K<sub>0</sub>(A) → K<sub>0</sub>('''Z''') = '''Z'''の核として定義する<ref name=Ros30>Rosenberg (1994) p.30</ref>。
<!--=== ''K''<sub>0</sub> ===
The functor ''K''<sub>0</sub> takes a ring ''A'' to the [[Grothendieck group]] of the set of isomorphism classes of its [[finitely generated module|finitely generated]] [[projective module]]s, regarded as a monoid under direct sum. Any ring homomorphism ''A'' → ''B'' gives a map ''K''<sub>0</sub>(''A'') → ''K''<sub>0</sub>(''B'') by mapping (the class of) a projective ''A''-module ''M'' to ''M'' ⊗<sub>''A''</sub> ''B'', making ''K''<sub>0</sub> a covariant functor.

If the ring ''A'' is commutative, we can define a subgroup of  ''K''<sub>0</sub>(''A'') as the set

: <math>\tilde{K}_0\left(A\right) = \bigcap\limits_{\mathfrak p\text{ prime ideal of }A}\mathrm{Ker}\dim_{\mathfrak p},</math>

where :

:<math>\dim_{\mathfrak p}:K_0\left(A\right)\to \mathbf{Z}</math>

is the map sending every (class of a) finitely generated projective ''A''-module ''M'' to the rank of the free <math>A_{\mathfrak p}</math>-module <math>M_{\mathfrak p}</math> (this module is indeed free, as any finitely generated projective module over a local ring is free). This subgroup <math>\tilde{K}_0\left(A\right)</math> is known as the ''reduced zeroth K-theory'' of ''A''.

If ''B'' is a [[pseudo-ring|ring without an identity element]], we can extend the definition of K<sub>0</sub> as follows.  Let ''A'' = ''B''⊕'''Z''' be the extension of ''B'' to a ring with unity obtaining by adjoining an identity element (0,1).  There is a short exact sequence ''B'' → ''A'' → '''Z''' and we define K<sub>0</sub>(''B'') to be the kernel of the corresponding map K<sub>0</sub>(''A'') → K<sub>0</sub>('''Z''') = '''Z'''.<ref name=Ros30>Rosenberg (1994) p.30</ref>-->

====相対的 K<sub>0</sub>====
I を A のイデアルとし、次のように、「ダブル」を[[デカルト積]] A × A の部分環と定義する<ref name=Ros27>Rosenberg (1994) 1.5.1, p.27</ref>。

:<math>D(A,I) = \{ (x,y) \in A \times A : x-y \in I \} \ . </math>

'''相対的 K-群'''(relative K-group)は、「ダブル」を用いて

:<math>K_0(A,I) = \ker \left({ K_0(D(A,I)) \rightarrow K_0(A) }\right)</math>

で定義される<ref name=Ros27a>Rosenberg (1994) 1.5.3, p.27</ref>。ここに写像は第一因子の射影により引き起こされた写像である。

相対的 K<sub>0</sub>(A,I) は I を恒等元を持たない環とみなしたときの K<sub>0</sub>(''I'') と同型である。A からの独立性はホモロジーの{{仮リンク|切除定理|en|Excision theorem}}(Excision theorem)の類似である<ref name=Ros30/>。
<!--====Relative K<sub>0</sub>====
Let ''I'' be an ideal of ''A'' and define the "double" to be a subring of the [[Cartesian product]] ''A''×''A'':<ref name=Ros27>Rosenberg (1994) 1.5.1, p.27</ref>

:<math>D(A,I) = \{ (x,y) \in A \times A : x-y \in I \} \ . </math>

The ''relative K-group'' is defined in terms of the "double"<ref name=Ros27a>Rosenberg (1994) 1.5.3, p.27</ref>

:<math>K_0(A,I) = \ker \left({ K_0(D(A,I)) \rightarrow K_0(A) }\right) \ . </math>

where the map is induced by projection along the first factor.

The relative K<sub>0</sub>(''A'',''I'') is isomorphic to K<sub>0</sub>(''I''), regarding ''I'' as a ring without identity.  The independence from ''A'' is an analogue of the [[Excision theorem]] in homology.<ref name=Ros30/>-->

====環としての K<sub>0</sub>====
A を可換環とすると、射影加群の[[テンソル積]]は再び射影的であり、従って、 K<sub>0</sub>(A) はテンソル積を積とすることにより単位元としてクラス [A] を持つ可換環となる。[[外積代数|外積]]は同様に {{仮リンク|λ-環|en|λ-ring}}(λ-ring)の構造を引き起こす。 A の[[ピカール群]]は単数群 K<sub>0</sub>(''A'')<sup>&lowast;</sup> の部分群として埋め込まれる<ref>Milnor (1971) p.15</ref>。
<!--====''K''<sub>0</sub> as a ring====
If ''A'' is a commutative ring, then the [[tensor product]] of projective modules is again projective, and so tensor product induces a multiplication turning K<sub>0</sub> into a commutative ring with the class [''A''] as identity.<ref name=Mil5/>  The [[exterior product]] similarly induces a [[λ-ring]] structure.
The [[Picard group]] embeds as a subgroup of the group of units K<sub>0</sub>(''A'')<sup>&lowast;</sup>.<ref name=Mil15>Milnor (1971) p.15</ref>-->

=== K<sub>1</sub>===
この定義は{{仮リンク|ハイマン・バス|en|Hyman Bass}}(Hyman Bass)により与えられた。K<sub>1</sub>(A) は{{仮リンク|無限一般線形群|en|infinite general linear group}}(infinite general linear group)の[[交換子部分群#アーベル化|アーベル化]]である。

:<math>K_1(A) = \operatorname{GL}(A)^{\mbox{ab}} = \operatorname{GL}(A) / [\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]</math>

ここに、

:<math>\operatorname{GL}(A) = \operatorname{colim} \operatorname{GL}(n, A)</math>

は左上への[[ブロック行列]]としての埋め込み GL(n) → GL(n&nbsp;+&nbsp;1) の[[帰納極限]]であり、[GL(A), GL(A)] はそれの[[交換子部分群]]である。 [GL(A), GL(A)] は{{仮リンク|ホワイトヘッドの補題|en|Whitehead's lemma}}(Whitehead's lemma)により、基本行列（対角成分が全て1で、0でない非対角成分をただひとつ持つ行列）から生成される群 E(A)&nbsp;=&nbsp;[GL(A), GL(A)] と一致する<ref>Rosenberg (1994) 2.1.4, p.61</ref>。実際、群 GL(A)/E(A) はホワイトヘッドにより最初に定義され、研究され<ref>J.H.C. Whitehead, ''Simple homotopy types'' Amer. J. Math. , 72 (1950) pp. 1–57</ref>、環 A の'''ホワイトヘッド群'''(Whitehead group)と呼ばれる。
<!--=== ''K''<sub>1</sub> ===
[[Hyman Bass]] provided this definition, which generalizes the group of units of a ring: ''K''<sub>1</sub>(''A'') is the [[abelianization]] of the [[infinite general linear group]]:

:<math>K_1(A) = \operatorname{GL}(A)^{\mbox{ab}} = \operatorname{GL}(A) / [\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]</math>

