位相幾何学者の正弦曲線のソースを表示

'''位相幾何学者の正弦曲線'''（いそうきかがくしゃのせいげんきょくせん、{{Lang-en-short|Topologist's sine curve}}）とは、[[区間 (数学)|半開区間]] <math>(0,1]</math> 上の[[関数 (数学)|関数]] <math> y = \sin \frac{1}{x}</math> に[[原点 (数学)|原点]] <math>(0,0)</math> を加えた、[[座標平面]]上の[[曲線]]である。すなわち、位相幾何学者の正弦曲線 <math> T </math> は、以下の式で与えられる。

:<math> T = \left\{  \left( x, \sin \frac{1}{x}  \right ) :  x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\}. </math>

この曲線は、[[数学]]、特に[[位相幾何学]]において、いくつかの興味深い性質を持つ[[位相空間]]の例としてしばしば取り上げられる。

== 曲線の概形 ==
[[Image:Topologist's sine curve.svg|420px|Topologist's Sine Curve]]

<math> x </math> が[[片側極限|右から0に近づく]]につれて <math> \frac{1}{x} </math> は大きくなり、[[正弦波]]の[[周期]]は急速に減少していく。

== 性質 ==
位相幾何学者の正弦曲線 <math> T </math> は[[連結空間|連結]]であるが、[[連結空間#局所連結性|局所連結]]でも[[連結空間#弧状連結|弧状連結]]でもない。 <math> T </math> は[[原点 (数学)|原点]]を含むが、原点と関数のグラフ上の点とを結ぶ[[弧]]を作ることはできないからである。

[[位相空間]] <math> T </math> は[[局所コンパクト空間]]の連続像である。実際、 <math> V </math> を {&minus;1} &cup; (0,&nbsp;1<nowiki>]</nowiki> とし、 <math> V </math> から <math> T </math> への[[写像]] <math> f </math> を

:<math> f ( x ) = \begin{cases}
  (0,0) & :\ x = -1 \\
  (x, \sin \frac{1}{x})    
     & : 0 < \ x \le 1 \end{cases}</math>

と定めればよい。しかし、 <math> T </math> 自身は局所コンパクトではない。

<math> T </math> の[[ルベーグ被覆次元]]は1である。

== 亜種 ==
位相幾何学者の正弦曲線の2つの亜種は、異なる興味深い性質を持つ。

'''閉じた位相幾何学者の正弦曲線'''は、位相幾何学者の正弦曲線に[[集積点]]の集合 <math>\{(0,y)\mid y\in[-1,1]\}</math> を加えたものとして定義される。この空間は[[有界]][[閉集合]]なので[[ハイネ・ボレルの被覆定理]]により[[コンパクト空間|コンパクト]]である。しかし、位相幾何学者の正弦曲線と同様に、連結ではあるが局所連結でも弧状連結でもない。

'''拡張された位相幾何学者の正弦曲線'''は、閉じた位相幾何学者の正弦曲線に集合 <math>\{(x,1) \mid x\in[0,1]\}</math> を加えたものとして定義される。この空間は[[連結空間#弧連結|弧連結]]ではあるが、局所連結ではない。

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=Dover Publications, Inc. | location=Mineola, NY | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | id={{MathSciNet|id=1382863}} | year=1995 | pages=137?138}}
*{{mathworld|urlname=TopologistsSineCurve|title=Topologist's Sine Curve}}

== 関連項目 ==
* [[位相幾何学]]
* [[正弦波]]
* [[位相空間論]]
* [[位相空間]]
* [[極限]]
* [[連結空間]]
* [[連続 (数学)]]

{{DEFAULTSORT:いそうきかかくしやのせいけんきよくせん}}
[[Category:位相空間]]
[[Category:数学に関する記事]]