位相的弦理論のソースを表示

{{要改訳}}
{{弦理論}}
[[理論物理学]]では、'''位相的弦理論'''（いそうてきげんりろん、{{lang-en-short|topological string theory}}）は[[弦理論]]の単純化されたバージョンである。位相的弦理論の[[作用素 (関数解析学)|作用素]]は、ある個数の[[超対称性]]を保存する（物理的に）完全な弦理論の作用素の[[代数]]を表わす。位相的弦理論は通常の弦理論の{{仮リンク|世界面|en|worldsheet}}を位相的にツイストすることで得られる。ツイストされると、作用素は異なるスピンを与えられる．この操作は関連する概念である[[位相場理論]]の構成の類似物である．結局、位相的弦理論は局所的な自由度を持たない。

位相的弦理論には2つの主要なバージョンがあり、ひとつは位相的A-モデルであり、もうひとつは位相的B-モデルである。一般的に位相的弦理論の計算の結果は、完全な弦理論の[[時空]]の量の中の超対称性により保存される値、[[正則]]な量をエンコードしている．位相弦の様々な計算は[[チャーン・サイモンズ理論]]、[[グロモフ・ウィッテン不変量]]、[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]、[[ラングランズプログラム]]やその他、多くのトピックに密接に関連している。

位相的弦理論は、[[エドワード・ウィッテン]]や[[カムラン・ヴァッファ]]などの物理学者により確立され研究されている。
<!---{{string theory}}
In [[theoretical physics]], '''topological string theory''' is a simplified version of [[string theory]]. The [[Operator (mathematics)|operator]]s in topological string theory represent the [[algebra]] of operators in the full string theory that preserve a certain amount of [[supersymmetry]]. Topological string theory is obtained by a topological twist of the [[worldsheet]] description of ordinary string theory: the operators are given different spins. The operation is fully analogous to the construction of [[topological field theory]] which is a related concept. Consequently, there are no local degrees of freedom in topological string theory.

There are two main versions of topological string theory: the topological A-model and the topological B-model. The results of the calculations in topological string theory generically encode all [[holomorphic]] quantities within the full string theory whose values are protected by [[spacetime]] supersymmetry. Various calculations in topological string theory are closely related to [[Chern-Simons theory]], [[Gromov-Witten invariant]]s, [[mirror symmetry (string theory)|mirror symmetry]], [[Langlands program|geometric Langlands Program]], and many other topics.

Topological string theory was established and is studied by physicists such as [[Edward Witten]] and [[Cumrun Vafa]].-->

==許容される時空==
弦理論の基本弦は2-次元曲面である。''N'' = (1,1) [[シグマモデル]]として知られている量子場理論はそれぞれの曲面の上で定義される。この理論は曲面から{{仮リンク|超多様体|en|supermanifold}}への写像からなる。物理的には、超多様体は時空と解釈され、各々の写像は時空の中の弦の[[埋め込み (数学)|埋め込み]]と解釈される。

空間のみの時空だけが位相弦を許容する。古典的には、理論が加える超対称性のペアを満たすような時空を選択する必要があるので、実際は ''N'' = (2,2) シグマモデルとなる。このことは時空が[[ケーラー多様体]]であり、{{仮リンク|H-フラックス|en|Kalb-Ramond field}}がゼロと同一視される場合の例である。しかし、一般的な場合では対象空間が[[ケーラー多様体|一般化されたケーラー多様体]]のときには、H-フラックスは非自明となる。

今まで、空間だけを背景として通常の弦を記述してきた。これらの弦は決してトポロジカルではない。これらを位相的弦理論とするためには、シグマモデルを1988年にエドワード・ウィッテンが考案した{{仮リンク|位相的ツイスト|en|topological twist}}と呼ばれる過程を通して変形する必要がある。重要な見方として、これらの理論は{{仮リンク|R-対称性|en|R-symmetry}}として知られている 2つの U(1) 対称性を持っていることで、[[ローレンツ変換|ローレンツ対称性]]を[[回転対称性]]とR-対称性を組み合わせた変形である。2つのR-対称性のどちらかを使い、2つの異なる理論であるA-モデルとB-モデルとを導くことができる。このツイストの操作の後に、理論の作用が{{仮リンク|BRST量子化|label=BRST|en|BRST formalism}}完全となり、結果として理論が力学を持たなくなるが、代って全ての観測量が構成のトポロジーのみに依存する。そのような理論のことを位相的弦理論という。