Here

:<math>\operatorname{GL}(A) = \operatorname{colim} \operatorname{GL}(n, A)</math>

is the [[direct limit]] of the GL(''n''), which embeds in GL(''n''&nbsp;+&nbsp;1) as the upper left [[block matrix]], and the [[commutator subgroup]] agrees with the group generated by elementary matrices ''E''(''A'')&nbsp;=&nbsp;[GL(''A''), GL(''A'')], by [[Whitehead's lemma]]. Indeed, the group GL(''A'')/E(''A'') was first defined and studied by Whitehead,<ref>J.H.C. Whitehead, ''Simple homotopy types'' Amer. J. Math. , 72 (1950) pp. 1–57</ref> and is called the '''Whitehead group''' of the ring ''A''.-->

==== 相対的 K<sub>1</sub> ====
'''相対的K-群'''(relative K-group)は、K<sub>0</sub>  と同様に「ダブル」を用いて定義される<ref name="Ros92">Rosenberg (1994) 2.5.1, p.92</ref>。

:<math>K_1(A,I) = \ker \left({ K_1(D(A,I)) \rightarrow K_1(A) }\right) \ . </math>

次の自然な[[完全系列]]が存在する<ref name="Ros95">Rosenberg (1994) 2.5.4, p.95</ref>。

:<math> K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \rightarrow K_1(A/I) \rightarrow K_0(A,I) \rightarrow K_0(A) \rightarrow K_0(A/I) \ . </math>
<!--==== Relative ''K''<sub>1</sub> ====
The ''relative K-group'' is defined in terms of the "double"<ref name=Ros92>Rosenberg (1994) 2.5.1, p.92</ref>

:<math>K_1(A,I) = \ker \left({ K_1(D(A,I)) \rightarrow K_1(A) }\right) \ . </math>

There is a natural [[exact sequence]]<ref name=Ros95>Rosenberg (1994) 2.5.4, p.95</ref>

:<math> K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \rightarrow K_1(A/I) \rightarrow K_0(A,I) \rightarrow K_0(A) \rightarrow K_0(A/I) \ . </math>-->

==== 可換環と可換体 ====
[[可換環]] A に対し、行列式 det: GL(A) → A* は E(A) 上で1となり、従って、写像 det: K<sub>1</sub>(A) → A* を誘導する。E(A) ◅ SL(A) より、'''特殊ホワイトヘッド群'''(special Whitehead group) SK<sub>1</sub>(A) := SL(A)/E(A) を定義することもできる。この写像は、写像 A* → GL(1, A) → K<sub>1</sub>(A) (左上の角での単元) を通して分解し、[[完全系列|分裂短完全系列]](split short exact sequence)を導く。

:<math>1 \to SK_1(A) \to K_1(A) \to A^* \to 1.</math>

この式は、通常の[[特殊線形群]]を定義する分裂完全系列

:<math>1 \to \operatorname{SL}(A) \to \operatorname{GL}(A) \to A^* \to 1.</math>

の商である。行列式は、単元群 A* = GL<sub>1</sub>(A) が一般線形群 GL(A) に含まれることによって分裂し、従って、K<sub>1</sub>(A) は単元群と特殊ホワイトヘッド群の直和 K<sub>1</sub>(A) ≅ A* ⊕ SK<sub>1</sub> (A) として分裂する。

A がユークリッド整域（例えば、体や整数環 '''Z''' ）であるとき、SK<sub>1</sub>(A) は 0 となり、行列式写像は K<sub>1</sub>(A) から A<sup>&lowast;</sup> への同型である<ref name=Ros74>Rosenberg (1994) Theorem 2.3.2, p.74</ref>。このことは一般的な PID A に対しては'''誤り'''であり、全ての PID へは一般化できないユークリッド整域の性質という、数学的にまれな例となっている。SK<sub>1</sub> が 0 でない明示的な PID は、1980年にアイシェベック(Ischebeck)に、1981年にグレイソン(Grayson)により与えられた<ref name=Ros75>Rosenberg (1994) p.75</ref>。A がデデキント整域で、その商体が[[代数体]]（有理数体の有限拡大体）となる場合は、{{harvtxt|Milnor|1971|loc=corollary 16.3}} が、SK<sub>1</sub>(A)=0 となることを示した<ref name=Ros81>Rosenberg (1994) p.81</ref>。

SK<sub>1</sub> が 0 となることは、K<sub>1</sub> が GL の中の GL<sub>1</sub> の像により生成されたと解釈することができる。そうでない場合は、K<sub>1</sub> が GL<sub>2</sub> の像により生成されるかどうかが問題となる。デデキント整域の場合はこれは正しく、つまり、K<sub>1</sub> が GL の中の GL<sub>1</sub> と SL<sub>2</sub> により生成される<ref name=Ros75/>。SL<sub>2</sub> により生成された SK<sub>1</sub> の部分群は{{仮リンク|メニッケ記号|en|Mennicke symbol}}(Mennicke symbol)により研究することができる。極大イデアルによる剰余環がすべて有限体となるようなデデキント整域に対し、SK<sub>1</sub> は捩れ群(torsion group)である<ref name=Ros78>Rosenberg (1994) p.78</ref>。

非可換環に対し、行列式は一般には定義することができないが、写像 GL(A) → K<sub>1</sub>(A) は行列式の一般化である。
<!--==== Commutative rings and fields ====
For ''A'' a [[commutative ring]], one can define a determinant det: GL(''A'') → ''A*'' to the [[group of units]] of ''A'', which vanishes on E(''A'') and thus descends to a map det: ''K<sub>1</sub>(A)'' → ''A*''.  As E(''A'') ◅ SL(''A''), one can also define the '''special Whitehead group''' SK<sub>1</sub>(''A'') := SL(''A'')/E(''A''). This map splits via the map ''A*'' → GL(1, ''A'') → ''K<sub>1</sub>(A)'' (unit in the upper left corner), and hence is onto, and has the special Whitehead group as kernel, yielding the [[split short exact sequence]]:

:<math>1 \to SK_1(A) \to K_1(A) \to A^* \to 1,</math>

which is a quotient of the usual split short exact sequence defining the [[special linear group]], namely

:<math>1 \to \operatorname{SL}(A) \to \operatorname{GL}(A) \to A^* \to 1.</math>

The determinant is split by including the group of units  ''A*'' = GL<sub>1</sub>(''A'') into the general linear group GL''(A)'', so  ''K<sub>1</sub>(A)'' splits as the direct sum of the group of units and the special Whitehead group: ''K<sub>1</sub>(A)'' ≅ ''A*'' ⊕ SK<sub>1</sub> (''A'').

