位取り記数法のソースを表示

{{Redirect|桁|横架材|桁 (建築)}}
{{出典の明記|date=2020年2月}}
{{読み仮名|'''位取り記数法'''|くらいどりきすうほう|{{lang-en-short|positional notation}}}}とは、いくつかの[[数字]]を並べて数を表す方法である（例：{{math|123}}、{{math|3.14}}、{{math|3;8,24}}）。

数字ないし決まった文字数の数字列の置かれた位置を{{読み仮名|'''位'''|くらい}}または{{読み仮名|'''桁'''|けた}}{{efn2|桁という呼称は、[[そろばん]]の珠を通す軸を桁と呼ぶことに由来する{{sfn|『デジタル大辞泉』【桁】}}。}}と呼び<ref>{{Cite book
 |和書
 |editor=山田 忠雄, 倉持 保男, 山田 明雄, 酒井 憲二, 柴田 武
 |title=新明解国語辞典
 |edition=第六版［特装版］
 |year=2005
 |publisher=三省堂
 |isbn=4-385-13105-8
 |page=417
 |oclc=60598361
 |ref={{sfnref|『新明解国語辞典』第六版［特装版］|2005}}
}}</ref>、数字の位を決めることを位取りという。

一つの桁を {{mvar|N}} 種の数字列の組み合わせで表す位取り記数法を{{読み仮名|{{mvar|N}} '''進位取り記数法'''|エヌしんくらいどりきすうほう}}あるいは単に {{読み仮名|{{mvar|N}} '''進法'''|エヌしんほう}}{{efn2|「{{mvar|N}} 進法」という語は[[記数法]]にも[[命数法]]にも用いられる。本稿では単に {{mvar|N}} を底とする数の表示法を {{mvar|N}} 進法と呼ぶ。}}と呼ぶ。また、数 {{mvar|N}} を{{読み仮名|'''基数'''|きすう|{{lang-en-short|radix}}}}{{efn2|[[集合論]]における[[基数]]とは、日本語は同じだが異なる概念である。混同を避けるため、本項では次に挙げる「底」の語を主に用いる。}}ないし{{読み仮名|'''底'''|てい|{{lang-en-short|base}}}}と呼ぶ。
例えば、一般的に用いられる 0 から 9 までの[[アラビア数字]]による記数法は[[十進法]]にあたる。十進法でない例として、[[時刻]]や[[角度]]を表す[[単位]]の[[分]]や[[秒]]は[[六十進法]]が使われている。また[[コンピュータ]]の分野においては数値表現に[[二進法]]とその派生である[[八進法]]や[[十六進法]]がしばしば用いられる。

位取り記数法は古代中国に由来する。中国では紀元前14世紀の商時代にすでに十進法が用いられており、紀元前4世紀にはゼロを空位として記述する位取り記数法を用いていた。対してヨーロッパにおける最古の十進法が記述された文書は976年のスペインの手稿本である<ref>{{Cite book |edition=Repr |title=Science and civilisation in China. Pt. 1: Vol. 5. Chemistry and chemical technology Paper and printing / by Tsien Tsuen-Hsuin |publisher=Cambridge Univ. Pr |date=2001 |location=Cambridge |isbn=978-0-521-08690-5 |volume=5 |editor-first=Joseph |editor-last=Needham |editor2-first=Tsuen-hsuin |editor2-last=Tsien}}</ref>。

本項では {{mvar|N}} が 2 以上の[[整数]]の場合を扱う。それ以外の場合については[[広義の記数法]]の記事を参照のこと。また後述する[[#p進数|{{mvar|p}} 進数]]の概念とは（関連があるものの）別概念であるので注意が必要である。

