伏見＝テンパリー模型のソースを表示

統計力学において、'''伏見＝テンパリー模型'''（ふしみ＝テンパリーもけい、{{lang-en-short|Husimi–Temperley model}}<ref>原論文では伏見はHusimiと表記されており、この英語表記が定着している。</ref>）とは格子点上で定義される[[スピン]]系のモデルである。物理学者の[[伏見康治]]と{{仮リンク|ネヴィル・テンパリー|en|Neville Temperley}}に因む<ref name ="husimi1953">[[#husimi1953|K. Husimi, Proc. Int. Conf. Theor. Phys. 531 (1953)]]</ref><ref name ="temperley1954">[[#temperley1954|H. N. Temperley, Proc. Phys. Soc. 67, 233 (1954)]]</ref><ref name ="husimi2015">[[#husimi2015|伏見（2015）]]</ref>。この模型ではスピンが他の全てのスピンと相互作用するモデルであり、無限レンジモデルとも呼ばれる<ref name ="tanaka_tamura_chakrabarti_2023_ch2">[[#tanaka_tamura_chakrabarti_2023|Shu Tanaka; Ryo, Tamura and Bikas K. Chakrabarti（2023）、第2章]]</ref>。伏見＝テンパリー模型では[[平均場近似]]による解析が[[熱力学的極限]]での厳密な結果を与える<ref name ="tanaka_tamura_chakrabarti_2023_ch2"></ref>。

==概要==
{{mvar|d-}}次元空間の{{mvar|N}} 個の格子点にスピンが配置された[[格子模型]]を考える。{{mvar|i}} 番目の格子点におけるスピンの状態を表すスピン変数を{{math|''&sigma;<sub>i</sub>''}}とし、{{math|''&sigma;<sub>i</sub>''}}は{{math|&pm; 1}}の値をとるものとする。伏見＝テンパリー模型の[[ハミルトニアン]]は

:<math> 
\begin{align}
\mathcal{H} 
&=  - \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} 
J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j \\
&= - \frac{1}{N} \sum_{1 \leq i<j \leq N}
J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j
\end{align}
</math>

で与えられる。ここでは、{{math|''J<sub>ij</sub>''{{=}}''J<sub>ji</sub>''}}はスピン間の相互作用であり、{{math|1/''N''}}はエネルギーが[[示量性]]となるために必要な因子である。この模型は格子点上のスピンがスピン間距離に依らず、他の全てのスピンと相互作用しており、無限レンジモデルと呼ばれる。これは[[イジング模型]]の特別なケースに相当する。

== 平均場近似との関係　==
相互作用を含む[[多体問題|多体系]]では一般に[[分配関数]]を求めることが困難である。スピン系の平均場近似では、多体相互作用を実効的な外場に置き換えて、近似計算を行う。最近接する格子間の相互作用を取り入れた[[イジング模型]]において、スピン間の相互作用{{math|''J<sub>ij</sub>''}}を一様な相互作用{{math|''J<sub>I</sub>''}}とする。このとき、イジング模型のハミルトニアンは

:<math> \mathcal{H} =  - J_{I} \sum_{\left\langle i,j \right\rangle} \sigma_i \cdot \sigma_j 
</math>

である。{{math|{{angbr|''i, j''}}}}は最近接する格子点のペアについての和であることを意味する。一つの格子点に最近接する格子点の数を{{mvar|z}} 個とすると、系全体での最近接格子のペアの個数は {{math|''zN''/2}} 個となる。このイジング模型の平均場近似では[[自発磁化]]は[[自己無撞着]]方程式

:<math>
m = \tanh{ \frac{zJ_{I}m}{kT} }
</math>

を満たす解として定まる。ここで{{mvar|k}} は[[ボルツマン定数]]、{{mvar|T}} は絶対温度である。[[転移温度]]は、

<math>
T_{c} =  \frac{zJ_{I}}{k} 
</math>

と求まる。但し、平均場近似は揺らぎの効果を取り入れていないため、転移温度や[[臨界指数]]は、厳密解や数値解析の結果とは一致しない。

一方、スピン間の相互作用{{math|''J<sub>ij</sub>''}}を一様な相互作用{{math|''J<sub>HT</sub>''}}とする伏見＝テンパリー模型では、ハミルトニアンは

:<math> \mathcal{H} =  - \frac{J_{HT}}{N} \sum_{1 \leq i<j \leq N} \sigma_i \cdot \sigma_j 
</math>

となる。これは最近接する格子点の個数を{{math|''z''{{=}}''N'' &minus;1&cong; ''N''}}とし、相互作用を{{mvar|J<sub>I</sub>{{=}}''J''<sub>HT</sub>/''N''}} とするイジング模型に対応する。この伏見＝テンパリー模型の熱力学極限での自発磁化は方程式

:<math>
m = \tanh{ \frac{J_{HT}m}{kT} }
</math>

から厳密に求まる。イジング模型との対応関係から伏見＝テンパリー模型では平均場近似が厳密な結果を与えることがわかる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{Cite journal
|author=K. Husimi
|authorlink1=伏見康治
|title=Statistical Mechanics of Condensation
|journal=Proceedings of the International Conference of Theoretical Physics
|year=1953
|pages=531-533
|doi=
|ref=husimi1953}}

*{{Cite journal
|author=H. N. Temperley
|authorlink1=
|title=The Mayer Theory of Condensation Tested against a Simple Model of the Imperfect Gas
|journal=Proc. Phys. Soc.
|year=1954
|volume=A 67
|pages=233-238
|doi=10.1088/0370-1298/67/3/306
|ref=temperley1954}}

*{{Cite book |和書
|title=相転移・臨界現象とくりこみ群
|author1=高橋和孝
|authorlink1=高橋和孝
|author2=西森秀稔
|authorlink2=西森秀稔
|series=
|publisher=丸善出版
|year=2017
|isbn=978-4621301562
|ref=takahashi_nishimori2017}}

*{{Cite book |
|author1=Shu Tanaka
|authorlink1=
|author2=Ryo Tamura
|authorlink2=
|author3=Bikas K. Chakrabarti
|authorlink3=
|title=Quantum Spin Glasses, Annealing and Computation
|publisher=Cambridge University Press
|year=2017
|isbn=978-1107113190
|ref=}},邦訳 {{Cite book |和書
|author1=Shu Tanaka
|authorlink1=
|author2=Ryo Tamura
|authorlink2=
|author3=Bikas K. Chakrabarti
|others =田中宗、田村亮（共訳）
|title=量子アニーリングの物理
|publisher=森北出版
|year=2023
|isbn= 978-4627871915
|ref=tanaka_tamura_chakrabarti_2023}}

*{{Cite book |和書
|author1=伏見康治
|authorlink1=伏見康治
|editor =江沢洋、伏見譲、伏見諭 
|title=伏見康治コレクション別巻　物理学論文選集・原子力論集
|publisher=日本評論社
|year=2015
|isbn= 978-4535603509
|ref=husimi_2015}} 伏見の原論文 [[#husimi1953|K. Husimi, Proc. Int. Conf. Theor. Phys. 531 (1953)]] の和訳を所収

==関連項目==
* [[イジング模型]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふしみてんはりいもけい}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:格子模型]]
[[Category:物理学のエポニム]]