When ''A'' is a Euclidean domain (e.g. a field, or the integers) SK<sub>1</sub>(''A'') vanishes, and the determinant map is an isomorphism from K<sub>1</sub>(''A'') to ''A''<sup>&lowast;</sup>.<ref name=Ros74>Rosenberg (1994) Theorem 2.3.2, p.74</ref> This is ''false'' in general for PIDs, thus providing one of the rare mathematical features of Euclidean domains that do not generalize to all PIDs.  An explicit PID such that SK<sub>1</sub> is nonzero was given by Ischebeck in 1980 and by Grayson in 1981.<ref name=Ros75>Rosenberg (1994) p.75</ref> If ''A'' is a Dedekind domain whose quotient field is an [[algebraic number field]] (a finite extension of the rationals) then {{harvtxt|Milnor|1971|loc=corollary 16.3}} shows that SK<sub>1</sub>(''A'') vanishes.<ref name=Ros81>Rosenberg (1994) p.81</ref>

The vanishing of SK<sub>1</sub> can be interpreted as saying that K<sub>1</sub> is generated by the image of GL<sub>1</sub> in GL.  When this fails, one can ask whether K<sub>1</sub> is generated by the image of GL<sub>2</sub>.  For a Dedekind domain, this is the case: indeed, K<sub>1</sub> is generated by the images of GL<sub>1</sub> and SL<sub>2</sub> in GL.<ref name=Ros75/>  The subgroup of SK<sub>1</sub> generated by SL<sub>2</sub> may be studied by [[Mennicke symbol]]s.  For Dedekind domains with all quotients by maximal  ideals finite, SK<sub>1</sub> is a torsion group.<ref name=Ros78>Rosenberg (1994) p.78</ref>

For a non-commutative ring, the determinant cannot in general be defined, but the map GL(''A'') → ''K''<sub>1</sub>(''A'') is a generalisation of the determinant.-->

====中心単純代数====
体 F 上の[[中心的単純環|中心的単純代数]] A の場合には、[[中心的単純環|被約ノルム]]が行列式の一般化 K<sub>1</sub>(A) → F<sup>&lowast;</sup> を与え、SK<sub>1</sub>(A) はその核として定義することができる。'''ワンの定理'''(Wang's theorem)は、A が素数の次数を持つと、SK<sub>1</sub>(A) が自明になるという定理であり<ref name=GS47>Gille & Szamuely (2006) p.47</ref>、これは平方因子をもたない次数へ一般化することができる<ref name=GS48>Gille & Szamuely (2006) p.48</ref>。[[:en:Shianghao Wang|Shianghao Wang]]も、SK<sub>1</sub>(A) が数体上の任意の中心的単純代数 A に対して自明であることを示したが<ref name=Wang1950>{{cite journal | zbl=0040.30302 | last=Wang | first=Shianghaw | authorlink=Shianghao Wang | title=On the commutator group of a simple algebra | journal=Am. J. Math. | volume=72 | pages=323–334 | year=1950 | issn=0002-9327 | doi=10.2307/2372036}}</ref>、しかしプラトノフ(Platonov)は SK<sub>1</sub>(A) が非自明となるような、次数が素数の二乗である代数の例を与えた<ref name=GS48/>。
<!--====Central simple algebras====
In the case of a [[central simple algebra]] ''A'' over a field ''F'', the [[reduced norm]] provides a generalisation of the determinant giving a map ''K''<sub>1</sub>(''A'') → ''F''<sup>&lowast;</sup> and SK<sub>1</sub>(''A'') may be defined as the kernel.  '''Wang's theorem''' states that if ''A'' has prime degree then SK<sub>1</sub>(''A'') is trivial,<ref name=GS47>Gille & Szamuely (2006) p.47</ref> and this may be extended to square-free degree.<ref name=GS48>Gille & Szamuely (2006) p.48</ref>  [[Shianghao Wang|Wang]] also showed that SK<sub>1</sub>(''A'') is trivial for any central simple algebra over a number field,<ref name=Wang1950>{{cite journal | zbl=0040.30302 | last=Wang | first=Shianghaw | authorlink=Shianghao Wang | title=On the commutator group of a simple algebra | journal=Am. J. Math. | volume=72 | pages=323–334 | year=1950 | issn=0002-9327 | doi=10.2307/2372036}}</ref> but Platonov has given examples of algebras of degree prime squared for which SK<sub>1</sub>(''A'') is non-trivial.<ref name=GS48/>-->

=== K<sub>2</sub> ===
{{See also|{{仮リンク|スタインバーグ群 (K-理論)|en|Steinberg group (K-theory)}}(Steinberg group) }}
<!--松本の定理はここへリンクされている-->
[[ジョン・ウィラード・ミルナー|ジョン・ミルナー]](John Milnor)は、K<sub>2</sub> の正しい定義を発見した。ミルナーの定義は、A の{{仮リンク|スタインバーグ群 (K-理論)|en|Steinberg group (K-theory)}}(Steinberg group) St(A) の[[群の中心|中心]]である。

これは写像

:<math>\varphi\colon\operatorname{St}(A)\to\mathrm{GL}(A),</math>

あるいは、[[行列の基本変形]]の群の{{仮リンク|シューアの乗数|en|Schur multiplier}}(Schur multiplier)の[[核 (代数学)|核]]としても定義することができる。

体に対する K<sub>2</sub> は{{仮リンク|スタインバーグの記号|en|Steinberg symbol}}(Steinberg symbol)により決定される。このことが松本の定理を導く。

任意の有限体に対し、K<sub>2</sub> が 0 であることを計算することができる<ref name=Lam139>Lam (2005) p.139</ref><ref name=Lem66>Lemmermeyer (2000) p.66</ref>。K<sub>2</sub>('''Q''') の計算は複雑である。テイト(Tate)は<ref name=Lem66/><ref name=Mil101>Milnor (1971) p.101</ref>、

:<math>K_2(\mathbf{Q}) = (\mathbf{Z}/4)^* \times \prod_{p \text{ odd prime}} (\mathbf{Z}/p)^* \  </math>

であることを証明し、[[平方剰余の相互法則]]の[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]](Gauss)による第一証明に従うことを注意した<ref name=Mil102>Milnor (1971) p.102</ref><ref name=Gras205>Gras (2003) p.205</ref>。

非アルキメデス的局所体に対し、群 K<sub>2</sub>(F) は位数 m の有限[[巡回群]]の直和であり、いわば、[[可除群]](divisible group)<ref>可除群は、全ての元が正の整数により割ることのできる可換群である。可除群は[[単射加群|単射]]可換群であるので、アーベル群の構造を理解する上で重要である。</ref> K<sub>2</sub>(F)<sup>m</sup> である<ref name=Mil175>Milnor (1971) p.175</ref>。

K<sub>2</sub>('''Z''') = '''Z'''/2,<ref name=Mil81>Milnor (1971) p.81</ref>を得る。数体の整数環に対し、一般的に K<sub>2</sub> は有限である<ref name=Lem385>Lemmermeyer (2000) p.385</ref>。

さらに、n が 4 で割り切れれば、K<sub>2</sub>('''Z'''/''n'') = '''Z'''/2 であり、そうでない場合は 0 であることが分かる<ref name=Sil228>Silvester (1981) p.228</ref>。
<!--=== ''K''<sub>2</sub> ===
{{See also|Steinberg group (K-theory)}}
***Matsumoto's theorem (K-theory) links here***(comments)
[[John Milnor]] found the right definition of ''K''<sub>2</sub>: it is the [[centre of a group|center]] of the [[Steinberg group (K-theory)|Steinberg group]] St(''A'') of ''A''.