== 記法 ==
{{see also|記数法}}
{{math|2}} 以上の[[整数]] {{mvar|N}} を底（基数）とする位取り記数法（{{mvar|N}} 進法）において、それぞれの位の値は {{math|0}} から {{math|''N'' &minus; 1}} までの {{mvar|N}} 個の[[正の数と負の数|非負]]の整数に対応した[[数字]]で表される（例：{{math2|1234567890}}、{{math2|一二三四五六七八九〇}}）{{sfn|朝倉『数学辞典』（普及版）|2011|loc=基底（数の表示における）|p=78}}<ref name="mathworld-base">{{mathworld|title=Base|urlname=Base}}</ref>。
非負の数は位取り記数法によって、以下のように表される<ref name="mathworld-base" />：
: <math display="block">
  \underbrace{d_{m-1} \cdots d_1 d_0}_\text{integer part} 
  \underbrace{.}_\text{radix point} 
  \underbrace{d_{-1} d_{-2} \cdots}_\text{fractional part}
  \,.
</math>
ここで {{math|''d''{{sub|''k''}} &isin; {{mset|0, ... , ''N'' &minus; 1}}}} は位の値{{sfn|朝倉『数学辞典』（普及版）|2011|loc=位の値|p=121}}を表し、添字 {{mvar|k}} はここでは {{mvar|N{{sup|k}}}}{{efn2|{{mvar|N{{sup|k}}}} は {{mvar|N}} の {{mvar|k}} [[冪乗|乗]]を表す。{{mvar|N}} 進法において {{math|1=''N'' = 10}} であり、{{mvar|k}} を非負として、<math display="inline">\scriptstyle N^k = 1\underbrace{0 \cdots 0}_{k\,\text{個}}</math> である。冪指数が負の場合、例えば {{math|1=''N''{{sup-|2}}}} は {{math|{{sfrac|''N''{{sup|2}}}}}} を表し、一般に {{math|1=''N''{{sup-|''k''}} = {{sfrac|''N''{{sup|''k''}}}}}} である。従って {{mvar|N}} 進法において、{{mvar|k}} を非負として、<math display="inline">\scriptstyle N^{-k} = \underbrace{0.0 \cdots 0}_{k\,\text{桁}}1</math> である。}}の位の[[冪乗|冪指数]]を表す。添字 {{mvar|k}} が 0 以上の位の値の並びは整数を表し'''整数部'''（{{lang-en-short|integer part}}）と呼ばれる。添字 {{mvar|k}} が {{math|&minus;1}} 以下の位の値の並びは'''小数部'''（{{lang-en-short|fractional part}}）と呼ばれる。整数部と小数部は'''[[小数点]]'''{{efn2|本項では[[小数点]]に[[終止符|ピリオド]]（.）を用いる。他に[[コンマ]]（,）や[[中黒]]（・）などが用いられる。}}（{{lang-en-short|radix point}}）によって区切られる（例：{{math|123.456}}）。もし位取り記数法で表される数が整数ならば、小数点は書かなくともよい（例：{{math|123}}）。{{mvar|m}} は整数部の桁数を表す。小数部について、{{math|1=''k'' = &minus;1, &minus;2 , ...}} の位はそれぞれ順に小数第一位、第二位、……と呼ばれる{{sfn|朝倉『数学辞典』（普及版）|2011|loc=少数位|p=204}}。

また負の数は[[プラス記号とマイナス記号|負符号]]（&minus;）を数字列の前方につけて表す{{sfn|朝倉『数学辞典』（普及版）|2011|loc=正の数|p=230}}<ref>{{mathworld|title=Negative|urlname=Negative}}</ref>（例：{{math|&minus;123.456}}、{{math|&minus;123}}）：
: <math display="block">
  -d_{m-1} \cdots d_1 d_0
  .
  d_{-1} d_{-2} \cdots \,.
</math>

位取り記数法による数の表示は、底の冪 {{mvar|N{{sup|k}}}} とその位の値 {{mvar|d{{sub|k}}}} の[[乗法|積]]の[[加法|和]]の略記と見なせる：
:<math display="block">
  d_{m-1} \cdots d_1 d_0 
  . d_{-1} d_{-2} \cdots
  = \sum_{k}^{m-1} d_k N^k
  \,.
</math>
ここで右辺の[[和の記号]]は以下を表す：
:<math display="block">
  \sum_{k}^{m-1} d_k N^k 
  = d_{m-1} N^{m-1}
  + \dotsm
  + d_1 N + d_0 + d_{-1} N^{-1} + \dotsm {}
  \,.
</math>
例えば、[[十進法]]における {{math|123.45}} は、
:<math>
  \begin{align}
  123.45 &= 
    1 \cdot {10}^2
    + 2 \cdot {10}^1
    + 3 \cdot {10}^0 
    + 4 \cdot {10}^{-1} 
    + 5 \cdot {10}^{-2} \\
  &= 100 + 20 + 3 
   + \frac{4}{10}
   + \frac{5}{100}
  \end{align}
</math>
と展開できる。

