位相空間の圏のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[圏論]]における'''位相空間の圏'''（いそうくうかんのけん、{{lang-en-short|''category of topological spaces''}}）{{math|'''Top'''}} あるいは <math>\mathcal{T}\!\!op</math> は、[[位相空間]]を[[対象 (圏論)|対象]]とし、[[連続写像]]を[[射 (圏論)|射]]とする圏を言う。ただし、しばしば対象や射を特定のものに制限したり適当なものに取り換えたりするので注意が必要である（例えば、対象はしばしば{{仮リンク|コンパクト生成空間|label=コンパクト生成|en|compactly generated space}}と仮定する）。これが圏を成すことは、二つの連続写像の[[写像の合成|合成]]がふたたび連続となることによる。圏 {{math|'''Top'''}} および[[位相不変量|位相的性質]]を[[圏論]]の手法を用いて研究する分野を'''圏論的位相空間論''' (''categorical topology'') と言う。

'''注意''': 記号 {{math|'''Top'''}} を[[位相多様体]]と連続写像の圏の意味で用いる文献があるので注意が必要である。必要ならば {{math|'''TopSp'''}} や {{math|'''TopMan'''}} などと書けば混乱は避けられる。

== 具体圏として ==
よく知られた圏の御多分に漏れず、位相空間の圏 {{math|'''Top'''}} は{{仮リンク|具体圏|en|concrete category}}である（すなわち、対象が[[集合]]に構造（今の場合[[位相空間|位相]]）を入れたものによって与えられ、なおかつ射はその構造を保つ[[写像]]となっている）。従って、[[集合の圏]]への自然な{{仮リンク|忘却函手|en|forgetful functor}} {{math|''U'': '''Top''' &rarr; '''Set'''}} が、各位相空間にその台集合を対応させ、各連続写像に台となる[[写像]]を対応させるものとして存在する。

この忘却函手 {{mvar|U}} は[[左随伴]] {{math|''D'': '''Set''' &rarr; '''Top'''}} として各集合に[[離散位相]]を入れる（このとき任意の写像は離散空間上定義されることから自動的に連続になる）函手を持ち、また[[右随伴]] {{math|''I'': '''Set''' &rarr; '''Top'''}} は各集合の[[密着位相]]を入れる（このとき密着空間値の写像は必ず連続になる）函手で与えられる。実は両函手とも {{mvar|U}} の右逆である（すなわち {{mvar|UD}} と {{mvar|UI}} はともに {{math|'''Set'''}} の[[恒等函手]]に等しい）。さらに言えば、離散空間の間の写像あるいは密着空間の間の写像は必ず連続となるから、両函手とも {{math|'''Set'''}} から {{math|'''Top'''}} への{{仮リンク|充満埋め込み|en|full embedding}}を与える。

具体圏としての {{math|'''Top'''}} は'''ファイバー完備'''、すなわち与えられた集合 {{mvar|X}} 上に可能な{{仮リンク|位相の束|en|lattice of topologies|label=位相すべての成す圏}}（{{mvar|X}} の上にある {{mvar|U}} のファイバーと呼ぶ）は[[包含関係]]を順序として[[完備束]]を成す。このファイバーの[[最大元]]は {{mvar|X}} 上の離散位相であり、[[最小元]]は密着位相である。

具体圏としての {{math|'''Top'''}} は{{仮リンク|位相圏|en|topological category}}と呼ばれるところのもののモデルである。位相圏は任意の構造化された始域 (structured source) {{math|(''X'' → ''UA{{sub|i}}''){{sub|''I''}}}} が一意な始持ち上げ (initial lift) {{math|(''A'' →  ''A{{sub|i}}''){{sub|''I''}}}} を持つという事実によって特徴づけられる。{{math|'''Top'''}} において始持ち上げは、始域に{{仮リンク|始位相|en|initial topology}}を入れることで得られる。位相圏は多くの性質（例えばファイバー完備、離散函手および密着函手、極限の一意な持ち上げなど）を {{math|'''Top'''}} と共有している。

== 極限と余極限 ==
位相空間の圏 {{math|'''Top'''}} は[[完備圏|完備かつ余完備]]、すなわち任意の小さい[[極限 (圏論)|極限と余極限]]がともに {{math|'''Top'''}} 内に存在する。実は忘却函手 {{math|''U'': '''Top''' → '''Set'''}} は極限および余極限の何れにも一意に持ち上げられ、それらを保つ。従って {{math|'''Top'''}} における（余）極限は {{math|'''Set'''}} における（余）極限に適当な位相を入れることによって得られる。