It can also be defined as the [[kernel (algebra)|kernel]] of the map

:<math>\varphi\colon\operatorname{St}(A)\to\mathrm{GL}(A),</math>

or as the [[Schur multiplier]] of the group of [[elementary matrices]].

For a field, K<sub>2</sub> is determined by [[Steinberg symbol]]s: this leads to Matsumoto's theorem.

One can compute that K<sub>2</sub> is zero for any finite field.<ref name=Lam139>Lam (2005) p.139</ref><ref name=Lem66>Lemmermeyer (2000) p.66</ref>  The computation of K<sub>2</sub>('''Q''') is complicated: Tate proved<ref name=Lem66/><ref name=Mil101>Milnor (1971) p.101</ref>

:<math>K_2(\mathbf{Q}) = (\mathbf{Z}/4)^* \times \prod_{p \text{ odd prime}} (\mathbf{Z}/p)^* \  </math>

and remarked that the proof followed [[Gauss]]'s first proof of the [[Law of Quadratic Reciprocity]].<ref name=Mil102>Milnor (1971) p.102</ref><ref name=Gras205>Gras (2003) p.205</ref>

For non-Archimedean local fields, the group K<sub>2</sub>(''F'') is the direct sum of a finite [[cyclic group]] of order ''m'', say, and a [[divisible group]] K<sub>2</sub>(''F'')<sup>''m''</sup>.<ref name=Mil175>Milnor (1971) p.175</ref>

We have K<sub>2</sub>('''Z''') = '''Z'''/2,<ref name=Mil81>Milnor (1971) p.81</ref> and in general K<sub>2</sub> is finite for the ring of integers of a number field.<ref name=Lem385>Lemmermeyer (2000) p.385</ref>

We further have K<sub>2</sub>('''Z'''/''n'') = '''Z'''/2 if ''n'' is divisible by 4, and otherwise zero.<ref name=Sil228>Silvester (1981) p.228</ref>-->

====松本の定理====
'''松本の定理'''(Matsumoto's theorem)は、体 k に対し第二 K-群は<ref>{{citation | mr=0240214 | last=Matsumoto | first= Hideya | title=Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés | journal=Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) | issue= 2 | year=1969 | pages= 1–62
| url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1969_4_2_1_1_0 | zbl=0261.20025 | language=French | issn=0012-9593 }}</ref><ref name=Ros214>Rosenberg (1994) Theorem 4.3.15, p.214</ref>、

:<math>K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbf Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle</math>

により与えられるという定理である。松本の元来の定理はより一般的で、任意の[[ルート系]](root system)に対し、非安定的な K-理論の表現が与えられるという内容である。この表現は、シンプレクティックなルート系に対しのみが、ここで与えた定式化とは異なっていて、ルート系の観点から、非安定的な K-理論はちょうど、GL(A) に対する安定 K-群に一致する。（この脈絡での）非安定的 K-群は、与えられたルート系の普遍的なタイプの{{仮リンク|シュヴァレー群|en|Chevalley group}}(Chevalley group)の普遍中心拡大の核をとることで定義される。この構成は、ルート系 A<sub>n</sub> (n&nbsp;>&nbsp;1) のスタインバグ拡大の核であり、この極限は安定的な第二 K-群であることを意味している。
<!--====Matsumoto's theorem====
'''Matsumoto's theorem''' states that for a field ''k'', the second ''K''-group is given by<ref>{{citation | mr=0240214 | last=Matsumoto | first= Hideya | title=Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés | journal=Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) | issue= 2 | year=1969 | pages= 1–62
| url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1969_4_2_1_1_0 | zbl=0261.20025 | language=French | issn=0012-9593 }}</ref><ref name=Ros214>Rosenberg (1994) Theorem 4.3.15, p.214</ref>

:<math>K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbf Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.</math>

Matsumoto's original theorem is even more general: For any [[root system]], it gives a presentation for the unstable K-theory. This presentation is different from the one given here only for symplectic root systems. For non-symplectic root systems, the unstable second K-group with respect to the root system is exactly the stable K-group for GL(''A''). Unstable second K-groups (in this context) are defined by taking the kernel of the universal central extension of the [[Chevalley group]] of universal type for a given root system. This construction yields the kernel of the Steinberg extension for the root systems ''A''<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;>&nbsp;1) and, in the limit, stable second ''K''-groups.-->

====長完全系列====
A を[[分数体]] F を持つ[[デデキント整域]]とすると、[[完全系列|長完全系列]]

:<math> K_2F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_1 A/{\mathbf p} \rightarrow K_1 A \rightarrow K_1 F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_0 A/{\mathbf p} \rightarrow K_0 A \rightarrow K_0 F \rightarrow 0 \ </math>

が存在する。ここに '''p''' は A のすべての素イデアルを渡る<ref name=Mil123>Milnor (1971) p.123</ref>。

相対 K-群 K<sub>1</sub> と K<sub>0</sub> に対して、次の完全系列の拡大が存在する<ref name=Ros200>Rosenberg (1994) p.200</ref>。

:<math>K_2(A) \rightarrow K_2(A/I) \rightarrow K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \cdots \ . </math>
<!--====Long exact sequences====
If ''A'' is a [[Dedekind domain]] with [[field of fractions]] ''F'' then there is a [[long exact sequence]]

:<math> K_2F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_1 A/{\mathbf p} \rightarrow K_1 A \rightarrow K_1 F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_0 A/{\mathbf p} \rightarrow K_0 A \rightarrow K_0 F \rightarrow 0 \ </math>

where '''''p''''' runs over all prime ideals of ''A''.<ref name=Mil123>Milnor (1971) p.123</ref>

There is also an extension of the exact sequence for relative K<sub>1</sub> and K<sub>0</sub>:<ref name=Ros200>Rosenberg (1994) p.200</ref>

:<math>K_2(A) \rightarrow K_2(A/I) \rightarrow K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \cdots \ . </math>-->

== ミルナーの K-理論 ==
{{main|ミルナーのK-理論}}

体 k に対する K<sub>2</sub> の上記の表現から、ミルナー(Milnor)は次の「高次」K-群の定義を導いた。

:<math> K^M_*(k) := T^*(k^\times)/(a\otimes (1-a))\ .</math>

このように、
:<math>\left \{a\otimes(1-a): \ a \neq 0,1 \right \}</math>
により生成された[[両側イデアル]]により[[乗法群]] k<sup>×</sup> の[[テンソル代数]]の商の次数付き部分として定義される。

n = 0, 1, 2 に対し、これらは以下に一致するが、n ≧ 3 に対しては、一般には異なっている<ref>{{Harvard citations|last=Weibel|year=2005}}, cf. Lemma 1.8</ref>。例えば、n ≧ 2 に対し K{{su|b=n|p=M}}(F<sub>q</sub>) = 0 であるが、奇数の n に対し K<sub>n</sub>F<sub>q</sub> は 0 ではない（以下を参照）。

テンソル代数上のテンソル積は、<math> K^M_*(F)</math> を{{仮リンク|次数付き可換|en|graded-commutative}}(graded-commutative)な[[次数付き環]]とするような積 <math> K_m \times K_n \rightarrow K_{m+n}</math> を導く<ref name=GS184>Gille & Szamuely (2006) p.184</ref>。

