似非有理数のソースを表示

'''似非有理数''' (えせゆうりすう, {{Lang|en|Schizophrenic number}},  {{Lang|en|mock rational number}}) は、一見規則性を持った[[有理数]]のように見える[[無理数]]。アメリカの数学作家{{仮リンク|クリフォード・ピックオーバー|en|Clifford A. Pickover}}の知人、ケビン・ブラウンが最初の例を考案した。

==背景==
ピックオーバーは著書「ワンダーズ・オブ・ナンバーズ」の中で次のように説明している。

「[[Usenet|ネットニュース]]のニュースグループsci.mathの中で『無作為に選ばれた無理数の最初の100桁に規則性があることはありえない』という主張があり、似非有理数はこの反例として考案された<ref>{{Citation|title=Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning|first=Clifford A.|last=Pickover|publisher=Oxford University Press|year=2003|isbn=9780195157994|contribution=Schizophrenic Numbers|pages=210–211|url=https://books.google.com/?id=52N0JJBspM0C&pg=PA210}}</ref>」。

==ケビン・ブラウンによる例==
次のような数列を考える。

<math>f(n) = 10 f(n - 1) + n</math> 、初期値は<math>f(0) = 0</math>

つまり、<math>f(1) = 1</math>、<math>f(2) = 12</math>、<math>f(3) = 123</math>となる。

この<math>n</math>が奇数の時、<math>f(n)</math>の平方根は、解の最初のほうは規則的に見えるが、その後は無理数のように見える不思議な数となり、ピックオーバーとケビン・ブラウンは、これが最初の問いに対する反例になると主張した。

例えば<math>\sqrt{f(49)}</math>の最初の500桁は次の通りである。

<pre>
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860
555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
66666666666666666666666666666666666666666 0296260347
2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819
4444444444444444444444444444444 38775551250401171874
9999999999999999999999999999 808249687711486305338541
66666666666666666666666 5987185738621440638655598958
33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374
99999999999999 0642227587555983066639430321587456597
222222222 1863492016791180833081844 ...
</pre>

この数は、最初は規則的であるが、規則的な部分が徐々に短くなっていき、やがて完全にランダムとなる。nが大きいほど規則的な部分が多くなってくる。繰り返される数字は必ず1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, である<ref>{{Citation|title=The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes|first=David|last=Darling|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|isbn=9780471667001|page=12|url=https://books.google.com/?id=HrOxRdtYYaMC&pg=PA12}}</ref>。

<math>f(n)</math>をn=0から並べると次のような数列となる。

:0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, ... <ref>{{OEIS|A014824}}</ref>.
:''f''(49) = 1234567901234567901234567901234567901234567901229

この数の平方根の整数部分をn=0から並べると次のような数列となる。

:0, 1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, ... <ref>{{OEIS|A068995}}</ref>,
この数列を見て分かるように、nが偶数の場合は規則性が無いランダムな数となる。

==n進数の場合==
上の例は、十進法の場合であるが、n進法でも似たような規則性がある数が得られる。

<math>b</math>進法の場合、数列は次のように定義できる。

:<math>f_b(n)=b f_b(n-1)+n</math>、ただし<math>b\geq2</math>で<math>f(0) = 0</math>.

この場合も、十進法の場合と同様に、最初に規則的な部分と不規則な部分が繰り返される。例えば8進法の場合、<math>\sqrt{f_8(49)}</math>は次の数となる（ただし「49」は十進法の数）。

<pre>
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0600
444444444444444444444444444444444444444444444 02144
333333333333333333333333333333333333333333 175124422
666666666666666666666666666666666666666 ....
</pre>

同じ数字がまとめて並ぶのではなく、一定のパターンが繰り返されることもある。例えば<math>\sqrt{f_3(49)}</math>の場合、

<pre>
1111111111111111111111111.1111111111111111111111111111111 01200 
202020202020202020202020202020202020202020 11010102 
00120012000012001200120012001200120012 0010
21120020211210002112100021121000211210 ...
</pre>

のように、「20」や「0012」などの数字が繰り返し現れる。

<math>b</math>進法で似非有理数となる場合、<math>b^m</math>進法でも似非有理数となる。例えば前述したように<math>\sqrt{f_3(49)}</math>は似非有利数なので、<math>\sqrt{f_9(49)}</math>も似非有理数となる。

<pre>
1444444444444.4444444444 350
666666666666666666666 4112
0505050505050505050 337506
75307530753075307 40552382 ...
</pre>

==関連項目==
*[[ほとんど整数]]
*[[正規数]]

==参考文献==
{{Reflist}}

==外部リンク==
*[https://www.mathpages.com/home/kmath404.htm Mock-Rational Numbers], K. S. Brown, mathpages.

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[[Category:無理数]]
[[Category:数学に関する記事]]