伊原のゼータ函数のソースを表示

数論では、'''伊原のゼータ函数'''(Ihara zeta-function)は、有限[[グラフ理論|グラフ]]に付随する[[ゼータ函数]]である。伊原のゼータ函数は、[[セルバーグのゼータ函数]]に非常に良く似ていて、閉じた径路を[[隣接行列]]の[[行列のスペクトル|スペクトル]]に関係付けることに使われる。伊原のゼータ函数は、最初、1960年代に[[伊原康隆]]により、2 × 2 [[p-進数|''p''-進]][[特殊線型群]]の[[離散群|離散部分群]](discrete subgroups)の脈絡の中で定義された。[[ジャン＝ピエール・セール]](Jean-Pierre Serre)は書籍 ''Trees'' の中で、伊原の元来の定義はグラフ理論的に解釈することができると示唆している。1985年、[[砂田利一]]は、この示唆を現実のものとした。砂田が述べたように、[[正則グラフ]]が[[ラマヌジャングラフ]](Ramanujan graph)であることと、グラフの伊原のゼータ函数が[[ラマヌジャン予想]]の類似を満たすこととは同値である<ref>Terras (1999) p.678</ref>。
<!--In [[mathematics]], the '''Ihara zeta-function''' is a [[zeta function]] associated with a finite [[Graph (mathematics)|graph]]. It closely resembles the [[Selberg zeta function|Selberg zeta-function]], and is used to relate closed paths to the [[Spectrum of a matrix|spectrum]] of the [[adjacency matrix]]. The Ihara zeta-function was first defined by [[Yasutaka Ihara]] in the 1960s in the context of [[discrete group|discrete subgroups]] of the two-by-two [[p-adic number|p-adic]] [[special linear group]]. [[Jean-Pierre Serre]] suggested in his book ''Trees'' that Ihara's original definition can be reinterpreted graph-theoretically. It was [[Toshikazu Sunada]] who put this suggestion into practice (1985). As observed by Sunada, a [[regular graph]] is a [[Ramanujan graph]] if and only if its Ihara zeta function satisfies an analogue of the [[Riemann hypothesis]].<ref>Terras (1999) p.678</ref>-->

==定義==

伊原のゼータ函数は[[リーマンゼータ函数]]の[[オイラー積]]に類似な等式により、次の式で定義することができる。

:<math>\frac{1}{\zeta_G(u)} = \prod_{p} ({1 - u^{L(p)}}) \ .</math>

この積はグラフ <math> G = (V, E) </math> のすべての prime walk を渡る積、すなわち、
:<math> (u_i, u_{(i+1)\bmod L(p)}) \in E~; \quad u_i \neq u_{(i+2) \bmod L(p)~} </math>
であるような閉じたサイクル <math>p = (u_0, \cdots, u_{L(p)-1}, u_0)</math> を渡る積として定義され、これらの式の中で使われる <math> L(p) </math> はサイクル ''p'' の長さである<ref>Terras (2010) p.12</ref>。このグラフ理論での定式化は砂田による。
<!--==Definition==

The Ihara zeta-function can be defined by a formula analogous to the [[Euler product]] for the [[Riemann zeta function]]:

:<math>\frac{1}{\zeta_G(u)} = \prod_{p} ({1 - u^{L(p)}})</math>

This product is taken over all prime walks ''p'' of the graph <math> G = (V, E) </math> - that is, closed cycles <math>p = (u_0, \cdots, u_{L(p)-1}, u_0)</math>  such that

:<math> (u_i, u_{(i+1)\bmod L(p)}) \in E~; \quad u_i \neq u_{(i+2) \bmod L(p)~}, </math>

and <math> L(p) </math> is the length of cycle ''p'', as used in the formulae above.<ref>Terras (2010) p.12</ref> This formulation in graph-theoretic setting is due to Sunada.-->

==伊原の公式==
伊原（とグラフ理論の設定においては砂田）は、正則グラフのゼータ函数は有理函数であることを示した。G が[[隣接行列]] A を持つ k-正則グラフであれば、

:<math>\zeta_G(u) = \frac{1}{(1-u^2)^{\chi(G)-1}\det(I - Au + (k-1)u^2I)} \  </math>

が成り立つ<ref>Terras (1999) p.677</ref>。ここに χ は、{{仮リンク|回路のランク|en|circuit rank}}(circuit rank)である。