<math>K^M_n(k)</math> の中の元 <math>a_1 \otimes \cdots \otimes a_n</math> の像は、'''記号'''として <math>\{a_1,\ldots,a_n\}</math> と書かれる。k の中で可逆な整数 m に対して、写像

:<math>\partial : k^* \rightarrow H^1(k,\mu_m) </math>

が存在する。ここに <math>\mu_m</math> はある k の分離的拡大の単元の m-乗根を表す。これは、

:<math>\partial^n : k^* \times \cdots \times k^* \rightarrow H^n\left({k,\mu_m^{\otimes n}}\right) \  </math>

へ拡大され、ミルナーの定義関係式を満たす。従って、<math>\partial^n</math> は、'''ガロア記号写像'''(Galois symbol map)と呼ばれる <math>K^M_n(k)</math> とみなすことができる<ref name=GS108>Gille & Szamuely (2006) p.108</ref>。

体の[[エタールコホモロジー]]（あるいは[[ガロアコホモロジー]]）とミルナーの K-理論（modulo 2）の間の関係は、[[ミルナー予想]]と呼ばれ、[[ウラジーミル・ヴォエヴォドスキー]](Vladimir Voevodsky)により証明された<ref>{{Citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky | title=Motivic cohomology with '''Z'''/2-coefficients | doi=10.1007/s10240-003-0010-6 | mr=2031199 | year=2003 | journal=Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques | issn=0073-8301 | issue=98 | pages=59–104 | volume=98}}</ref>。奇素数に対する類似な命題が[[ブロッホ・加藤予想]]であり、ヴォエヴォドスキー、ロスト(Rost)、他により証明された。
<!--====Pairing====
There is a pairing on K<sub>1</sub> with values in K<sub>2</sub>.  Given commuting matrices ''X'' and ''Y'' over ''A'', take elements ''x'' and ''y'' in the [[Steinberg group]]  with ''X'',''Y'' as images.  The commutator <math>x y x^{-1} y^{-1}</math> is an element of K<sub>2</sub>.<ref name=Mil63>Milnor (1971) p.63</ref>  The map is not always surjective.<ref name=Mil6>Milnor (1971) p.69</ref>

== Milnor ''K''-theory ==
{{main|Milnor K-theory}}

The above expression for ''K''<sub>2</sub> of a field ''k'' led Milnor to the following definition of "higher" ''K''-groups by

:<math> K^M_*(k) := T^*(k^\times)/(a\otimes (1-a)), </math>

thus as graded parts of a quotient of the [[tensor algebra]] of the [[multiplicative group]] ''k''<sup>×</sup> by the [[two-sided ideal]], generated by the

:<math>\left \{a\otimes(1-a): \ a \neq 0,1 \right \}.</math>

For ''n'' = 0,1,2 these coincide with those below, but for ''n'' ≧ 3 they differ in general.<ref>{{Harvard citations|last=Weibel|year=2005}}, cf. Lemma 1.8</ref>  For example, we have ''K''{{su|b=''n''|p=''M''}}''(F<sub>q</sub>) = 0'' for ''n'' ≧ 2
but ''K<sub>n</sub>F<sub>q</sub>'' is nonzero for odd ''n'' (see below).

The tensor product on the tensor algebra induces a product <math> K_m \times K_n \rightarrow K_{m+n}</math> making <math> K^M_*(F)</math> a [[graded ring]] which is [[graded-commutative]].<ref name=GS184>Gille & Szamuely (2006) p.184</ref>

The images of elements <math>a_1 \otimes \cdots \otimes a_n</math> in <math>K^M_n(k)</math> are termed ''symbols'', denoted <math>\{a_1,\ldots,a_n\}</math>.  For integer ''m'' invertible in ''k'' there is a map

:<math>\partial : k^* \rightarrow H^1(k,\mu_m) </math>

where <math>\mu_m</math> denotes the group of ''m''-th roots of unity in some separable extension of ''k''.  This extends to

:<math>\partial^n : k^* \times \cdots \times k^* \rightarrow H^n\left({k,\mu_m^{\otimes n}}\right) \  </math>

satisfying the defining relations of the Milnor K-group.  Hence  <math>\partial^n</math> may be regarded as a map on <math>K^M_n(k)</math>, called the ''Galois symbol'' map.<ref name=GS108>Gille & Szamuely (2006) p.108</ref>

The relation between [[étale cohomology|étale]] (or [[Galois cohomology|Galois]]) cohomology of the field and Milnor K-theory modulo 2 is the [[Milnor conjecture]], proven by Voevodsky.<ref>{{Citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky | title=Motivic cohomology with '''Z'''/2-coefficients | doi=10.1007/s10240-003-0010-6 | mr=2031199 | year=2003 | journal=Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques | issn=0073-8301 | issue=98 | pages=59–104 | volume=98}}</ref> The analogous statement for odd primes is the [[Bloch-Kato conjecture]], proved by Voevodsky, Rost, and others.-->

== 高次 K-理論 ==
高次 K-群の受け入れられている定義は、{{harvtxt|Quillen|1973}} により与えられ、その後数年の間に、いくつかの整合性をもたない定義が示唆された。プログラムの目的は、'''K'''(R) や '''K'''(R,I) の定義を[[分類空間]]の項で定義することを見つけ、その結果、R ⇒ '''K'''(R) と (R,I) ⇒ '''K'''(R,I) が空間の{{仮リンク|ホモトピー圏|en|homotopy category}}(homotopy category)への函手となり、相対 K-群の[[完全系列|長完全系列]]が{{仮リンク|ホモトピーの長完全系列|en|long exact homotopy sequence}}(long exact homotopy sequence)として、{{仮リンク|ファイバー構造|en|fibration}}(fibration) '''K'''(R,I)&nbsp;→&nbsp;'''K'''(R)&nbsp;→&nbsp;'''K'''(R/I) をもたらす<ref name=Ros2456>Rosenberg (1994) pp. 245–246</ref>。

キレン(Quillen)は、2つの構成を与え、ひとつは「プラス構成(plus-construction)」でもうひとつは「Q-構成(Q-construction)」であり、後者は結局、異なる方法で変形される<ref name=Ros246>Rosenberg (1994) p.246</ref>。2つの構成は、同一の K-群を構成する<ref name=Ros289>Rosenberg (1994) p.289</ref>。
<!--== Higher ''K''-theory ==

The accepted definitions of higher ''K''-groups were given by {{harvtxt|Quillen|1973}}, after a few years during which several incompatible definitions were suggested.  The object of the program was to find definitions of '''K'''(''R'') and '''K'''(''R'',''I'') in terms of [[classifying space]]s so that 
''R'' ⇒ '''K'''(''R'') and (''R'',''I'') ⇒ '''K'''(''R'',''I'') are functors into a [[homotopy category]] of spaces and the long exact sequence for relative K-groups arises as the [[long exact homotopy sequence]] of a [[fibration]] '''K'''(''R'',''I'')&nbsp;→&nbsp;'''K'''(''R'')&nbsp;→&nbsp;'''K'''(''R''/''I'').<ref name=Ros2456>Rosenberg (1994) pp. 245–246</ref>