古典力学的にはこの操作（ツイスト）の過程はいつでも可能であるが、量子力学的には U(1) 対称性がアノマリーとなるかもしれない。この場合にはツイストはできない。例えば、H = 0 でケーラーの場合には、A-モデルを導くツイストはいつも可能であるが、B-モデルを導くには時空の第一[[チャーン類]]がゼロのときにのみ可能である。このことは時空が[[カラビ・ヤウ多様体|カラビ・ヤウ]]であることを意味する．さらに一般的には、(2,2) 理論は2つの[[複素多様体|複素構造]]を持っていて、B-モデルは{{仮リンク|随伴バンドル|en|associated bundle}}の第一チャーン類の和がゼロとなるときに存在し、他方、A-モデルはチャーン類の差がゼロの時に存在する。ケーラー多様体の場合には、2つの複素構造が同じであり、従って（チャーン類の）差はいつもゼロであるので、A-モデルはいつも存在する。

時空が一般化されたケーラーであるから次元の数は偶数である以外には制限はない。しかしながら球面ではない世界面を持つ全ての相関函数は、時空の複素次元が3でない限りゼロとなるので、複素次元が3である時空が最も興味深い。このことは[[現象論 (素粒子物理学)|現象論]]にとっても幸運なことで、現象論的なモデルでも複素次元が3の空間へコンパクト化された物理的な弦理論をしばしば使う。たとえ同一の空間の上であっても位相的弦理論は物理的弦理論に等価ではないが、ある超対称性を持つ量は2つの理論で一致する。
<!---==Admissible spacetimes==
The fundamental strings of string theory are two-dimensional surfaces. A quantum field theory known as the ''N'' = (1,1) [[sigma model]] is defined on each surface. This theory consist of maps from the surface to a [[supermanifold]]. Physically the supermanifold is interpreted as [[spacetime]] and each map is interpreted as the [[embedding]] of the string in spacetime.

Only special spacetimes admit topological strings. Classically one must choose a spacetime such that the theory respects an additional pair of supersymmetries, and so is in fact an ''N'' = (2,2) sigma model. This will be the case for example if the spacetime is a [[Kähler manifold]] and the [[Kalb-Ramond field|H-flux]] is identically equal to zero, although there are more general cases in which the target is a [[Kähler manifold| generalized Kähler manifold]] and the H-flux is nontrivial.

So far we have described ordinary strings on special backgrounds. These strings are never topological. To make these strings topological, one needs to modify the sigma model via a procedure called a [[topological twist]] which was invented by [[Edward Witten]] in 1988. The central observation is that these theories have two U(1) symmetries known as [[R-symmetry|R-symmetries]], and one may modify the [[Lorentz symmetry]] by mixing [[rotation]]s and R-symmetries. One may use either of the two R-symmetries, leading to two different theories, called the A model and the B model. After this twist the action of the theory is [[BRST formalism|BRST]] exact, and as a result the theory has no dynamics, instead all observables depend on the topology of a configuration. Such theories are known as topological theories.

While classically this procedure is always possible, quantum mechanically the U(1) symmetries may be [[anomaly (physics)|anomalous]]. In this case the twisting is not possible. For example, in the Kahler case with ''H'' = 0 the twist leading to the A-model is always possible but that leading to the B-model is only possible when the first [[Chern class]] of the spacetime vanishes, implying that the spacetime is [[Calabi-Yau]]. More generally (2,2) theories have two [[complex manifold#Implications of complex structure|complex structure]]s and the B model exists when the first Chern classes of [[associated bundle]]s sum to zero whereas the A model exists when the difference of the Chern classes is zero. In the Kahler case the two complex structures are the same and so the difference is always zero, which is why the A model always exists.

There is no restriction on the number of dimensions of spacetime, other than that it must be even because spacetime is generalized Kahler. However all correlation functions with worldsheets that are not spheres vanish unless the complex dimension of the spacetime is three, and so spacetimes with complex dimension three are the most interesting. This is fortunate for [[Phenomenology (particle physics)|phenomenology]], as phenomenological models often use a physical string theory compactified on a 3 complex-dimensional space. The topological string theory is not equivalent to the physical string theory, even on the same space, but certain supersymmetric quantities agree in the two theories.-->

==対象==

===A-モデル===
位相的A-モデルは実次元が6である一般化されたケーラー時空である対象空間から来る。時空がケーラーである場合には、理論は2つの対象を記述する。実次元が2の正則曲線に巻きつく基本弦が存在する。これらの弦の散乱振幅は時空のケーラー形式に依存し、複素構造には依存しない。古典的にはこれらの相関函数は[[コホモロジー環]]によって決定される。[[グロモフ・ウィッテン不変量]]というこれらを補正する量子力学的な{{仮リンク|インスタントン|en|instanton}}効果が存在して、[[量子コホモロジー環]]と呼ばれる変形されたコホモロジーのカップ積を意味する。閉じた弦のA-モデル位相的弦理論は{{仮リンク|ケーラー重力|en|Kahler gravity}}として知られていて、[[ミカエル・バーシャドスキー]]と[[ウラジミール・サドフ]]により [https://arxiv.org/abs/hep-th/9410011  Theory of Kahler Gravity] で導入された。