小数部の位の値は有限個の場合もあれば、そうでない場合もある。{{mvar|N}} 進法で[[循環小数]]となるような[[有理数]]や、[[無理数]]は有限の桁数では表せないため、末尾に[[省略記号]]（…）を付けて有限桁でないことを示す（例：[[円周率]] {{pi}} の十進展開 {{math|1=&pi; = 3.14159...}}）。

循環小数について、以下のように、'''循環節'''（{{lang-en-short|repetend}}）を上線などによって示す記法も用いられる（以下では上線を用いる）<ref>{{mathworld|title=Vinculum|urlname=Vinculum}}</ref>：
: <math display="block">
  d_{m-1} \cdots d_1 d_0
  . 
  d_{-1} d_{-2} \cdots 
  \underbrace{\overline{
    d_{-r} \cdots d_{-(r+\lambda-1)}
  }}_\text{repetend}
</math>
ここで {{mvar|&lambda;}} は循環節の長さを表し、{{mvar|r}} は循環節が始まる位を示す。例えば[[十進法]]において {{math|{{sfrac|1|14}}}} は {{math|0.0{{overline|714285}}}} と表される。

=== {{vanc|底の明示|基数の明示}} ===

慣習的に、特に断りのない限り、位取り記数法で示された数は[[十進法|十進数]]と解釈される。異なる底を用いていることを示すため、以下のように底を併記することがある：
: <math display="block">
  {
    d_{m-1} \cdots d_1 d_0 
    . 
    d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-\ell} \,
  }_{(N)} \,,
</math>
または底を括弧で囲わず、
: <math display="block">
  {
    d_{m-1} \cdots d_1 d_0 
    . 
    d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-\ell} \,
  }_{N} \,,
</math>
あるいは数を括弧書きして、
:<math display="block">
  \left(
    d_{m-1} \cdots d_1 d_0 
    .
    d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-\ell}
  \right)_{N}
  \,.
</math>
上記の記法において、底の数自体は十進法で表記される。例えば、{{math|10{{sub|(2)}}}} は[[二進法|二進数]]であり、十進数 {{math|2}} に等しい数を表す。また {{math|100{{sub|(16)}}}} [[十六進法|十六進数]]であり、十進数 {{math|256}} に等しい数を表す。

その他の記法として、[[プログラミング|コンピュータ・プログラミング]]において、[[プログラミング言語]]によっては、定まった数を表す[[構文解析|構文]]（[[リテラル]]）が用意されている。例えば[[C言語]]や[[C++]]において、<code>123</code> は十進法、<code>0x012abc</code> および <code>0X345DEF</code> は十六進法、<code>0b0101</code> および <code>0B1010</code> は二進法、<code>0123</code> は[[八進法]]の[[定数]]をそれぞれ表し、底の区別は先頭の記号によってなされる（<code>0</code> 以外の数字で始まるなら十進数、<code>0x</code> または <code>0X</code> で始まるなら十六進数、<code>0b</code> または <code>0B</code> で始まるなら二進数、それ以外は八進数と解釈される{{efn2|より正確には続く数字列が十進数、十六進数、二進数、八進数として正しくなければならない。十進数には 0 から 9 までの数字、十六進数には加えて A (a) から F (f) までの6つの数字が使用できるが、二進数には 0 と 1 のみ、八進数には 0 から 7 までの数字のみが使用できる。}}）<ref>{{cite web2
 |website=cppreference.com
  |url=https://en.cppreference.com/mwiki/index.php?title=cpp/language/integer_literal&oldid=147298
 |title=Integer literal
 |accessdate=2023-03-16
}}
</ref><ref>{{cite web2
 |website=cppreference.com
  |url=https://en.cppreference.com/mwiki/index.php?title=c/language/integer_constant&oldid=142432
 |title=Integer constant
 |accessdate=2023-03-16
}}
</ref>。[[JavaScript]]などでは八進数についてより厳格に、<code>0o</code> または <code>0O</code> で始まる文法を採用している<ref>{{cite web2
 |website=developer.mozilla.org
 |url=https://developer.mozilla.org/ja/docs/Web/JavaScript/Reference/Lexical_grammar#%E6%95%B0%E5%80%A4%E3%83%AA%E3%83%86%E3%83%A9%E3%83%AB
 |title=MDN web docs - 字句文法 # 数値リテラル
 |accessdate=2023-03-16
}}
</ref>。より柔軟な記法として、2から36までの底について{{efn2|底が36までに制限されるのは、数値に使える文字種が[[アラビア数字]]10文字と[[ISO基本ラテンアルファベット|基本ラテン文字]]26文字の計36文字に限られるため。}}、[[Smalltalk]]では <code>base "r" value</code>（例：<code>16rFFEF</code>）<ref>{{cite web2
 |website=www.gnu.org
 |url=https://www.gnu.org/software/smalltalk/manual/html_node/The-syntax.html
 |title=A Simple Overview of Smalltalk Syntax
 |accessdate=2023-03-16
}}
</ref>、[[Erlang]]では <code>base "#" value</code>（例：<code>16#ffef</code>）<ref>{{cite web2
 |website=www.erlang.org
 |url=https://www.erlang.org/doc/reference_manual/data_types.html
 |title=Data Types
 |accessdate=2023-03-16
}}
</ref>という構文を採用している。<code>base</code> は底を表す十進整数であり、<code>value</code> はその進数法での数値を表す英数字の列である。