Quillen gave two constructions, the "plus-construction" and the "''Q''-construction", the latter subsequently modified in different ways.<ref name=Ros246>Rosenberg (1994) p.246</ref>  The two constructions yield the same K-groups.<ref name=Ros289>Rosenberg (1994) p.289</ref>-->

=== プラス構成 ===
環の高次代数的 K-理論の定義の1つの可能性は、キレン(Quillen)により与えられた。

:<math> K_n(R) = \pi_n(BGL(R)^+),</math>

ここに、π<sub>n</sub> は[[ホモトピー群]]であり、GL(R) は R 上の行列の大きさを無限とした[[一般線形群]]の[[帰納極限]]である。B は[[ホモトピー論]]の分類空間の構成であり、<sup>+</sup> はキレンの{{仮リンク|プラス構成|en|plus construction}}(plus construction)である。

この定義は n&nbsp;>&nbsp;0 に対してのみ成立するので、高次代数的 K-理論を

:<math> K_n(R) = \pi_n(BGL(R)^+\times K_0(R)) </math>

を経て、定義することもある。BGL(R)<sup>+</sup> は弧状連結であり、K<sub>0</sub>(R) は離散的であるので、この定義は高次の場合との差異はなく、n&nbsp;=&nbsp;0 の場合にも成立する。
<!--=== The +-construction ===
One possible definition of higher algebraic ''K''-theory of rings was given by Quillen

:<math> K_n(R) = \pi_n(BGL(R)^+),</math>

Here π<sub>''n''</sub> is a [[homotopy group]], GL(''R'') is the [[direct limit]] of the [[general linear group]]s over ''R'' for the size of the matrix tending to infinity, ''B'' is the classifying space construction of [[homotopy theory]], and the <sup>+</sup> is Quillen's [[plus construction]].

This definition only holds for ''n''&nbsp;>&nbsp;0 so one often defines the higher algebraic ''K''-theory via

:<math> K_n(R) = \pi_n(BGL(R)^+\times K_0(R)) </math>

Since ''BGL''(''R'')<sup>+</sup> is path connected and ''K''<sub>0</sub>(''R'') discrete, this definition doesn't differ in higher degrees and also holds for ''n''&nbsp;=&nbsp;0.-->

=== Q-構成 ===
{{main|{{仮リンク|Q-構成|en|Q-construction}} }}

Q-構成は、プラス構成と同じ結果をもたらすのであるが、より一般的な状況へ適用される。さらに、この定義は、Q-構成が定義により函手性を持っている定義であるという意味で、より直接的である。この事実は、プラス構成では自動的ではない。

P を[[完全函手]]であるとして、P に付随する新しい圏 QP が定義されると、その対象は P の対象であり、M から M への射は、図式

:<math> M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',</math>

のクラスに同型である。ここに最初の矢印は許容的な[[全準同型]](epimorphism)であり、第2の矢印は許容的な{{仮リンク|単準同型|en|monomoorphism}}(monomoorphism)である。

よって、完全圏 P の i-番目の '''K-群'''は、固定したゼロ対象 0 を持つ

:<math> K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0)</math>

で定義される。ここに、BQP は QP の'''分類空間'''であり、分類空間は QP の{{仮リンク|ナーブ|en|Nerve (category theory)}}(nerve)の{{仮リンク|幾何学的実現|en|geometric realisation}}(geometric realisation)である。

この定義は、K<sub>0</sub>(P) の上記の定義と同値である。P が有限生成[[射影加群|射影 R-加群]]の圏であれば、この定義は上記 BGL<sup>+</sup> と一致する。この定義はすべての n について K<sub>n</sub>(R) の定義である。
<!--
The ''K''-groups  ''K''<sub>''i''</sub>(''R'') of the ring ''R'' are then the ''K''-groups ''K''<sub>''i''</sub>(''P''<sub>''R''</sub>)  where ''P''<sub>''R''</sub> is the category of finitely generated [[projective module|projective ''R''-modules]]. 
-->
さらに一般的に、[[概型|スキーム]] X に対し、X の高次 K-群は、X 上の局所自由な[[連接層]]の K-群であると定義される。

次のような変形も使われる。有限生成である射影（=&nbsp; 局所自由な）加群は、[[有限生成加群]]である。この結果として現れる K-群は通常、G<sub>n</sub>(R) と書かれる。R が[[ネーター環|ネーター]][[正則環]]であれば、G-理論と K-理論は一致する。実際、正則環の[[大域次元]]は有限である。つまり、任意の有限生成加群は、有限の射影分解 P<sub>*</sub> → M を持ち、簡単な議論でも、標準写像 K<sub>0</sub>(R) → G<sub>0</sub>(R) は[[同型]]であり、 [M]=&Sigma; ± [P<sub>n</sub>] を持っている。この同型は高次 K-群へも拡張できる。
<!--=== The Q-construction ===
{{main|Q-construction}}

The Q-construction gives the same results as the +-construction, but it applies in more general situations. Moreover, the definition is more direct in the sense that the ''K''-groups, defined via the Q-construction are functorial by definition. This fact is not automatic in the plus-construction.

Suppose ''P'' is an [[exact category]]; associated to ''P'' a new category  Q''P'' is defined, objects of which are those of ''P'' and morphisms from ''M''′ to ''M''″ are isomorphism classes of diagrams

:<math> M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',</math>

where the first arrow is an admissible [[epimorphism]] and the second arrow is an admissible [[monomorphism]].

The ''i''-th '''''K''-group''' of the exact category ''P'' is then defined as

:<math> K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0)</math>

with a fixed zero-object 0, where B''QP'' is the ''classifying space'' of ''QP'', which is defined to be the [[geometric realisation]] of the ''[[Nerve (category theory)|nerve]]''  of ''QP''.

This definition coincides with the above definition of ''K''<sub>0</sub>(''P''). If ''P'' is the category of finitely generated [[projective module|projective ''R''-modules]], this definition agrees with the above ''BGL<sup>+</sup>''
definition of ''K''<sub>''n''</sub>(''R'') for all ''n''.More generally, for a [[scheme (mathematics)|scheme]] ''X'', the higher ''K''-groups of ''X'' are defined to be the ''K''-groups of (the exact category of) locally free [[Coherent sheaf|coherent sheaves]] on ''X''.
 
