位相空間論のソースを表示

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'''位相空間論'''（いそうくうかんろん、{{lang-en-short|general topology}}）とは、[[位相空間]]の性質やその上に定義される[[数学的構造|構造]]（位相的構造）を研究対象とする[[数学]]の分野である。一般トポロジー、点集合トポロジー（{{lang|en|point-set topology}}）などの名称で言及されることもある。

[[位相幾何学]]の多くの分野が[[多様体]]や[[単体的複体]]のような幾何学的対象の位相的構造を研究するのとは対照的に、[[病的な (数学)|病的な]]ものも含めた一般の位相空間を扱い、包括的な理論を形成するのが位相空間論の主目的である。

== 基本的な定義 ==
'''位相'''、あるいは'''位相空間'''は[[集合]] ''X'' とその開集合系とも呼ばれる[[部分集合]]の[[族 (数学)|族]] Σ の組 (''X'', Σ) として与えられる。ここで、Σ の元は ''X'' の[[開集合]]と呼ばれ、三つの[[公理]]
# 開集合の（任意濃度の）[[合併 (集合論)|合併]]もまた開集合である。
# 開集合の有限個の[[共通部分 (数学)|交叉]]もまた開集合である。
# ''X'' および[[空集合]] &empty; は開集合である。
を満足する。

== 歴史 ==
一般位相の研究はいくつかの流れを取りまとめる形で始まった。主なものは
* [[実数直線]]の部分集合についての詳細研究、かつて「点集合に関する位相幾何学」{{lang|en|(''topology of point sets'')}} と呼ばれていたもの、
* [[多様体]]概念の導入、
* [[距離空間]]論、特に[[ノルム線型空間]]の研究（後の[[函数解析学]]）
などが挙げられる。分野としての位相空間論は1940年頃には成立しており、それにより例えば[[連続写像|連続性]]に関する直観の殆どを、数学の各分野で応用することができるようなものとして、技術的にふさわしい形で捉えることができるようになった。

== 研究対象 ==
もう少し詳細に、位相空間論における基本概念の定義とそれらに関する定理やその証明について述べる。基本概念としては

* [[開集合]]と[[閉集合]]、
* [[開核]]と[[閉包 (位相空間論)|閉包]]、
* [[近傍 (位相空間論)|近傍]]と[[近縁 (位相空間論)|近縁]]、
* [[コンパクト空間|コンパクト性]]と[[連結空間|連結性]]、
* [[連続写像]]、
* [[数列の収斂]]、[[有向点族]]（ネット）と[[フィルター (数学)|フィルター]]、
* 種々の[[分離公理]]、
* [[可算公理]]（[[第一可算公理]]/[[第二可算公理]]）
などがある。

他にもより進んだ概念が現れるが、数学のほかの分野への言及なしに、これらの基本概念に直接的に関係するのがふつうである。[[集合論的位相幾何学]] (set-theoric topology) は、そういった概念が[[集合論]]に実質的な関係を持つのはいつかというような問題の研究がつきものである。

位相幾何学のほかの主要な分野には[[代数的位相幾何学]]、[[幾何的位相幾何学]]、[[微分位相幾何学]]などがあるが、一般位相幾何学はその名称が示唆するように、それらの分野に対する共通の基盤を与えるものである。

点集合位相幾何学の重要な変形版が[[ストーン双対性|非点集合的位相幾何学]] {{lang|en|(pointless topology, point-free topology)}} で、これは点集合を基礎とする点集合位相幾何学と異なり、[[束 (束論)|束]]や特に[[ハイティング代数|枠と場所]]の[[圏論|圏論的]]研究を通じた位相的概念の構築を行うものである。

== 位相空間論の記号表 ==
以下、''X''、''Y'' などは集合を表す。

{| class="wikitable" style="width:90%"
! style="width:15%" |記号
!意味
! style="width:60%" |解説
|-
!<math>\mathcal{O},\ \mathfrak{O}</math>
|[[開集合]]系
|''X'' 上に定まる開集合系を表す。開集合系によって位相を定める文脈では ''X'' を <math>(X,\mathcal{O})</math> などとも書く。
|-
!<math>\mathcal{C},\ \mathfrak{C}</math>
|[[閉集合]]系
|''X'' 上に定まる閉集合系を表す。閉集合系によって位相を定める文脈では ''X'' を <math>(X,\mathcal{C})</math> などとも書く。
|-
!<math>B(x,r),\ B_r(x),\ B_X(x,r)</math>
|開[[球体]]
|<math>x \in X</math> を中心とする半径 <math>r>0</math> の開球体を表す。どの集合の位相で考えているかを明記するときは <math>B_X(x,r)</math> のように書く。
|-
!<math>\text{Int}\, X,\ X^\circ</math>
|[[内部 (位相空間論)|内部]]、開核
|''X'' の内部 (interior) を表す。
|-
!<math>X^-,\ \overline{X},\ \text{Cl}\, X</math>
|[[閉包 (位相空間論)|閉包]]
|''X'' の閉包 (closure) を表す。
|-
!<math>\partial X</math>
|[[境界 (位相空間論)|境界]]
|''X'' の境界 (frontier, boundary) を表す。
|-
!<math>\mathcal{O}_Y</math>
|[[相対位相]]
|位相空間 <math>(X,\mathcal{O})</math> と <math>Y \subset X</math> に対して、<math>\mathcal{O}_Y</math> は相対位相を表す。
|-
|}
== 関連項目 ==
{{wikibooks|位相空間論|位相空間論}}
<!--
*[[位相空間論の用語一覧]]
*[[位相空間論の話題一覧]]-->
*[[位相空間の圏]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月|section=1}}
位相空間論の標準的な教科書として：
* [[ニコラ・ブルバキ|Bourbaki]]; <cite>Topologie Générale</cite> (<cite>General Topology</cite>); ISBN 0-387-19374-X, 日本語訳: {{Cite book|和書|year=1968-1969|title=位相 1-7|translator=森毅、清水達雄ら|series=ブルバキ数学原論|publisher=東京図書}}
* [[ジョン・リロイ・ケリー|John L. Kelley]]; <cite>General Topology</cite>; ISBN 0-387-90125-6, 日本語訳: {{cite book|和書|translator=児玉之宏|title=位相空間論|series=数学叢書|publisher=吉岡書店|year=1968}}
* [[James Munkres]]; <cite>Topology</cite>; ISBN 0-13-181629-2
* [[Paul L. Shick]]; <cite>Topology: Point-Set and Geometric</cite>; ISBN 0-470-09605-5
* [[Ryszard Engelking]]; <cite>General Topology</cite>; ISBN 3-88538-006-4
* {{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=リーン・アーサー・スティーン | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | id={{MathSciNet|id=507446}} | year=1995}}
* O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev; [http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=mbk-54 <cite>Elementary Topology: Textbook in Problems</cite>]; ISBN 978-0-8218-4506-6

The [[arXiv]] subject code is [https://arxiv.org/list/math.GN/recent math.GN].

{{Topology}}
{{DEFAULTSORT:いそうくうかんろん}}
[[Category:位相空間論|*]]
[[Category:数学に関する記事]]