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'''伝達問題'''（でんたつもんだい、transmission problem）とは[[電磁波導波路]]の場合、[[導波路]]の形状や内部の媒質が一様でない領域([[不連続領域]])が存在するときに、その不連続部の応答、すなわち[[反射]]や[[透過]]の特性を求める問題である。

不連続問題(discontinuity problem)、散乱問題(scattering problem)と呼ばれることもある。

伝達問題では不連続領域に接続される[[入出力一様導波路]]が必要である。この一様導波路の評価方法はいぐつか存在するが、最初に開発されたのは固有モード展開を用いる方法である。その後、[[完全整合層]](PML)を用いた方法が開発された。

なお、一様導波路や共振器などの入力のない問題は固有値問題(eigenvalue problem)とよばれる。

== 周波数領域の伝達問題 ==
[[周波数領域]](frequency domain)の伝達問題では１つの周波数に対して解く。それを繰り返すことで必要な周波数帯域の反射・透過特性を求める。
[[ファイル:PXL 20210609 220018415.jpg|サムネイル|フォトニック結晶導波路60°ベンドの反射・透過周波数特性]]

== 時間領域の伝達問題 ==
[[時間領域]](time domain)の伝達問題では、時刻t=0にガウシャンパルスを入力し、徐々に時間を経過させて反射波、透過波の時間変化を求める。

なお、求めた時間変化応答にFFTをかけることで一度に[[周波数帯域]]の反射・透過特性を求めることができる。
[[ファイル:PXL 20210609 220056197.jpg|サムネイル|誘電体導波路終端からの反射波・放射波の時間変化]]

== 周波数領域の伝達問題の例（H面導波路の伝達問題） ==
2次元問題であるH面導波路の伝達問題を例にとって説明する。
領域内でMaxwellの方程式より、z成分電界<math>E_z</math>は、次の支配方程式が成立する。

<math>\mu_t^{-1}\left(
\cfrac{\partial^2 E_z}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 E_z}{\partial y^2} 
\right) +
k_0^2 \epsilon_r E_z = 0\ \ \ \ (1)</math>

<math>k_0 = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}</math>は真空中波数、<math>\omega</math>は角周波数、<math>\mu_0,\epsilon_0,\mu_r,\epsilon_r</math>はそれぞれ、真空中透磁率、真空中誘電率、媒質の比透磁率、媒質の比誘電率である。

入出力導波路との境界面において、電界と磁界は固有モード<math>f_m(y), g_m(y)</math>をつかって展開できる。

<math>E_z = \sum_m (a_m e^{-j\beta_m x} + b_m e^{j\beta_m x}) f_m(y)\ \ \ \ (2)</math>

<math>H_y = \sum_m (a_m e^{-j\beta_m x} - b_m e^{j\beta_m x}) g_m(y)\ \ \ \ (3)</math>

<math>a_m,b_m</math>はそれぞれ入力波、反射波の振幅である。

式(2),式(3)に入射波振幅を与えた時、式(1)を満たす領域内電界分布を求める問題になる。

電界分布が求まると、それを使って反射波振幅を求めることができる。

ガラーキン法を使って弱形式を導く。

電界を補間関数<math>N_j</math>を使って表現し、重みも同じ補間関数<math>N_i</math>を使うと、

<math>\sum_j \int_{\Omega} \mu_r^{-1} \cfrac{\partial N_i}{\partial y} \cfrac{\partial N_j}{\partial y} +
\mu_r^{-1} \cfrac{\partial N_i}{\partial x} \cfrac{\partial N_j}{\partial x} -
k_0^2 \epsilon_r N_i N_j d\Omega E_z
= \int_{\Gamma} \mu_r^{-1} N_i \cfrac{\partial E_z}{\partial n} d\Gamma \ \ \ \ (4)
</math>

<math>n
</math>は境界の法線方向ベクトルである。

(4)式の右辺は境界上の磁界を使って表すことができ、<math>n=-x
</math>として

<math>- \int_{\Gamma} \mu_r^{-1} N_i \cfrac{\partial E_z}{\partial x} d\Gamma
= - j\omega \mu_0 \int_{\Gamma} N_i H_y d\Gamma
</math>

<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ = - j\omega \mu_0 \int_{\Gamma} N_i \sum_m (a_m - b_m) g_m d\Gamma\ \ \ \ (5)
</math>

また、固有モードの規格化条件

<math>\int_{\Gamma} f_m(y) g_m^*(y) d\Gamma = - \cfrac{\beta_m^*}{|\beta_m|}\ \ \ \ (6)
</math>

より、

<math>\int_{\Gamma} E_z g_{m'} d\Gamma =
-\cfrac{\beta_{m'}}{|\beta_{m'}|} (a_m e^{-j\beta x} + b_m e^{j\beta x})\ \ \ \ (7)
</math>

式(7)から<math>b_m
</math>を求めると、

<math>b_{m'} = -a_{m'} e^{-2j\beta x} -
\cfrac{|\beta_{m'}|}{\beta_{m'}^*} e^{-j\beta_{m'} x} \int_{\Gamma} E_z g_{m'} d\Gamma\ \ \ \ (8)

</math>

これを式(5)に代入すると未知数が<math>E_z
</math>のみになる。これを解く。

<math>\sum_j \Big(
\int_{\Omega} \mu_r^{-1}\cfrac{\partial N_i}{\partial y} \cfrac{\partial N_j}{\partial y}+
\mu_r^{-1}\cfrac{\partial N_i}{\partial x} \cfrac{\partial N_j}{\partial x} -
k_0^2 \epsilon_r N_i N_j d\Omega 

</math>

<math>+ 
\cfrac{j}{\omega \mu_0} \sum_m
\beta_m |\beta_m| \int_{\Gamma} N_i \mu_r^{-1} f_m d\Gamma
\sum_j \int_{\Gamma} \mu_r^{-1} f_m^* d\Gamma 
\Big) E_{zj}
= j2a_0 \int_{\Gamma} N_i \mu_r^{-1} f_0 d \Gamma\ \ \ \ (9)

</math>または、

<math>[A]\{ E_z \} + [B] \{ E_z \}|_{\Gamma} = \{ f \}|_{\Gamma}\ \ \ \ (10)
</math>

式(9)または式(10)を解いて<math>E_z
</math>の分布が求まれば、入出力導波路境界上の反射、透過係数は式(8)より求まる。

== 参考文献 ==

* 加川幸雄, 小柴正則, 池内雅紀, 鏡 慎:“電気電子のため. の有限/境界要素法" , オーム 社,1984
*ryujimiya, "Frequency Domain FEM Analysis of Discontinuity Problems for H-plane Waveguides" ,  March 2021,http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/HWaveguideDiscontinuity.pdf?p=0
* ryujimiya, "Frequency Domain FEM Analysis of Discontinuity Problems for Photonic Chrystal Waveguides - Ports Truncated By Eigenmode Expansion" ,  Jan 2020,http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/PCWaveguideDiscontinuity.pdf?p=0
* ryujimiya,"Higher Order Both Evanescent And Traveling Wave Absorbing Boundary Conditions (ABC) for Time Domain FEM", Oct 2019, http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/HigerOrderABCTD.pdf?p=0

== 歴史 ==
{{empty section|date=2021年6月}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注釈"}}

=== 出典 ===

== 関連項目 ==

* [[散乱理論]]
* [[逆散乱]]

== 外部リンク ==
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