The following variant of this is also used: instead of finitely generated projective (=&nbsp;locally free) modules, take finitely generated modules. The resulting ''K''-groups are usually written ''G''<sub>''n''</sub>(''R''). When ''R'' is a [[noetherian ring|noetherian]] [[regular ring]], then ''G''- and ''K''-theory coincide. Indeed, the [[global dimension]] of regular rings is finite, i.e. any finitely generated module has a finite projective resolution ''P''<sub>*</sub> → ''M'', and a simple argument shows that the canonical map ''K''<sub>0</sub>(R) → ''G''<sub>0</sub>(R) is an [[isomorphism]], with [''M'']=&Sigma; ± [''P''<sub>''n''</sub>].  This isomorphism extends to the higher ''K''-groups, too.-->

=== S-構成 ===
K-群の第3の構成は、[[フリートヘルム・ヴァルトハウゼン|フリードリッヒ・ワルドハウゼン]](Friedhelm Waldhausen)による S-構成である<ref>{{Citation | last1=Waldhausen | first1=Friedhelm | author1-link=Friedhelm Waldhausen | title=Algebraic ''K''-theory of spaces | doi=10.1007/BFb0074449 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | mr=802796 | year=1985 | volume=1126 | pages=318–419 | chapter=Algebraic K-theory of spaces | isbn=978-3-540-15235-4}}. See also Lecture IV and the references in {{Harvard citations|last1=Friedlander|last2=Weibel|year=1999}}</ref>。この構成は、余ファイバー構成を持つ圏へ適用される（{{仮リンク|ワルドハウゼン圏|en|Waldhausen category}}(Waldhausen category)とも呼ばれる）。この圏は完全圏よりもより一般的な概念である。
<!--=== The S-construction ===
A third construction of ''K''-theory groups is the S-construction, due to [[Friedhelm Waldhausen|Waldhausen]].<ref>{{Citation | last1=Waldhausen | first1=Friedhelm | author1-link=Friedhelm Waldhausen | title=Algebraic ''K''-theory of spaces | doi=10.1007/BFb0074449 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | mr=802796 | year=1985 | volume=1126 | pages=318–419 | chapter=Algebraic K-theory of spaces | isbn=978-3-540-15235-4}}. See also Lecture IV and the references in {{Harvard citations|last1=Friedlander|last2=Weibel|year=1999}}</ref> It applies to categories with cofibrations (also called [[Waldhausen category|Waldhausen categories]]). This is a more general concept than exact categories.-->

== 例 ==
キレン(Quillen)の代数的 K-理論は代数幾何学、代数トポロジーの様々な側面への深い見方を持っている。一方、K-群はいくつかの興味深い特定の場合を除き、計算することが特に困難であることが示されている。

=== 有限体の代数的 K-群 ===
最初で最も重要な環の高次代数的 K-群は、キレン自身により[[有限体]]の場合に対して計算された。

'''F'''<sub>q</sub> を q 個の元を持つ有限体とすると、

* K<sub>0</sub>('''F'''<sub>q</sub>) = '''Z''', 
* i &ge;1 に対して、K<sub>2i</sub>('''F'''<sub>q</sub>) = 0,  
* i&nbsp;&ge;&nbsp;1 に対して、K<sub>2i–1</sub>('''F'''<sub>q</sub>) = '''Z'''/(q<sup>&nbsp;i</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)'''Z'''

が成り立つ。
<!--== Examples ==
While the Quillen algebraic ''K''-theory has provided deep insight into various aspects of algebraic geometry and topology, the ''K''-groups have proved particularly difficult to compute except in a few isolated but interesting cases.

=== Algebraic K-groups of finite fields ===
The first and one of the most important calculations of the higher algebraic ''K''-groups of a ring were made by Quillen himself for the case of [[finite field]]s:

If  '''F'''<sub>''q''</sub> is the finite field with ''q'' elements, then:

* ''K''<sub>0</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>) = '''Z''', 
* ''K''<sub>2''i''</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>) = 0 for ''i'' &ge;1,  
* ''K''<sub>2''i''–1</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>) = '''Z'''/(''q''<sup>&nbsp;''i''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)'''Z''' for ''i''&nbsp;&ge;&nbsp;1.-->

=== 整数環の代数的 K-群 ===
キレンは、A が[[代数体]] F （有理数の有限拡大）の[[整数環|代数的整数の環]]であれば、A の代数的 K-群は有限生成であることを証明した。[[アルマン・ボレル]](Armand Borel)はこのことを使い、K<sub>i</sub>(A) と K<sub>i</sub>(F) modulo torsion を計算した。整数 '''Z''' に対し、ボレルは (modulo torsion として)

* k を正としたときに i=4k+1 とならない正の整数 i に対し、K<sub>i</sub> ('''Z''')/tors.=0 であり
* 正の k に対し、K<sub>4k+1</sub> ('''Z''')/tors.= '''Z'''

であることを証明した。

K<sub>2i+1</sub>('''Z''') の捩れ部分群と有限群 K<sub>4k+2</sub>('''Z''') の位数は、最近、決定することができたが、後者の群が巡回群であるかどうか、群 K<sub>4k</sub>('''Z''') が 0 となるかどうかが、円分整数の類群についての{{仮リンク|ヴァンディヴァー予想|en|Vandiver's conjecture}}(Vandiver's conjecture)に依存している。さらに詳しくは{{仮リンク|キレン・リヒテンバウム予想|en|Quillen–Lichtenbaum conjecture}}(Quillen–Lichtenbaum conjecture)を参照。

== 応用と未解決問題 ==
代数的 K-群は[[L-函数の特殊値]]や非可換[[岩澤理論の主予想]]<!--(non-commutative main conjecture of Iwasawa theory)の記事は英語版に存在しないので、岩澤理論の主予想という記事へリンクを作成する-->や[[ディリクレの単数定理#高次単数基準|高次レギュレータ]]構成の定式化にも使われる<ref name=Lem385>Lemmermeyer (2000) p.385</ref>。

{{仮リンク|パーシン予想|en|Parshin's conjecture}}(Parshin's conjecture)は、有限体上の滑らかな多様体の高次代数的 K-群に関係していて、この場合には群は torsion に upto で 0 となることが予想されている。

他の基本的な予想は、{{仮リンク|ハイマン・バス|en|Hyman Bass}}(Hyman Bass)による[[バスの予想]](Bass' conjecture)があり、すべての群 G<sub>n</sub>(A) は、A が有限生成な '''Z'''-代数のとき、有限生成であるという予想である（群 G<sub>n</sub>(A) は有限生成 A-加群の圏の K-群である）<ref>{{Harvard citations|last1=Friedlander| last2=Weibel | year=1999}}, Lecture VI</ref>。
<!--=== Algebraic K-groups of rings of integers ===
Quillen proved that if ''A'' is the [[ring of integers|ring of algebraic integers]] in an algebraic [[number field]] ''F'' (a finite extension of the rationals), then the algebraic K-groups of ''A'' are finitely generated.  [[Armand Borel|Borel]] used this to calculate ''K''<sub>''i''</sub>(''A'') and K<sub>''i''</sub>(''F'') modulo torsion. For example, for the integers '''Z''', Borel proved that (modulo torsion)

* ''K''<sub>i</sub> ('''Z''')/tors.=0 for positive ''i'' unless ''i=4k+1'' with ''k'' positive
* ''K''<sub>4''k''+1</sub> ('''Z''')/tors.= '''Z''' for positive ''k''.

The torsion subgroups of K<sub>2''i''+1</sub>('''Z'''), and the orders of the finite groups K<sub>4''k''+2</sub>('''Z''') have recently been determined, but whether the latter groups are cyclic, and whether the groups ''K''<sub>4''k''</sub>('''Z''') vanish depends upon [[Vandiver's conjecture]] about the class groups of cyclotomic integers. See [[Quillen–Lichtenbaum conjecture]] for more details.

