伝達関数法のソースを表示

{{出典の明記|date=2014年3月}} 
'''伝達関数法'''（でんたつかんすうほう）とは、複素関数論（[[ラプラス変換]]など）を用いた[[制御工学|制御系]]の解析法である。

== 伝達関数 ==
'''伝達関数''' (transfer function) とはシステムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。伝達関数は、すべての初期値を 0 とおいたときの、制御系の出力と入力の[[ラプラス変換]]（または[[Z変換| Z 変換]]）の比で表される。すなわち、連続システムのとき、出力信号 ''y''(''t'') のラプラス変換を ''Y''(''s'')、入力信号 ''x''(''t'') のラプラス変換を ''X''(''s'') とすれば、伝達関数 ''G''(''s'') は

{{Indent|<math>G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\mathcal{L}\left[y(t)\right]}{\mathcal{L}\left[x(t)\right]}</math>}}

と表される。

離散システムに対して、伝達関数は Z 変換によって、

{{Indent|<math>H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\mathcal{Z}\left[y(n)\right]}{\mathcal{Z}\left[x(n)\right]}</math>}}

と表される。

この伝達関数法では、[[時間領域]]の関数を、ラプラス変換（または Z 変換）によって[[複素平面]]に写像を取り、さらに[[周波数領域]]に変換することにより、系の特性や安定性を解析するのに用いる。ただし、対象となる系が 1 入力 1 出力（線形関数）に限られているため、複雑な系（多入力多出力、非線形）の解析には[[状態空間法]]を用いる。しかしながら、この伝達関数法は、今日の[[制御理論]]においても基礎となる重要な理論である。

== 周波数伝達関数 ==
''s'' を ''j''ω とすると、周波数伝達関数 (frequency transfer function) は ''G''(''j''ω) と表される。
周波数伝達関数は[[複素数]]であるため、次のように表される。

{{Indent|<math> G(j\omega)= {\rm Re}\{G(j\omega)\} + j~{\rm Im}\{G(j\omega)\} = |G(j\omega)| e^{j\angle G(j\omega)} </math>}}

この式の特性を見るために[[ナイキスト線図]]、[[ボード線図]]、[[ニコルス線図]]がある。

周波数伝達関数の[[絶対値]] |''G''(''j''ω)| を[[利得 (電気工学)|利得]]といい、[[複素数の偏角|偏角]] <math>\angle G(j\omega)</math> を[[位相]]（位相角）という。

== 各種要素の伝達関数 ==
;積分要素 
: <math>G(s)=\frac{k}{s}</math>
;1次遅れ要素 
: <math>G(s)=\frac{K}{Ts+1}</math>
;微分要素
: <math>G(s)=Ts</math>
;むだ時間要素
: <math>G(s)=e^{-s\tau}</math> (通信遅延等)(解析が困難)
;2次遅れ要素
: <math>G(s)=\frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)}</math>
: <math>G(s)=\frac{K}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n{}^2}\quad (\zeta<1)</math>
: <math>G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}</math>

== 関連項目 ==
*[[LTIシステム理論]]

{{制御理論}}
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{{DEFAULTSORT:てんたつかんすう}}
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