加えて、時空の[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグランジアン部分多様体]]を巻くD2-ブレーンが存在する。これらは時空の次元の半分の次元の部分多様体で、部分多様体へのケーラー形式の引き戻し(pull back)はゼロとなるような部分多様体である。N 個のD2-ブレーンの上の世界体積理論は、A-モデルの開弦の位相的弦理論であり、U(N) [[チャーン・サイモンズ理論]]である。

位相弦の基本弦はD2-ブレーンに終端を持つ。弦の埋め込みがケーラー形式に依存することに対し、ブレーンの埋め込みは完全に複素構造に依存する。特に、弦がブレーンの上に終端を持つと、交叉はいつでも直交し、ケーラー形式のウェッジ積と正則 3-形式はゼロとなる。物理的な弦では、このことは構成の安定に必要であるが、位相弦の場合はケーラー多様体上のラグラジアンサイクルと正則サイクルの性質である。

[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグラジアン部分多様体]]である（元の多様体の次元の）半分の次元を持つ部分多様体以外に、{{仮リンク|コイソトロピック|en|coisotropic}} と呼ばれるブレーンが様々な次元に存在しているかもしれない。アントン・カプスチンとドミトリィ・オルロフは [https://arxiv.org/abs/hep-th/0109098  Remarks on A-Branes, Mirror Symmetry, and the Fukaya Category] の中で、このことを最初に指摘した。
<!---==Objects==

===A-model===
The topological A-model comes with a target space which is a 6 real-dimensional generalized Kahler spacetime. In the case in which the spacetime is Kahler, the theory describes two objects. There are fundamental strings, which wrap two real-dimensional holomorphic curves. Amplitudes for the scattering of these strings depend only on the Kahler form of the spacetime, and not on the complex structure. Classically these correlation functions are determined by the [[cohomology ring]]. There are quantum mechanical [[instanton]] effects which correct these and yield [[Gromov-Witten invariant]]s, which measure the cup product in a deformed cohomology ring called the [[quantum cohomology]]. The string field theory of the A-model closed strings is known as [[Kahler gravity]], and was introduced by [[Michael Bershadsky]] and [[Vladimir Sadov]] in [https://arxiv.org/abs/hep-th/9410011 Theory of Kahler Gravity].

In addition, there are D2-branes which wrap [[Lagrangian submanifold]]s of spacetime. These are submanifolds whose dimensions are one half that of space time, and such that the pullback of the Kahler form to the submanifold vanishes. The worldvolume theory on a stack of N D2-branes is the string field theory of the open strings of the A-model, which is a U(N) [[Chern-Simons theory]].

The fundamental topological strings may end on the D2-branes. While the embedding of a string depends only on the Kahler form, the embeddings of the branes depends entirely on the complex structure. In particular, when a string ends on a brane the intersection will always be orthogonal, as the wedge product of the Kahler form and the [[holomorphic]] 3-form is zero. In the physical string this is necessary for the stability of the configuration, but here it is a property of Lagrangian and holomorphic cycles on a Kahler manifold.

There may also be [[coisotropic]] branes in various dimensions other than half dimensions of Lagrangian submanifolds. These were first introduced by Anton Kapustin and Dmitri Orlov in [https://arxiv.org/abs/hep-th/0109098 Remarks on A-Branes, Mirror Symmetry, and the Fukaya Category]-->

===B-モデル===
B-モデルも基本弦を持っているが、散乱振幅は完全に複素構造に依存していて、ケーラー構造とは独立である。特に、それらへは世界面のインスタントン効果は影響しないので、しばしば計算が厳密にできる。従って[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]はB-モデルをA-モデルの確率振幅に関係づけ、グロモフ・ウィッテン不変量を計算することが可能となる。B-モデルの閉弦の位相的弦理論は[[小平・スペンサー重力理論]]として知られていて、この理論は、[[ミカエル・バーシャドスキー]]、[[セルジオ・チェコッティ]]、[[大栗博司]]、[[カムラン・ヴァッファ]]により [https://arxiv.org/abs/hep-th/9309140 Kodaira–Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes] で提出された。