== Applications and open questions ==
Algebraic ''K''-groups are used in conjectures on [[special values of L-functions]] and the formulation of an [[non-commutative main conjecture of Iwasawa theory]] and in construction of [[higher regulator]]s.<ref name=Lem385>Lemmermeyer (2000) p.385</ref>

[[Parshin's conjecture]] concerns the higher algebraic ''K''-groups for smooth varieties over finite fields, and states that in this case the groups vanish up to torsion.

Another fundamental conjecture due to [[Hyman Bass]] ([[Bass' conjecture]]) says that all  of the groups ''G<sub>n</sub>(A)'' are finitely generated when ''A'' is a finitely generated '''Z'''-algebra. (The groups
''G<sub>n</sub>(A)'' are the ''K''-groups of the category of finitely generated ''A''-modules) <ref>{{Harvard citations|last1=Friedlander| last2=Weibel | year=1999}}, Lecture VI</ref>-->

== 関連項目 ==
*[[ブロッホの公式]]
*{{仮リンク|代数的K-理論の基本定理|en|Fundamental theorem of algebraic K-theory}}(Fundamental theorem of algebraic K-theory)
*{{仮リンク|K-理論スペクトル|en|K-theory spectrum}}(K-theory spectrum)
*{{仮リンク|赤外予想|en|Redshift conjecture}}(Redshift conjecture)

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{citation | last=Bass | first=Hyman | authorlink=Hyman Bass | title=Algebraic ''K''-theory | series=Mathematics Lecture Note Series | location=New York-Amsterdam | publisher=W.A. Benjamin, Inc. | year=1968 | zbl=0174.30302 }}
*{{Citation | editor1-last=Friedlander |editor-link=Eric Friedlander | editor1-first=Eric | editor2-last=Grayson | editor2-first=Daniel | title=Handbook of K-Theory | url=http://www.springerlink.com/content/978-3-540-23019-9/ | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-30436-4 | mr=2182598 | year=2005}}
* {{Citation | last1=Friedlander | first1=Eric M. | last2=Weibel | first2=Charles W. | title=An overview of algebraic ''K''-theory | publisher=World Sci. Publ., River Edge, NJ | mr=1715873 | year=1999 | pages=1–119}}
* {{citation | last1=Gille | first1=Philippe | last2=Szamuely | first2=Tamás | title=Central simple algebras and Galois cohomology | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=101 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2006 | isbn=0-521-86103-9 | zbl=1137.12001 }}
* {{citation | last=Gras | first=Georges | title=Class field theory. From theory to practice | series=Springer Monographs in Mathematics | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2003 | isbn=3-540-44133-6 | zbl=1019.11032 }}
* {{citation | first=Tsit-Yuen | last=Lam | authorlink=Tsit Yuen Lam | title=Introduction to Quadratic Forms over Fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929 }}
* {{citation | last=Lemmermeyer | first=Franz | title=Reciprocity laws. From Euler to Eisenstein | series=Springer Monographs in Mathematics | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2000 | isbn=3-540-66957-4 | zbl=0949.11002 | mr=1761696 | doi=10.1007/978-3-662-12893-0 }}
* {{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link= John Milnor | title=Algebraic ''K''-theory and quadratic forms | mr=0260844 | year=1970 | month= | journal=Inventiones Mathematicae | issn=0020-9910 | volume=9 | pages=318–344 | doi=10.1007/BF01425486 | issue=4}}
* {{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link= John Milnor | title=Introduction to algebraic K-theory | publisher=[[Princeton University Press]] | location=Princeton, NJ | mr=0349811 | year=1971 | zbl=0237.18005 | series=Annals of Mathematics Studies | volume=72 }} (lower K-groups)
*{{Citation | last1=Quillen | first1=Daniel | author1-link=Daniel Quillen | title=Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Math | doi=10.1007/BFb0067053 | mr=0338129 | year=1973 | volume=341 | chapter=Higher algebraic K-theory. I | pages=85–147 | isbn=978-3-540-06434-3}}
* {{Citation | last1=Quillen | first1=Daniel | author1-link= Daniel Quillen | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 1 | publisher=Canad. Math. Congress | location=Montreal, Quebec | mr=0422392 | year=1975 | chapter=Higher algebraic K-theory | pages=171–176}} (Quillen's Q-construction)
* {{Citation | last1=Quillen | first1=Daniel | title=New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Math. Soc. Lecture Note Ser. | mr=0335604 | year=1974 | volume=11 | chapter=Higher K-theory for categories with exact sequences | pages=95–103}} (relation of Q-construction to plus-construction)
*{{Citation | last1=Rosenberg | first1=Jonathan | authorlink=Jonathan Rosenberg (mathematician) | title=Algebraic K-theory and its applications | url=https://books.google.co.jp/books?id=TtMkTEZbYoYC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | isbn=978-0-387-94248-3 | mr=1282290 | zbl=0801.19001 | year=1994 | volume=147}}.  [http://www-users.math.umd.edu/~jmr/KThy_errata2.pdf Errata]
* {{Citation | last1=Seiler | first1=Wolfgang | editor1-last=Rapoport | editor1-first=M. | editor2-last=Schneider | editor2-first=P. | editor3-last=Schappacher | editor3-first=N. | title=Beilinson's Conjectures on Special Values of L-Functions | publisher=Academic Press | location=Boston, MA | isbn=978-0-12-581120-0 | chapter=λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory | year=1988}}
* {{citation | last=Silvester | first=John R. | title=Introduction to algebraic K-theory | series=Chapman and Hall Mathematics Series | location=London, New York | publisher=[[Chapman and Hall]] | year=1981 | isbn=0-412-22700-2 | zbl=0468.18006 }} 
* {{Citation | last1=Weibel | first1=Charles | author1-link=Charles Weibel | title=Handbook of K-theory | url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0691/KZsurvey.pdf | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | mr=2181823 | year=2005 | chapter=Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields | pages=139–190}} (survey article)

==さらに先の書籍==
*{{citation | last1=Lluis-Puebla | first1=Emilio | last2=Loday | first2=Jean-Louis | last3=Gillet | first3=Henri | last4=Soulé | first4=Christophe | last5=Snaith | first5=Victor | title=Higher algebraic K-theory: an overview | zbl=0746.19001 | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1491 | location=Berlin, Heidelberg | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1992 | isbn=978-3-540-55007-5 }}
*{{citation | last=Magurn | first=Bruce A. | title=An algebraic introduction to K-theory | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | volume=87 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2009 | edition=corrected paperback | isbn=978-0-521-10658-0 }}
*{{citation | last=Srinivas | first=V. | title=Algebraic ''K''-theory | edition=Paperback reprint of the 1996 2nd | series=Modern Birkhäuser Classics | location=Boston, MA | publisher=[[Birkhäuser]] | year=2008 | isbn=978-0-8176-4736-0 | zbl=1125.19300 }}
*{{citation | first=C. | last=Weibel | url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html | title=The K-book: An introduction to algebraic K-theory }}

== 外部リンク ==
* [https://faculty.math.illinois.edu/K-theory K-theory Preprint Archives]

{{Normdaten}}

{{デフォルトソート:たいすうてきけいりろん}}
[[Category:K-理論]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]