==適用例==
===十進法===
{{See also|漢数字#位取り記数法}}
; 数列
十進法は最も身近な位取り記数法である。十進法では、[[10|十]]個の[[数字]]を用い、一桁にひとつの数字を容れて必要な桁数分を並べて数値を表す。

[[アラビア数字]]なら
{{quote|'''0'''、'''1'''、'''2'''、'''3'''、'''4'''、'''5'''、'''6'''、'''7'''、'''8'''、'''9'''}}
の十個であり、
[[漢数字]]なら
{{quote|'''〇'''、'''一'''、'''二'''、'''三'''、'''四'''、'''五'''、'''六'''、'''七'''、'''八'''、'''九'''}}
の十個である。以下、アラビア数字を例に説明するが、漢数字の場合も同様である。

十進法ではこれらの数字を列べる事で数を表現する。
例えば、'''312.02'''は、
{{indent|<math>3\times 10^2+1\times 10^1 + 2\times 10^0 + 0\times \frac{1}{10^1}+2\times \frac{1}{10^2} </math>}}
を表す。

===Nが十未満===
例えば[[五進法]]をアラビア数字で表した場合、使う数字は

{{quote|'''0'''、'''1'''、'''2'''、'''3'''、'''4'''}}

の五種類の記号であり、五進法における'''431.02'''は、

{{indent|<math>4\times 5^2+3\times 5^1 + 1\times 5^0 + 0\times \frac{1}{5^1}+2\times \frac{1}{5^2} </math>}}

を表し、これは十進法の'''116.08'''にあたる。

注意すべき点は、同じ「'''431.02'''」でも五進法のものと十進法のものでは値が異なる。このため、位取り記数法の話をするときには、常に何進法の話であるのかを明示する必要がある。（[[#基数の明記|後述]]）

===Nが十を超過===
[[十二進法]]、[[十六進法]]、[[二十進法]]のように、''N'' が十より大きい場合は用いる数字は、アラビア数字だけでは足りなくなる。そこで、十以上の数を表記する「数字」として、[[ラテン文字]]の[[アルファベット]]の[[大文字]]を用いる事が多い。

例えば十六進法であれば、「数字」として

{{quote|'''0'''、'''1'''、'''2'''、'''3'''、'''4'''、'''5'''、'''6'''、'''7'''、'''8'''、'''9'''、'''A'''、'''B'''、'''C'''、'''D'''、'''E'''、'''F'''}}

を用い、'''A'''、'''B'''、'''C'''、'''D'''、'''E'''、'''F'''はそれぞれ十進法の自然数10、11、12、13、14、15に対応する。

従って例えば'''2F3.A7'''は

{{indent|<math>2\times 16^2+15\times 16^1 + 3 + 10\times \frac{1}{16^1}+7\times \frac{1}{16^2} </math>}}

を表し、これは十進法の'''755.652344'''にあたる。

=={{vanc|可除性|可分性}}==
{{see also|倍数#整除性の判定法|小数}}
[[有理数]]を[[小数]]で表す際、有限小数になる場合と[[循環小数]]になる場合がある。本節では底 {{mvar|N}} の位取り記数法で有理数が有限小数として表される（分子が分母で「割り切れる」）条件について述べる。

