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'''代数統計学'''とは、[[統計学]]を発展させるために[[代数学]]を利用することである。代数学は、[[実験計画法|実験計画]]、パラメータ推定、[[仮説検定]]に役立っている。

従来、代数統計学は実験計画や[[多変量解析]]（特に時系列）と関連づけられてきた。近年、「代数統計学」という言葉は時に制限され、[[代数幾何学]]や[[可換環論]]を統計学に利用することを示すために使われることもある。

== 代数統計学の伝統 ==
過去、統計学者は統計学の研究を進めるために、代数学を利用してきた。代数統計学の中には、アソシエーションスキームなど、代数学や組合せ論における新しいテーマの開発につながったものもある。

=== 実験計画 ===
例えば、[[ロナルド・フィッシャー]]、ヘンリー・マン、ローズマリー・ベイリーらは、[[アーベル群]]を[[実験計画法]]に応用した。また、[[有限体]]上の[[アフィン幾何学]]を用いた実験計画も研究され、さらにR.C.ボースによって連想スキームが導入された。直交配列は[[カリャンプディ・ラダクリシュナ・ラオ|C・R・ラオ]]によって実験計画法のために導入された。

=== 代数的解析と抽象統計推論 ===
[[局所コンパクト群]]上の[[不変測度]]は、統計理論、特に[[多変量解析]]において古くから利用されてきた。Beurlingのfactorization定理や（抽象）[[調和解析]]の研究の多くは、時系列統計で重要な定常確率過程のWold分解をよりよく理解することを求めたものである。

Ulf Grenanderは、代数的構造上の確率論に関するこれまでの成果を包含して、「抽象推論」の理論を開発した。グレナンダーの抽象推論とパターン理論は、空間統計学や画像解析に有用であり、これらの理論は[[束論]]に依拠している。

=== 部分順序集合と束 ===
部分順序ベクトル空間と[[ベクトル束]]は、統計理論のいたるところで使われている。ギャレット・バーコフは、ヒルベルト射影測度を使って正円錐を測り、[[収縮写像]]定理<ref>A gap in [[Garrett Birkhoff]]'s original proof was filled by [[Alexander Ostrowski]].</ref>を使ってイェンチの定理を証明した。バーコフの結果は、ジョナサン・ボーウェインらによる最大エントロピー推定（無限次元の[[線型計画法|線形計画法]]と見なすことができる）に利用されている。

[[ベクトル束]]と円錐測度は、ルシアン・ルカムによって統計的[[決定理論]]に導入された。

== 可換環論と代数幾何学を用いた最近の研究成果 ==
近年、「代数統計学」という言葉は、より限定的に使われるようになり、有限状態空間を持つ離散確率変数に関する問題を研究するために[[代数幾何学]]と[[可換環論]]を使うことを意味するようになった。可換環論や代数幾何学が統計学に応用されるのは、よく使われる離散確率変数のクラスの多くが[[代数多様体]]として捉えられるからである。

=== 導入事例 ===
0、1、2の値を取りうる確率変数Xを考える。このような変数は、次の3つの確率によって完全に特徴付けられる。

: <math>p_i=\mathrm{Pr}(X=i),\quad i=0,1,2</math>

これらの数値は以下を満たす。

: <math>\sum_{i=0}^2 p_i = 1 \quad \mbox{and}\quad 0\leq p_i \leq 1.</math>

逆に言えば、このような数字が3つあれば、一義的に確率変数を特定できるので、確率変数Xとタプル (''p''<sub>0</sub>,''p''<sub>1</sub>,''p''<sub>2</sub>)∈'''R'''<sup>3</sup>を特定できる。

ここで、Xをパラメータq、n＝2の二項確率変数とする。つまり、Xはある実験を2回繰り返したときの成功回数を表し、各実験の個別成功確率はqであるとする。すると

: <math>p_i=\mathrm{Pr}(X=i)={2 \choose i}q^i (1-q)^{2-i}</math>

そして、このようにして生じるタプル（p0,p1,p2）が、以下を満たすものであることを示すことができる。

: <math>4 p_0 p_2-p_1^2=0.\ </math>

後者は'''R'''<sup>3</sup>上の代数多様体（または曲面）を定義する多項式であり、この多様体は、次の式で与えられるシンプレックスと交差する。

: <math>\sum_{i=0}^2 p_i = 1 \quad \mbox{and}\quad 0\leq p_i \leq 1,</math>

これにより、3状態のベルヌーイ変数の集合と同定できる代数的な曲線の一部が得られる。パラメータqの決定は、この曲線上の1点を見つけることに等しく、与えられた変数Xがベルヌーイであるという仮説を検証することは、ある点がこの曲線上にあるか否かを検証することに等しい。

