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'''位相的エントロピー'''（いそうてきエントロピー、{{lang-en-short|topological entropy}}）とは、[[力学系]]の[[不変量]]であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した。<ref>R.L. Adler, A.G. Konheim, M.H. McAndrew, [http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9947(196502)114%3A2%3C309%3ATE%3E2.0.CO%3B2-N Topological Entropy], Transactions of the American Mathematical Society 114 (1965) 309-319</ref>

== 開被覆による定義 ==
アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。

<math>(X, f)</math>をコンパクト離散力学系とせよ。
すなわち、<math>X</math>は[[コンパクト位相空間]]であり、<math>f \colon X \to X</math>は連続写像である。

まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。
<math>\alpha</math>と<math>\beta</math>を<math>X</math>の[[開被覆]]とせよ。
このとき、<math>\alpha</math>と<math>\beta</math>の共通細分<math>\alpha \vee \beta</math>を
::<math>\alpha \vee \beta := \{ A \cap B \mid A \in \alpha, B \in \beta \}</math>
により定義する。
また、
::<math>f^{-1}(\alpha) := \{ f^{-1} (A) \mid A \in \alpha \}</math>
も<math>X</math>の開被覆である。

さて、位相的エントロピーを定義しよう。

<math>\alpha</math>を<math>X</math>の開被覆とせよ。
<math>\alpha</math>の有限部分被覆の濃度の最小値を、<math>N(\alpha)</math>とする。
このとき、開被覆<math>\alpha</math>のエントロピーを
::<math>H(\alpha) := \log_2 N(\alpha)</math>
により定義する。

また、極限
::<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H ( \alpha \vee f^{-1}(\alpha) \vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha) )</math>
は常に存在する。
この極限値を開被覆<math>\alpha</math>に関する連続写像<math>f</math>のエントロピーと呼び、<math>h(f,\alpha)</math>と表す。

このとき、コンパクト離散力学系<math>(X,f)</math>の位相的エントロピー<math>h(f)</math>を
::<math>h(f) := \sup_{\alpha} h(f,\alpha)</math>
により定義する。
ただし、上限は開被覆の全体で考える。

== 参考文献 ==
<references />

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