一般に、既約分数 {{math|{{sfrac|''x''|''y''}}}} が底 {{mvar|N}} の位取り記数法において有限小数として表されるには、分母 {{mvar|y}} が底 {{mvar|N}} が持つ[[素因数]] <math>p_1,\, \dots,\, p_m</math> の積 <math>y = p_1^{k_1} {}\dotsb{} p_m^{k_m}</math> （ただし {{mvar|k}} は {{math|0}} 以上の整数）になっていなければならない（さもなくば {{mvar|N}} の[[冪乗|冪]]を掛けて整数にならない）{{sfn|Hardy|1929|loc= 4. Regarding Decimals|p=784}}<ref>{{MathWorld|title=Regular Number|urlname=RegularNumber}}</ref>。この条件は分子によらないため、有限小数で表せるかは[[単位分数]]で表される有理数に限って調べればよい。

例えば[[十進法]]では {{math|1=''N'' = 10 = 2&sdot;5}} のため、ある有理数を既約分数で表した際、分母が {{math|2}} と {{math|5}} 以外に素因数を持たない場合には有限小数となり、それ以外は循環小数となる。

{{mvar|N}} 進有限小数が {{mvar|M}} 進有限小数でもあるには、その有限小数を既約分数で現した際の分母が2つの底 {{mvar|N}}, {{mvar|M}} の冪のいずれの[[約数]]にもなる必要がある。特に、すべての {{mvar|N}} 進有限小数が {{mvar|M}} 進有限小数であるには {{mvar|M}} の素因数がすべて {{mvar|N}} の素因数に含まれていなければならない。

==表記の一意性==
この節では特に断りがない限り十進数について述べるが、他の底についても同様である。

実数の ''N'' 進表記は一意ではない。

よく知られているように、

: '''1'''='''1.000'''…='''[[0.999…]]'''

である。また、以下のように、上位桁に不要な'''0'''を付け加えることもできる。

: '''0013'''='''13'''

通常は「'''0013'''」のような表記は許さないとする事が多いが、コンピューターなどでは、最大で4桁の整数値であることを示すため、あえて「'''0013'''」のような表記をする場合がある。

以上のような例を除くと'''0以外の'''実数は一意に表現できる。

しかし、0のみは

:「'''+0'''」、「'''-0'''」

の二通りの表記が可能である(いわゆる'''[[-0|負のゼロ]]'''の問題)。これが原因で、コンピューター・プログラムでは'''0'''のみ[[例外処理]]を求められる場合がある。

また、一般には0は1桁の数とされているが、ルールを優先し1桁の数と認めない場合もある（[[覆面算#ルール]]）。

[[表計算ソフト]]の列名などで用いられている、A, B, ..., Z, AA, AB, ... のような形式は、位取り記数法の一種と考えることができ、かつ0より大きい整数を一意に表せる。([[:en:Bijective numeration]])

==底の変換アルゴリズム==
与えられた非負[[整数]] ''T'' を、記号<math>\mathfrak{c}_0,\ldots, \mathfrak{c}_{N-1} </math>を数字として用いた ''N'' 進表記

{{indent|<math>a_r\cdots a_0</math>}}

で表すには、以下のアルゴリズムを用いればよい。

なお、このアルゴリズムは、 ''M'' ≠ ''N''により''M'' 進表記されている ''T'' を ''N'' 進表記に書き換えるときに使われる事が多いので、このアルゴリズムを'''底の変換[[アルゴリズム]]'''と呼ぶ。

* 入力''T'' を受け取る。
* ''T=0'' なら<math>\mathfrak{c}_0</math> を出力して停止。
* iを0に初期化
* while(T≠0){
** ''T'' を ''N'' で割った商を ''T''' 、余りを ''k'' とし、 <math>a_i\gets\mathfrak{c}_k</math> とする。
** ''T'' ←''T'''、i←i+1
*}
* r←i-1
* <math>a_r\cdots a_0</math>を出力

なお、''T'' >0に対しては等式

{{indent|<math>r=\left\lfloor\log_N T\right\rfloor</math>}}

が知られている(なお、添え字を0から始めているので、''T'' の桁数は''r'' +1) 。ここで<math> \left\lfloor x \right\rfloor</math>は[[床関数]]である。

=== 底の変換例 ===
;十進法→五進法への変換

[[十進法]]の 5213 を[[五進法]]に置き換える場合、5で割っていき、商が5未満になった時点で止める。余り無しの場合は 0 を明記する。商が5未満になったら、最後の商を先頭にして、最初の余りを末尾にして列べる。