実は、伊原のゼータ函数は常に多項式の逆数である：

:<math>\zeta_G(u) = \frac{1}{\det (I-Tu)}~.</math>

ここに、''T'' は橋本の隣接作用素である。{{仮リンク|ハイマン・バス|en|Hyman Bass}}(Hyman Bass)は、隣接作用素に関わる行列式の公式を与えた。

==応用==
伊原のゼータ函数は、[[自由群]]、[[スペクトルグラフ理論]](spectral graph theory)、[[力学系]]、とくに{{仮リンク|シンボリック力学|en|symbolic dynamics}}(symbolic dynamics)で重要な役割を果たし、そこでは、伊原のゼータ函数は{{仮リンク|ルエルのゼータ函数|en|Ruelle zeta function}}(Ruelle zeta function)の例となっている<ref name=T29>Terras (2010) p.29</ref>。
<!--==Ihara's formula==
Ihara (and Sunada in the graph-theoretic setting) showed that for regular graphs the zeta function is a rational function.  If ''G'' is ''k''-regular with [[adjacency matrix]] ''A'' then<ref>Terras (1999) p.677</ref>

:<math>\zeta_G(u) = \frac{1}{(1-u^2)^{\chi(G)-1}\det(I - Au + (k-1)u^2I)} \  </math>

where χ is the [[circuit rank]].

The Ihara zeta-function is in fact always the reciprocal of a polynomial:

:<math>\zeta_G(u) = \frac{1}{\det (I-Tu)}~,</math>

where ''T'' is Hashimoto's edge adjacency operator. [[Hyman Bass]] gave a determinant formula involving the adjacency operator.

==Applications==
The Ihara zeta function plays an important role in the study of [[free group]]s, [[spectral graph theory]], and [[dynamical systems]], especially [[symbolic dynamics]], where the Ihara zeta function is an example of a [[Ruelle zeta function]].<ref name=T29>Terras (2010) p.29</ref>-->

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite journal | first=Yasutaka | last=Ihara | title=On discrete subgroups of the two by two projective linear group over <math>{\mathfrak p}</math>-adic fields | journal=J. Math. Soc. Japan | volume=18 | year=1966 | pages=219–235 | zbl=0158.27702 }}
* {{cite book | first=Toshikazu | last=Sunada | authorlink=Toshikazu Sunada |title=Curvature and Topology of Riemannian Manifolds | volume=1201 | year=1986 | pages=266–284 | doi=10.1007/BFb0075662 | chapter=L-functions in geometry and some applications | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-16770-9 | zbl=0605.58046 }}
* {{cite journal | first=H. | last=Bass | authorlink=Hyman Bass | title=The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice | journal=International. J. Math.| volume=3 | year=1992 | pages=717–797 | doi=10.1142/S0129167X92000357 | issue=6 | zbl=0767.11025 }}
* {{cite book | first=Harold M. | last=Stark | authorlink=Harold Stark | chapter=Multipath zeta functions of graphs | pages=601-615 | title=Emerging Applications of Number Theory | editor1-first=Dennis A. | editor1-last=Hejhal | editor1-link=Dennis Hejhal | editor2-first=Joel | editor2-last=Friedman | editor3-first=Martin C. | editor3-last=Gutzwiller | editor3-link=Martin Gutzwiller | editor4-first=Andrew M. | editor4-last=Odlyzko| editor4-link=Andrew Odlyzko | publisher=Springer | year=1999 | isbn=0-387-98824-6 | zbl=0988.11040 | series=IMA Vol. Math. Appl. | volume=109 }}
* {{cite book | first=Audrey | last=Terras | authorlink=Audrey Terras | chapter=A survey of discrete trace formulas | pages=643-681 | title=Emerging Applications of Number Theory | editor1-first=Dennis A. | editor1-last=Hejhal | editor1-link=Dennis Hejhal | editor2-first=Joel | editor2-last=Friedman | editor3-first=Martin C. | editor3-last=Gutzwiller | editor3-link=Martin Gutzwiller | editor4-first=Andrew M. | editor4-last=Odlyzko| editor4-link=Andrew Odlyzko | publisher=Springer | year=1999 | isbn=0-387-98824-6 | zbl=0982.11031| series=IMA Vol. Math. Appl. | volume=109 }}
* {{cite book | title=Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden | volume=128 | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | first=Audrey | last=Terras | authorlink=Audrey Terras | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2010 | isbn=0-521-11367-9 | zbl=1206.05003 }}

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