具体的には、{{mvar|F}} は {{math|'''Top'''}} における[[図式 (圏論)|図式]]として、{{math|(''L'', ''φ'')}} が {{math|'''Set'''}} に落とした図式 {{mvar|UF}} の極限であるとき、{{math|'''Top'''}} において対応する {{mvar|F}} の極限は {{math|(''L'', ''φ'')}} に{{仮リンク|始位相|en|initial topology}} を入れることで得られる。これと双対的に、{{math|'''Top'''}} における余極限を得るには、それに対応する {{math|'''Set'''}} の余極限に{{仮リンク|終位相|en|final topology}}を入れればよい。

多くの代数学的な圏と異なり、忘却函手 {{math|''U'': '''Top''' → '''Set'''}} は極限を創出したり反映したりしない。これは典型的には {{math|'''Set'''}} における普遍{{仮リンク|錐 (圏論)|label=錐|en|cone (category theory)}}を被覆する {{math|'''Top'''}} の非普遍錐があることによる。

{{math|'''Top'''}} における極限および余極限の例を挙げる:

* 位相空間と見なした[[空集合]]は {{math|'''Top'''}} の[[始対象]]であり、任意の[[単集合]]は[[終対象]]である。ゆえに {{math|'''Top'''}} には[[零対象]]は存在しない。
* {{math|'''Top'''}} における[[積 (圏論)|圏論的直積]]は、台集合の[[デカルト積|集合論的直積]]に[[積位相|直積位相]]を入れたもので与えられる。[[余積|圏論的直和]]は位相空間の[[非交和 (位相空間論)|位相的直和]]で与えられる。
* {{math|'''Top'''}} における射の対の[[等化子]]は、集合論的な等化子に[[相対位相]]を入れたもので与えられる。双対的に、[[余等化子]]は集合論的余等化子に[[商位相]]を入れたもので与えられる。
* {{math|'''Top'''}} における[[直極限]]および[[逆極限]]は、それぞれ集合論的な直極限および逆極限にそれぞれ終位相及び始位相を入れればよい。
* {{仮リンク|接着空間|en|Adjunction space}} は {{math|'''Top'''}} における{{仮リンク|押し出し (圏論)|en|pushout (category theory)|label=押出し}}の例である。

== その他の性質 ==
* {{math|'''Top'''}} における[[モノ射|単型射]]（圏論的単射）は[[単射]]連続写像で与えられ、[[エピ射|全型射]]（圏論的全射）は[[全射]]連続写像、[[同型射]]は[[同相写像]]で与えられる（双射連続写像は双型射だが同型射でないことに注意）。
* 極値的単型射 (extremal monomorphism) は（[[同型を除いて]]）[[部分位相空間]]の埋め込みであり、任意の極値的単型射は正則射 (regular morphism) である。
* 極値的全型射 (extremal epimorphism) は（本質的に）[[商写像]]であり、任意の極値的全型射は正則射である。
* 分裂単型射は（本質的に）{{仮リンク|引き込み (数学)|en|retract|label=引込み}}の全空間 (ambient space) への包含写像である。
* 分裂全型射は（[[同型を除いて]]）空間からその引込みの空間への連続な上への写像（集合論的全射）である。
* {{math|'''Top'''}} には[[零射]]は存在せず、特に {{math|'''Top'''}} は[[前加法圏]]とならない。
* {{math|'''Top'''}} は[[デカルト閉圏]]でない（したがって[[トポス (数学)|トポス]]にもならない）。これは任意の位相空間に対する[[指数対象]]がないことによる。

== 他の圏との関係性 ==
* [[点付き位相空間]] {{math|'''Top'''{{sub|•}}}} は {{math|'''Top'''}} 上の{{仮リンク|余スライス圏|en|coslice category}}である。 
* {{仮リンク|位相空間のホモトピー圏|en|homotopy category of topological spaces}} {{math|'''hTop'''}} は位相空間を対象とし、連続写像の[[ホモトピー同値|ホモトピー同値類]]を射とする圏である。これは {{math|'''Top'''}} の{{仮リンク|商圏 (圏論)|label=商圏|en|quotient category}}になる。先の例と同様に点付きホモトピー圏 {{math|'''hTop'''{{sub|•}}}} も考えられる。
* {{math|'''Top'''}} は重要な[[充満部分圏]]として[[ハウスドルフ空間]]の圏 {{math|'''Haus'''}} を含む。この部分圏で付与される構造はより多くの全型射を許すようにするものである。実は、この部分圏における全型射はちょうど、その[[像 (数学)|像]]が終域において[[稠密部分集合|稠密]]となるような射になっている。つまりこの圏における全型射（圏論的全射）は上への写像（集合論的全射）となることを要しない。

== 参考文献 ==
* Herrlich, Horst: ''Topologische Reflexionen und Coreflexionen''. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
* Herrlich, Horst: ''Categorical topology 1971–1981''. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp.&nbsp;279–383.
* Herrlich, Horst & Strecker, George E.: Categorical Topology – its origins, as exemplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp.&nbsp;255–341.
* Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf ''Abstract and Concrete Categories''] (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).

== 外部リンク ==
* {{nlab|id=Top}}

{{圏論}}

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