* 5213 &divide; 5 = 1042 余り 3
* 1042 &divide; 5 = 208 余り 2
* 208 &divide; 5 = 41 余り 3
* 41 &divide; 5 = 8 余り 1
* 8 &divide; 5 = 1 余り 3
* 1 &divide; 5 = 0 余り 1

から、5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 5<sup>2</sup> + 1 × 5<sup>3</sup> + 3 × 5<sup>4</sup> + 1 × 5<sup>5</sup> となるので、五進表記では 131323 と表すことができる。また、5<sup>5</sup> = 3125, 5<sup>6</sup> = 15625 であるから、5<sup>5</sup> &le; 5213 &lt; 5<sup>6</sup> が成り立っているので、対数を取ると
{{indent|<math>5 \le \log_{5}5213 < 6</math>}}
となり、
{{indent|<math>r=\left\lfloor\log_{5}5213\right\rfloor =5</math>}}
が分かる。

;十進法以外→十進法以外への変換

十進法以外のN進法も同様で、例えば3{{sup|8}}に当たる[[六進法]]の 50213 を[[十六進法]]に置き換える場合も、商が24{{sub|(6)}} = 10{{sub|(G)}} を下回るまで24で割っていく。

* 50213 ÷ 24 = 1522 余り 1
* 1522 ÷ 24 = 41 余り 14
* 42 ÷ 24 = 1 余り 13

以上より、1, 13, 14, 1の列になり、13{{sub|(6)}} = 9{{sub|(G)}}、14{{sub|(6)}} = A{{sub|(G)}} なので、十六進法では 19A1 となる。

;同値の小数への変換

小数を別のN進法に変換する場合には、以下の経過を践む。

# 変換前と変換後の冪数を列挙する。
# 小数点以下の元の桁数に合わせて、冪数を掛ける。
# [[端数処理]]をする。
# 整数と同じく、冪数を掛けた結果を、変換後のNで割っていく。
# 変換後のNで割った結果を最後の商→最初の余りの順に列挙する。この列が同値の小数となる。

（例）十進数0.531441 → 十二進数六桁
# 十進数 1000000 → 2985984（十の六乗→十二の六乗）
# 531441×2.<u>985984</u> = 1586874.322944
# 1586874.322944 → 1586874
# 1586874÷12 = 132239 余り6
#* 132239÷12 = 11019 余り11
#* 11019÷12 = 918 余り3
#* 918÷12 = 76 余り6
#* 76÷12 = 6 余り4
# 11{{sub|(A)}} = B{{sub|(C)}} なので、6463B6{{sub|(C)}} を列べる。
以上より、十進数0.531441 は、十二進数では約0.6463B6 となる。

（例）十進数0.124053 → 六進数九桁
# 十進数 1000000 → 10077696（十の六乗→六の九乗）
# 124053×10.<u>077696</u> = 1250168.42189
#* 変換前の小数が六桁なので、乗数も小数点以下を六桁にする。
# 1250168.42189 → 1250168
# 1250168÷6 = 208361 余り2
#* 208361÷6 = 34726 余り5
#* 34726÷6 = 5787 余り4
#* 5787÷6 = 964 余り3
#* 964÷6 = 160 余り4
#* 160÷6 = 26 余り4
#* 26÷6 = 4 余り2
# 42443452{{sub|(6)}}を列べる。分母が 10077696{{sub|(A)}} = 1000000000{{sub|(6)}} なので、小数点以下は9桁になり、先頭に0が1つ加わる。
よって、十進数0.124053 は、六進数では約0.042443452 となる。

== {{vanc|複数の底の混在|複数の基数の混在}} ==
{{See also|:en:Mixed radix}}
[[十進法]]では、機械的に[[10|十]]倍、[[100|百]]倍、[[1000|千]]倍、[[10000|一万]]倍…の順で増える。同じく、[[十二進法]]では、機械的に[[12|十二]]倍、[[144|百四十四]]倍、[[1728|千七百二十八]]倍、[[20736|二万七百三十六]]倍…の順で増える。