B-モデルはまた、D(-1)、D1、D3 と D5-ブレーンからも来て、それらはそれぞれ正則 0、2、4 と 6-次元部分多様体に巻きついている。6-次元部分多様体は時空の連結な成分である。D5-ブレーン上の理論は{{仮リンク|正則チャーン・サイモンズ理論|en|holomorphic Chern-Simons theory}}として知られている。{{仮リンク|ラグラジアン密度|en|Lagrangian density}}は正則 (3,0)-形式を持つ通常のチャーン・サイモンズ理論のラグラジアン密度のウェッジ積であり、カラビ・ヤウの場合には存在している。理論の低次元ブレーンのラグラジアン密度は次元簡約により正則チャーン・サイモンズ理論から得ることができるかもしれない。
<!---===B-model===
The B-model also contains fundamental strings, but their scattering amplitudes depend entirely upon the [[complex manifold#Implications of complex structure|complex structure]] and are independent of the Kahler structure. In particular, they are insensitive to worldsheet instanton effects and so can often be calculated exactly. [[Mirror symmetry (string theory)|Mirror symmetry]] then relates them to A model amplitudes, allowing one to compute Gromov-Witten invariants. The string field theory of the closed strings of the B-model is known as the [[Kodaira–Spencer theory of gravity]] and was developed by [[Michael Bershadsky]], [[Sergio Cecotti]], [[Hirosi Ooguri]] and [[Cumrun Vafa]] in [https://arxiv.org/abs/hep-th/9309140 Kodaira–Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes].

The B-model also comes with D(-1), D1, D3 and D5-branes, which wrap holomorphic 0, 2, 4 and 6-submanifolds respectively. The 6-submanifold is a connected component of the spacetime. The theory on a D5-brane is known as [[holomorphic Chern-Simons theory]]. The [[Lagrangian density]] is the [[wedge product]] of that of ordinary Chern-Simons theory with the holomorphic (3,0)-form, which exists in the Calabi-Yau case. The Lagrangian densities of the theories on the lower-dimensional branes may be obtained from holomorphic Chern-Simons theory by dimensional reductions.-->

===位相的M-理論===
位相的M-理論は、7-次元時空を考えるのであるが、位相弦を含んでいないので、位相的弦理論とは言えない。しかしながら、6-次元多様体の上のサークルバンドル（S<sup>1</sup>バンドル)の上の位相的M-理論は、6-次元多様体上に位相的A-モデルに等価であろうと予想されている。

特に、A-モデルのD2-ブレーンはサークルバンドル退化、より正確に言うと[[カルツァ＝クライン理論|カルツァ＝クライン]][[モノポール]]の点へ持ち上がる。A-モデルの基本弦は位相的M-理論ではM2-ブレーンと名付けられたメンブレーンにリフトする。

特別に興味の持たれている場合は、G<sub>2</sub> ホロノミーと[[カラビ・ヤウ空間]]の上の A-モデルを持つ空間の位相的M-理論である。この場合には、M2-ブレーンはアソシアティブ 3-サイクルに巻きつく。厳密に言うと、位相的 M-理論予想はこの脈絡だけなされるのであるが、{{仮リンク|ナイジェル・ヒッチン|en|Nigel Hitchin}}が [http://arxiv.org/abs/math.dg/0010054.pdf  The Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions] と [http://arxiv.org/abs/math.dg/0107101.pdf  Stable Forms and Special Metrics] で導入した（汎）函数が低エネルギー有効作用の候補を提供している。

これらの函数は [[ヒッチン汎函数]] と呼ばれ、位相弦はヒッチンの[[一般化された複素構造|一般複素構造]]や[[ヒッチン系]]や{{仮リンク|ADHM構成|en|ADHM construction}}などのアイデアと密接な関係を持っている。
<!---===Topological M-theory===
Topological M-theory, which enjoys a seven-dimensional spacetime, is not a topological string theory, as it contains no topological strings. However topological M-theory on a circle bundle over a 6-manifold has been conjectured to be equivalent to the topological A-model on that 6-manifold.

In particular, the D2-branes of the A-model lift to points at which the circle bundle degenerates, or more precisely [[Kaluza-Klein]] [[monopole (mathematics)|monopole]]s. The fundamental strings of the A-model lift to membranes named M2-branes in topological M-theory.

One special case that has attracted much interest is topological M-theory on a space with G<sub>2</sub> holonomy and the A-model on a Calabi-Yau. In this case, the M2-branes wrap associative 3-cycles. Strictly speaking, the topological M-theory conjecture has only been made in this context, as in this case functions introduced by [[Nigel Hitchin]] in [http://arxiv.org/abs/math.dg/0010054.pdf The Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions] and [http://arxiv.org/abs/math.dg/0107101.pdf Stable Forms and Special Metrics] provide a candidate low energy effective action.