== 代数幾何学の統計的学習理論への応用 ==
代数幾何学は、最近、統計学習理論にも応用されており、特異統計モデルに対する[[赤池情報量規準|赤池情報量基準]]の一般化もその一つである.<ref>{{Cite web |url=http://watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab/ag-slt-fig.html |title=Why algebraic geometry? |author=Watanabe |first=Sumio |access-date=2023-04-21 }}</ref>

== 出典 ==
{{Reflist}}

* R. A. Bailey. [http://www.maths.qmul.ac.uk/~rab/Asbook/ ''Association Schemes: Designed Experiments, Algebra and Combinatorics''], [https://web.archive.org/web/20040905100535/http://titles.cambridge.org/catalogue.asp?isbn=052182446X Cambridge University Press], Cambridge, 2004. 387pp. {{ISBN2|0-521-82446-X}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/0-521-82446-X|0-521-82446-X]]. (Chapters from preliminary draft are available on-line)
* {{Cite book |last=Caliński, Tadeusz |last2=Kageyama, Sanpei |title=Block designs: A Randomization approach, Volume '''II''': Design |series=Lecture Notes in Statistics |volume=170 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=2003 |isbn=0-387-95470-8 |url=https://archive.org/details/blockdesignsrand0002cali}}
* {{Cite book |last=Hinkelmann, Klaus |last2=Kempthorne, Oscar |author2-link=Oscar Kempthorne |year=2005 |title=Design and Analysis of Experiments, Volume 2: Advanced Experimental Design |url=https://books.google.com/books?id=GiYc5nRVKf8C |edition=First |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-55177-5}}
* H. B. Mann. 1949. ''Analysis and Design of Experiments: Analysis of Variance and Analysis-of-Variance Designs''. Dover.
* {{Cite book |title=Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments |last=Raghavarao, Damaraju |author-link=Damaraju Raghavarao |location=New York |year=1988 |edition=corrected reprint of the 1971 Wiley |publisher=Dover}}
* {{Cite book |title=Block Designs: Analysis, Combinatorics and Applications |last=Raghavarao, Damaraju |author-link=Damaraju Raghavarao |last2=Padgett, L.V. |year=2005 |publisher=World Scientific}}
* {{Cite book |last=Street, Anne Penfold |author-link=Anne Penfold Street |last2=Street, Deborah J. |author2-link=Deborah Street |title=Combinatorics of Experimental Design |publisher=Oxford U. P. [Clarendon] |year=1987 |isbn=0-19-853256-3}}
* L. Pachter and B. Sturmfels. ''Algebraic Statistics for Computational Biology.'' Cambridge University Press 2005.
* G. Pistone, E. Riccomango, H. P. Wynn. ''Algebraic Statistics.'' CRC Press, 2001.
* Drton, Mathias, Sturmfels, Bernd, Sullivant, Seth. ''Lectures on Algebraic Statistics'', Springer 2009.
* [[渡辺澄夫|Watanabe, Sumio]]. ''Algebraic Geometry and Statistical Learning Theory'', Cambridge University Press 2009.
* Paolo Gibilisco, Eva Riccomagno, Maria-Piera Rogantin, Henry P. Wynn. ''Algebraic and Geometric Methods in Statistics'', Cambridge 2009.

== 外部リンク ==

* [https://msp.org/astat Algebraic Statistics]

* [https://jalgsta.com Journal of Algebraic Statistics]
* [https://repository.iit.edu/islandora/search?type=edismax&islandora_solr_search_navigation=0&f%5B0%5D=mods_relatedItem_host_titleInfo_title_s%3A%22Journal%5C%20of%5C%20Algebraic%5C%20Statistics%22 Archives of Journal of Algebraic Statistics]
[[Category:統計学の理論]]