しかし、底を2つに分ける場合がある。十進法に対して、[[二五進法|二・五進法]]（十が五進命数法で「二五」なので、区別するため二と五の間に点が必要）では[[2|二]]と[[5|五]]の2つの底があるので、桁が上がる度に五倍→二倍→五倍→二倍…と交互になり、「十の冪数」と「十の冪数の五倍」が交互に現れる。これは[[そろばん]]と同じく一桁が「一の位」4つと「五の位」1つで構成される方法だが、計算機にも応用されている。

[[時間]]：

[[秒]]、[[六十進法]]、[[分]]、[[六十進法]]、[[時間 (単位)|時]]、[[二十四進法]]、[[日]]、[[七進法]]、[[週]]

[[秒]]、[[六十進法]]、[[分]]、[[六十進法]]、[[時間 (単位)|時]]、[[二十四進法]]、[[日]]、[[三十進法]]、[[月]]、[[十二進法]]、[[年]]、[[十進法]]、[[十年紀]]、[[十進法]]、[[世紀]]、[[十進法]]、[[千年紀]]

[[バビロニア数学|バビロニア]]の[[六十進法]]もそろばんに似た方法で、一桁が「一の位」9つと「十の位」5つで構成されており、整数は十倍→[[6|六]]倍→十倍→六倍と交互になり、小数は[[1/6|六分の一]]→[[1/10|十分の一]]→六分の一→十分の一と交互になる。この方法では、整数第二位は「[[60|六十]]の位」と「[[600|六百]]の位」に分かれ、整数第三位は「[[3600|三千六百]]の位」と「三万六千の位」に分かれ、小数第一位は「六分の一の位」と「六十分の一の位」に分かれ、小数第二位は「[[360|三百六十]]分の一の位」と「三千六百分の一の位」に分かれている。

[[階乗進法]]

これら二・五進法や六十進法のように複数の底が設定されている場合には、" : " などの区切り符号を付ける。例えば、六十進法で十進法を補助とする場合には、58 → 59 → 1:00 → 1:01 → 1:02 …の順に数列が進む。

日本の通貨（硬貨と紙幣）には、昇順で一円→五円→十円→五十円→百円→五百円→千円→五千円→一万円があるので、通貨を一つの単位と見れば、これは前述の二・五進法である。この配列を見ると、一（10<sup>0</sup>）、十（10<sup>1</sup>）、百（10<sup>2</sup>）、千（10<sup>3</sup>）、一万（10<sup>4</sup>）が十の冪数であり、五、五十、五百、五千が「十の冪数の五倍」である。

==英語表記==
{{see also|倍数接頭辞}}

「底 ''N'' 」を英語で、'''base''' '''''N''''' という。特定のNに関しては[[倍数接頭辞]]を基に名称がついているが、名称の付け方は不規則である。通常、接尾辞が -ary である語は、ラテン語の -arius (～の、～に関する) に由来して、「N 個一組」「N を単位とする」「N 個から成る」を意味する語である。一方、接尾辞が -imal である語は、ラテン語の -imus に由来して、「第 N」「N 分の一」を意味する語である。

以下は「底 ''N'' 」、もしくはより明解に「''N'' 個一組」「''N'' を単位とする」「''N'' 個から成る」という意味の'''形容詞'''である。

{{Div col}}
*[[二進法|二]]：binary
*[[三進法|三]]：ternary
*[[四進法|四]]：quaternary
*[[五進法|五]]：quinary
*[[六進法|六]]：senary
*[[七進法|七]]：septenary
*[[八進法|八]]：octonary, octal
*[[九進法|九]]：nonary
*[[十進法|十]]：denary, decimal
*[[十二進法|十二]]：duodenary, duodecimal
*[[十五進法|十五]]：quindenary, quindecimal, pentadecimal
*[[十六進法|十六]]：sedenary, sedecimal, hexadecimal
*[[十八進法|十八]]：octodenary, octodecimal
*[[二十進法|二十]]：vicenary, vigesimal
*[[二十四進法|二十四]]：tetravicenary, tetravigesimal
*[[三十進法|三十]]：tricenary, trigesimal
*[[三十二進法|三十二]]：duoreicenary, duoreigesimal
*[[三十六進法|三十六]]：hexatrecenary, hexatrigesimal
*[[六十進法|六十]]：sexagenary, sexagesimal
{{Div col end}}

これらを使い、'''a''' base-two '''number'''で「二進数」、'''the''' base-two '''numeral system'''で「二進法」を表す名詞となる。
同様に'''a''' binary '''number'''、'''the''' binary '''numeral system'''でもそれぞれ「二進数」、「二進法」を表す名詞となる。他の底も同様。