These functions are called "[[Hitchin functional]]" and Topological string is closely related to Hitchin's ideas on [[generalized complex structure]], [[Hitchin system]], and [[ADHM construction]] etc..-->

==観測量==
===位相的ツイスト===
2-次元の世界面の理論は、N = (2,2) 超対称性を持つ[[シグマモデル]]であり、ここの (2,2) 超対称性はスーパーチャージと呼ばれる{{仮リンク|超対称性代数|en|Supersymmetry algebra}}のフェルミオン生成子が集まって一つの[[ディラックスピノル]]となる。ディラックスピノルとは各々のカイラリティで2つの{{仮リンク|マヨラナ・ワイルスピノル|en|Majorana–Weyl spinor}}から形成されるスピノルをいう。このシグマモデルは位相的にツイストされていて、位相的ツイストの意味は、超対称性代数の中に現れるローレンツ対称性の生成子が同時に物理的時空を回転させ、またR-対称性の一つの作用を通してフェルミオンの方向を回転させることを意味する。2-次元 N = (2,2) の場の理論の R-対称性群は U(1) × U(1) で、異なる回転因子によりA-モデルとB-モデルをそれぞれツイストすることを意味する。位相弦の理論の位相的にツイストされた構成は、エドワード・ウィッテンにより1988年の論文 [http://www.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?j=CMPHA,118,411 Topological Sigma Models] により導入された。
<!---==Observables==
===The topological twist===
The 2-dimensional worldsheet theory is an ''N'' = (2,2) [[supersymmetry|supersymmetric]] [[sigma model]], the (2,2) supersymmetry means that the fermionic generators of the [[supersymmetry algebra]], called supercharges, may be assembled into a single [[Dirac spinor]], which consists of two [[Majorana–Weyl spinor]]s of each chirality. This sigma model is topologically twisted, which means that the [[Lorentz symmetry]] generators that appear in the supersymmetry algebra simultaneously rotate the physical spacetime and also rotate the fermionic directions via the action of one of the [[R-symmetry|R-symmetries]]. The R-symmetry group of a 2-dimensional ''N'' = (2,2) field theory is U(1) × U(1), twists by the two different factors lead to the A and B models respectively. The topological twisted construction of topological string theories was introduced by [[Edward Witten]] in his 1988 paper [http://www.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?j=CMPHA,118,411 Topological Sigma Models].-->

===相関項は何に依存しているのか？===
[[ストレス・エネルギーテンソル]]はスーパーチャージと他の場の[[反交換子]]として書くことができるかもしれないので、位相的ツイストは位相的理論を導くことになる。ストレス・エネルギーテンソルは[[計量テンソル]]の上の[[作用 (物理学)|作用]]の独立性を測るので、Q-不変作用素の全ての[[相関函数]]の計量独立であることを意味する。この意味で理論がトポロジカルとなる。

さらに一般的には、作用の中の{{仮リンク|D-項|en|D-term}}は超空間の全てを渡る積分として表されるような項であるが、スーパーチャージの反交換子であり、従って位相的な観測量には影響しない。さらに一般的なことをいうと、B-モデルにはフェルミオン <math>\overline\theta^\pm</math> 座標上の積分として書けるどのような項も寄与しなく、一方、A-モデルでは <math>\theta^-</math> もしくは <math>\overline\theta^+</math> の上の積分であるいかなる項も寄与しない。このことは、A-モデルの観測量は{{仮リンク|スーパーポテンシャル|en|superpotential}}とは独立であるが（これはまさに <math>\overline\theta^\pm</math> の上の積分として書くことができる）、しかし{{仮リンク|ツイストされたスーパーポテンシャル|en|twisted superpotential}}を正則に依存する。B-モデルに対してはその逆である。
<!---===What do the correlators depend on?===
The topological twist leads to a topological theory because the [[stress-energy tensor]] may be written as an [[anticommutator]] of a supercharge and another field. As the stress-energy tensor measures the dependence of the [[action (physics)|action]] on the [[metric tensor]], this implies that all [[correlation function]]s of Q-invariant operators are independent of the metric. In this sense, the theory is topological.

More generally, any [[D-term]] in the action, which is any term which may be expressed as an integral over all of [[superspace]], is an anticommutator of a supercharge and so does not affect the topological observables. Yet more generally, in the B model any term which may be written as an integral over the fermionic <math>\overline\theta^\pm</math> coordinates does not contribute, whereas in the A-model any term which is an integral over <math>\theta^-</math> or over <math>\overline\theta^+</math> does not contribute. This implies that A model observables are independent of the [[superpotential]] (as it may be written as an integral over just <math>\overline\theta^\pm</math>) but depend holomorphically on the [[twisted superpotential]], and vice versa for the B model.-->

