位相群の直和のソースを表示

[[数学]]において[[位相群]] {{mvar|G}} が二つの部分群 {{math|''H''{{sub|1}}, ''H''{{sub|2}}}} の'''位相的直和''' (''topological direct sum''<ref>{{citation|first1=Edwin |last1=Hewitt |first2=Kenneth A. |last2=Ross|title= Abstract Harmonic Analysis I: Structure of topological groups, integration theory, group representations|edition= 2nd |series= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | volume= 115| publisher= Springer |location= Berlin |year= 1979 |mr= 0551496}} (81k:43001)</ref>) であるとは、写像 <math display="block">\begin{align}
H_1\times H_2 &\longrightarrow G \\
(h_1,h_2)     &\longmapsto     h_1 h_2
\end{align}
</math> が位相群の同型であるときに言う。より一般に、{{mvar|G}} がその[[部分群]]の有限族 {{math|1=''H{{sub|i}}'' (''i'' = 1, …, ''n'')}} の（位相的）直和であることは、位相群の同型 <math display="block">\begin{align}
\prod^n_{i=1} H_i&\longrightarrow G \\
(h_i)_{i\in I}    &\longmapsto     h_1 h_2 \cdots h_n
\end{align}
</math> の存在によって定められる。

; 注: 位相群 {{mvar|G}} がその部分群族 {{mvar|H{{sub|i}}}} の位相的直和となるならば、{{mvar|G}} は特に抽象群として（つまり位相を考えない意味で）{{mvar|G}} の部分群族 {{mvar|H{{sub|i}}}} の通常の[[群の直和|直和]]ともなっていることに注意すべきである。

== 位相的直和因子 ==
与えられた位相群 {{mvar|G}} に対し、その部分群 {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の'''位相的直和因子''' (''topological direct summand'') であるとは、適当な部分群 {{math|''K'' ≤ ''G''}} を選んで {{mvar|G}} が部分群 {{mvar|H, K}} の直和となるようにできることを言う。)

部分群 {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の位相的直和因子であるための必要十分条件は、{{ill2|位相群の拡大|en|Extension of a topological group}} <math display="block">0 \to H\stackrel{i}{{}\to{}} G\stackrel{\pi}{{}\to{}} G/H\to 0</math> が分裂することである（このとき、{{mvar|H}} は {{mvar|G}} から位相的に分裂する (''split topologically'' from {{mvar|G}}) と言う）。ここに、{{mvar|i}} は[[包含写像|自然な埋め込み]]、{{mvar|π}} は[[商写像|自然な射影]]である。

== 例 ==
* {{mvar|G}} が[[円周群|単位円]] {{mathbf|T}} を部分群として含む[[局所コンパクトアーベル群]]であるとき、{{mathbf|T}} は {{mvar|G}} の位相的直和因子である。同様の主張が[[実数直線]] {{mathbf|R}} に関しても成り立つ<ref>{{citation|last=Armacost |first= David L.|title= The structure of locally compact abelian groups. |series= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics|volume= 68|publisher= Marcel Dekker, Inc.|location= New York|year= 1981|pages= vii+154 |isbn=0-8247-1507-1| mr=0637201}} (83h:22010)</ref>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:いそうくんのちよくわ}}
[[Category:位相群]]
[[Category:数学に関する記事]]