== ''p''進数 ==
{{main|p進数}}
''N'' 進表記と関連が深い概念として、[[素数]] ''p'' 毎に定まる[[p進数| ''p'' 進数]]というものもある。
名称は本稿で解説している''N'' 進表記の別名である''N'' 進数と同一であるものの、別概念ではある。ただし両者は非常に関連があり、整数の ''p''進表記を（可算）無限桁の自然数の範囲に拡張したものが ''p''進整数で、さらにそこに有限桁の小数部分を許したものが ''p''進数である。<!--***ノート参照***-->ただし「無限桁の整数」（の一部は有理数として再解釈できるもののほとんど）は本稿で扱う普通の数（[[実数]]）とは異なる。

== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{notelist2}}

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite kotobank
  |word=桁
  |encyclopedia=デジタル大辞泉
  |ref={{sfnref|『デジタル大辞泉』【桁】}}
  |accessdate=2023-04-19
}}
* {{cite book|和書
  |first=ヘンリー・S, ジュニア
  |last=ウォーレン
  |title=ハッカーのたのしみ
  |translator=滝沢 徹, 鈴木 貢, 赤池 英夫, 葛 毅, 藤波 順久, 玉井 浩
  |publisher=エスアイビー・アクセス
  |isbn=9784434046681
  |date=2004
  |ref={{sfnref|ウォーレン『ハッカーのたのしみ』|2004}}
}}
* {{cite book|和書
  |last=James
  |first=Glenn
  |last2=James
  |first2=Robert C.
  |translator=一松 信, 伊藤 雄二
  |title=数学辞典
  |edition=普及版
  |publisher=朝倉書店
  |date=2011-04-25
  |isbn=978-4-254-11131-6
  |ref={{sfnref|朝倉『数学辞典』（普及版）|2011}}
}}
* {{cite journal
|first=G. H. 
|last=Hardy
|journal= Bulletin of the American Mathematical Society
|title=An introduction to the theory of numbers
|volume=35
|year=1929
|publisher=American Mathematical Society
|pages=778-818
|doi=10.1090/S0002-9904-1929-04793-1
|issn=1088-9485
|ref=harv
}}

== 関連項目 ==
{{wikiversity|N進法}}
;総合
*[[広義の記数法]]
*[[コンピュータの数値表現]]、[[エンディアン]]
*[[命数法]]
*[[キリバン]]
*[[倍数接頭辞]]：英語で記数法の底となるNを表す'''deci'''mal([[十進法|'''十'''進法]])、'''bi'''nary([[二進法|'''二'''進法]])などの接頭辞deci-、bi-などに関する項目

;通常のN進法
*[[二進法]] (binary)
*[[三進法]] (ternary)
*[[四進法]] (quaternary)
*[[五進法]] (quinary)
*[[六進法]] (senary)
*[[七進法]] (septenary)
*[[八進法]] (octal)
*[[九進法]] (nonary)
*[[十進法]] (decimal)
*[[十一進法]] (undecimal)
*[[十二進法]] (duodecimal, dozenal)
*[[十三進法]] (tridecimal)
*[[十五進法]] (quindecimal)
*[[十六進法]] (hexadecimal)
*[[十八進法]] (octodecimal)
*[[二十進法]] (vigesimal)
*[[二十四進法]]
*[[三十進法]] (trigesimal)
*[[三十二進法]]
*[[三十六進法]]
*[[六十進法]] (sexagesimal)

;特殊なN進法
*[[一進法]]（桁上がりが無い）
*[[二五進法|二・五進法]]（にごしんほう、二十五進法ではない。桁上がりが複数段階）
*[[二進化十進表現]]
*[[六十進法]]：sexagesimal（桁上がりが複数段階）
*[[E進法]]
*[[黄金進法]]
*[[六十四進法]]：[[Base64]]
*[[八十五進法]]：[[Ascii85]]
*[[階乗進法]]
*[[平衡三進法]]
*{{link-en|全単射進法|Bijective numeration}}
*{{link-en|負数進法|Negative base}}
*{{link-en|2i進法|Quater-imaginary base}}
;その他
* [[:en:List of numbers in various languages|各国語の数字の一覧(英語版)]]

{{DEFAULTSORT:くらいとりきすうほう}}
[[Category:数の表現]]
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:位取り記数法|*]]