==双対性==

===位相的弦理論の間の双対性===
多くの双対性が上記の理論を関係付ける。2つの[[ミラー対称性|ミラー多様体]]であるA-モデルとB-モデルは、ミラー対称性によって関連付けられていて、3-次元トーラス上の[[T-双対]]として記述される。同一の多様体の上のA-モデルとB-モデルは[[S-双対]]によって関連付けられていると予想されている。S-双対は[[NS5ブレーン]]の類似でNS-ブレーンと呼ばれる新しいいくつかのブレーンの存在を意味していて、ミラーの相手側の理論ではなく元の理論の中の同じサイクルに巻きつく。また、A-モデルの組み合わせとB-モデルとB-モデルの共役の和は、{{仮リンク|次元簡約|en|dimensional reduction}}の一種によって位相的M-理論に関連している。そこではA-モデルとB-モデルの自由度は同時には観測量として現れることはないが、[[量子力学]]の位置と[[運動量]]の間の関係と同じ関係を持っている。

====正則アノマリー====
低エネルギー有効作用はヒッチンの定式化によって記述されると記載されるので、B-モデルとB-モデルの共役の和は上記の双対性に現れる。このことがB-モデルが[[正則アノマリー]]を持っている理由で、正則アノマリーは複素数的な量が古典的には正則に依存していたが、反正則的な量子補正も受けることを意味する。[https://arxiv.org/abs/hep-th/9306122 Quantum Background Independence in String Theory] でエドワード・ウィッテンは次のように議論している。この構造は複素構造の空間を{{仮リンク|幾何学的量子化|en|geometric quantization}}を見つけた構造と同じ構造であると。一度この空間が量子化されると、半分の次元のみ同時に計算できるので、自由度は半分となる。半分となることは選択に依存していて、これを[[真空偏極]]という。共役モデルは自由度が失われたことを意味するので、B-モデルとB-モデルの共役とのテンソル積を取ると、全ての失われた自由度を回復して、真空偏極の任意の選択への依存性も取り除く。
<!---==Dualities==

===Dualities between TSTs===
A number of dualities relate the above theories. The A-model and B-model on two [[mirror manifold]]s are related by [[mirror symmetry (string theory)|mirror symmetry]], which has been described as a [[T-duality]] on a three-torus. The A-model and B-model on the same manifold are conjectured to be related by [[S-duality]], which implies the existence of several new branes, called NS branes by analogy with the [[NS5-brane]], which wrap the same cycles as the original branes but in the opposite theory. Also a combination of the A-model and a sum of the B-model and its conjugate are related to topological M-theory by a kind of [[dimensional reduction]]. Here the degrees of freedom of the A-model and the B-models appear to not be simultaneously observable, but rather to have a relation similar to that between position and [[momentum]] in [[quantum mechanics]].

====The holomorphic anomaly====
The sum of the B-model and its conjugate appears in the above duality because it is the theory whose low energy effective action is expected to be described by Hitchin's formalism. This is because the B-model suffers from a [[holomorphic anomaly]], which states that the dependence on complex quantities, while classically holomorphic, receives nonholomorphic quantum corrections. In [https://arxiv.org/abs/hep-th/9306122 Quantum Background Independence in String Theory], [[Edward Witten]] argued that this structure is analogous to a structure that one finds [[geometric quantization|geometrically quantizing]] the space of complex structures. Once this space has been quantized, only half of the dimensions simultaneously commute and so the number of degrees of freedom has been halved. This halving depends on an arbitrary choice, called a [[Vacuum polarization|polarization]]. The conjugate model contains the missing degrees of freedom, and so by tensoring the B-model and its conjugate one reobtains all of the missing degrees of freedom and also eliminates the dependence on the arbitrary choice of polarization.-->

===幾何学的な遷移===
[[Dブレーン|D-ブレーン]]を持つ構成を関連付ける多くの双対性があって、開弦によって記述することができ、D-ブレーンとフラックスに置き換えたD-ブレーンやブレーンを失った地平線近くの幾何学で幾何学を置き換えたD-ブレーンとの双対性がある。後者は閉弦により記述される。

おそらく、そのような双対性の第一番目はゴパクマール・バッファの双対性で、{{仮リンク|レジェシュ・ゴパクマール|en|Rajesh Gopakumar}}とカムラン・ヴァッファにより [https://arxiv.org/abs/hep-th/9811131  On the Gauge Theory/Geometry Correspondence] で導入された。ゴパクマール・バッファの双対性は変形された{{仮リンク|コニフォールド|en|conifold}}上のA-モデルないの3-球面(3-sphere)の上の ''N'' 個の D2-ブレーンのスタックを、弦理論の結合定数に ''N'' をかけたものに等しい[[B-場]]を持つ（特異点の）解消されたコニフォールドの上のA-モデル上の閉弦理論へ関係付ける。A-モデルの開弦の理論は ''U(N)'' チャーン・サイモンズ理論により記述され、一方、A-モデルの閉弦理論はケーラー重力により記述される。

コニフォールドは（特異点が）解消されていると言ったが、ブローアップした2-球面(2-sphere)の領域はゼロで、B-場しかない。B
-場は領域の複素数部分であると考えられ、消えはしない。事実、チャーン・サイモンズ理論が位相的であるように、変形された3-球面(3-sphere)の体積をゼロへ縮めると、双対理論の中のように同じ幾何学に到達する。

この双対のミラー双対は、もうひとつ別の双対であり、解消されたコニフォールドの中の2-サイクルに巻きつくブレーン上のB-モデルの中の開弦を、変形されたコニフォールド上のB-モデルの中の閉弦に関連付ける。B-モデルの開弦は、開弦が終端を持つブレーン上の正則チャーン・サイモンズ理論の次元簡約によって記述され、一方、B-モデルの閉弦は小平・スペンサー重力により記述される。
<!---===Geometric transitions===
There are also a number of dualities that relate configurations with D-branes, which are described by open strings, to those with branes the branes replaced by flux and with the geometry described by the near-horizon geometry of the lost branes. The latter are described by closed strings.

Perhaps the first such duality is the Gopakumar-Vafa duality, which was introduced by [[Rajesh Gopakumar]] and [[Cumrun Vafa]] in [https://arxiv.org/abs/hep-th/9811131 On the Gauge Theory/Geometry Correspondence].This relates a stack of N D2-branes on a 3-sphere in the A-model on the deformed [[conifold]] to the closed string theory of the A-model on a resolved conifold with a [[Kalb-Ramond field|B field]] equal to N times the string coupling constant.
The open strings in the A model are described by a U(N) Chern-Simons theory, while the closed string theory on the A-model is described by the Kahler gravity.

Although the conifold is said to be resolved, the area of the blown up two-sphere is zero, it is only the B-field, which is often considered to be the complex part of the area, which is nonvanishing. In fact, as the Chern-Simons theory is topological, one may shrink the volume of the deformed three-sphere to zero and so
arrive at the same geometry as in the dual theory.

The mirror dual of this duality is another duality, which relates open strings in the B model on a brane wrapping the 2-cycle in the resolved conifold to closed strings in the B model on the deformed conifold. Open strings in the B-model are described by dimensional reductions of homolomorphic Chern-Simons theory on the branes on which they end, while closed strings in the B model are described by Kodaira–Spencer gravity.-->

===他の理論との双対性===
====結晶融解、量子の泡、''U(1)'' ゲージ理論====
論文 [https://arxiv.org/abs/hep-th/0309208 Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals] で、[[アンドレイ・オクンコフ]]、{{仮リンク|ニコライ・レシェーツキン|en|Nicolai Reshetikhin}}、[[カムラン・ヴァッファ]]は、量子A-モデルが弦の結合定数の逆数に相当する温度で古典的な融解する[[結晶]]の双対であるとの予想を提出した。この予想は、[https://arxiv.org/abs/hep-th/0312022 Quantum Foam and Topological Strings] の中で{{仮リンク|アメール・イクバル|en|Amer Iqbal}}、[[ニキータ・ネクラソフ]]、アンドレイ・オクンコフ、カムラン・バッファによりさらに理解された。彼らは融解する結晶構成の状態和は弦の結合定数と α'の積のオーダーの[[面積]]を持つ小さな領域でサポートされる時空の[[トポロジー]]の中の変形を渡る経路積分に等価であろうと予想した。

多くの小さな泡で満たされた時空を持つという構成は1964年の[[ジョン・ホイーラー]]まで遡るが、詳細が恐ろしく困難なので弦理論にはめったに現れなかった。しかしこの双対性の中で、筆者たちは位相的にツイストされた ''U(1)'' [[ゲージ理論]]の慣れたことばで量子の泡の力学を語ることが可能となり、そこでの場の強さはA-モデルのケーラー形式に線型な関係を持っている。特に、これが示唆していることは、A-モデルのケーラー形式は量子化されるべきということである。
<!---===Dualities with other theories===
====Crystal melting, quantum foam and U(1) gauge theory====
In the paper [https://arxiv.org/abs/hep-th/0309208 Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals], [[Andrei Okounkov]], [[Nicolai Reshetikhin]] and [[Cumrun Vafa]] conjectured that the quantum A-model is dual to a classical melting [[crystal]] at a [[temperature]] equal to the inverse of the string coupling constant. This conjecture was interpreted in [https://arxiv.org/abs/hep-th/0312022 Quantum Foam and Topological Strings], by [[Amer Iqbal]], [[Nikita Nekrasov]], [[Andrei Okounkov]] and [[Cumrun Vafa]]. They claim that the statistical sum over melting crystal configurations is equivalent to a path integral over changes in spacetime [[topology]] supported in small regions with [[area]] of order the product of the string coupling constant and α'.

Such configurations, with spacetime full of many small bubbles, dates back to [[John Archibald Wheeler]] in 1964, but has rarely appeared in [[string theory]] as it is notoriously difficult to make precise. However in this duality the authors are able to cast the dynamics of the quantum foam in the familiar language of a topologically twisted U(1) [[gauge theory]], whose field strength is linearly related to the Kähler form of the A-model. In particular this suggests that the A-model Kahler form should be quantized.-->

==応用==
A-モデル位相的弦理論の振幅は、4-次元と5-次元の{{仮リンク|サイバーグ・ウィッテン理論|label=N=2超対称性理論|en|Seiberg–Witten gauge theory}}の{{仮リンク|プレポテンシャル|en|prepotential}}の計算に使われる。フラックスやブレーンを持つ位相的B-モデルの振幅は4-次元の N=1 超対称性ゲージ理論の中の{{仮リンク|スーパーポテンシャル|en|superpotential}}の計算に使う。摂動的なA-モデルの計算もまた、5-次元の回転を持つブラックホールの[[BPS状態]]を数える。
<!---==Applications==
A-model topological string theory amplitudes are used to compute [[prepotential]]s{{dn|date=December 2012}} in [[Seiberg-Witten theory|N=2 supersymmetric gauge theories]] in four and five dimensions.  The amplitudes of the topological B-model, with fluxes and or branes, are used to compute [[superpotential]]s in N=1 [[supersymmetry|supersymmetric]] [[gauge theory|gauge theories]] in four dimensions.  Perturbative A model calculations also count BPS states of spinning black holes in five dimensions.-->
<!---==関連項目==
*[[理論物理学]]では、'''位相的弦理論''' は弦理論の単純化されたバージョンである。位相的弦理論の[[作用素 (関数解析学)|作用素]]はある個数の超対称性を保存する（物理的に）完全な弦理論の作用素の代数を表わす。位相的弦理論は通常の弦理論の{{仮リンク|世界面|en|worldsheet}}を位相的にツイストすることで得られる。作用素は異なるスピンを与えられる。この操作は関係する概念である位相場理論の構成の完全な類似物である。結局、位相的弦理論は局所的な自由度を持たない。

位相弦の理論には2つの主要なバージョンがあり、ひとつは位相的A-モデルであり、もうひとつは位相的B-モデルである。一般的に位相弦の理論の計算の結果は、完全な弦理論の時空の超対称性により保存される値である正則な量をエンコードしている。位相弦の様々な計算はチャーン・サイモンズ理論、[[グロモフ・ウィッテン不変量]]、ミラー対称性、ラングランズプログラムやその他、多くのトピックに密接に関連している。

位相的弦理論は、エドワード・ウィッテンやカムラン・バッファなどの物理学者により確立され研究されている。-->

==関連項目==
*[[量子トポロジー]]
*[[位相欠陥]]
*[[量子エントロピー]]
*[[トポロジカル秩序]]
*[[位相的場の理論]]
*[[位相的量子数]]
*[[M理論|M-理論]]

==参考文献==
*[https://arxiv.org/abs/hep-th/0410178 Topological Strings and their Physical Applications] by [[Andrew Neitzke]] and [[:en:Cumrun Vafa|Cumrun Vafa]].
*[https://arxiv.org/abs/hep-th/0411073 Topological M-theory as Unification of Form Theories of Gravity] by [[:en:Robbert Dijkgraaf|Robbert Dijkgraaf]], [[:en:Sergei Gukov|Sergei Gukov]], Andrew Neitzke and Cumrun Vafa.
*[http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/auththeme3.py?level=1&index1=-209255&skip=0 Topological string theory on arxiv.org]
*{{cite web
|last =Naqvi
|first =Asad
|authorlink =:en:Asad Naqvi
|coauthors =
|title =Topological Strings
|work =Asad Naqvi - [[:en:Swansea University|University of Wales, Swansea]], [[イギリス|United Kingdom]]
|publisher =[[:en:National Center for Physics|National Center for Physics]]
|date =2006
|url =http://www.ncp.edu.pk/docs/12th_rgdocs/asad-naqvi.pdf
|format =PDF-[[Microsoft PowerPoint]]
|doi =
|accessdate =2010-10-19 }}

{{DEFAULTSORT:いそうてきげんりろん}}
[[Category:位相場理論]]
[[Category:弦理論]]