位置のソースを表示

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'''位置'''（いち、{{lang-en|position}}）とは、[[物体]]が[[空間]]の中のどこにあるかを表す[[物理量]]である。
==概要==
[[原点 (数学)|原点]]Oから物体の位置Pへの[[空間ベクトル|ベクトル]]（'''位置ベクトル''' (position vector)）で表される。

通常は '''x''', '''r''', '''s''' で表され、O から P までの各軸に沿った直線距離に対応する<ref>{{cite book|title=University Physics|author=H.D. Young, R.A. Freedman|year=2008|edition=12th|publisher=Addison-Wesley (Pearson International)|isbn=0-321-50130-6}}</ref>。

:<math>\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}</math>

「位置ベクトル」という用語は、主に[[微分幾何学]]、[[力学]]、時には[[ベクトル解析]]の分野で使用される。

[[2次元]]または[[3次元]]空間で使用されることが多いが、任意の[[次元]]数の[[ユークリッド空間]]に容易に一般化することができる<ref name="phys_keller">Keller, F. J, Gettys, W. E. et al. (1993), p 28–29</ref>。

== 定義 ==
=== 3次元 ===
[[File:Space curve.svg|thumb|3次元の空間[[曲線]]。位置ベクトル '''r''' はスカラー量 ''t'' によってパラメータ化される。'''r''' = '''a''' では、赤い線は曲線の[[接線]]であり、青い面は曲線の[[法線]]である。]]

[[3次元]]では、任意の3次元座標とそれに対応する基底ベクトルを使用して、空間内の点の位置を定義することができる。位置の座標の表し方を[[座標系]]という。よく使われるのは[[直交座標系]]であり、ほかに[[球面座標系]]や[[円柱座標系]]が使用されることもある。

:<math> \begin{align} 
 \mathbf{r}(t) 
 & \equiv \mathbf{r}\left(x,y,z\right) \equiv x(t)\mathbf{\hat{e}}_x + y(t)\mathbf{\hat{e}}_y + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z  \\
 & \equiv \mathbf{r}\left(r,\theta,\phi\right) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r(\theta(t), \phi(t)) \\
 & \equiv \mathbf{r}\left(r,\theta,z\right) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r(\theta(t)) + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z \\
 & \,\!\cdots \\
\end{align}</math>

ここで ''t'' は[[媒介変数]]である。

これらの異なる座標および対応する基底ベクトルは、同じ位置ベクトルを表す。より一般化した{{仮リンク|曲線座標|en|curvilinear coordinates}}を代わりに使用することができ、[[連続体力学]]や[[一般相対性理論]]で使われる（後者の場合、追加の[[時間]]座標を必要とする）。

=== ''n'' 次元 ===
[[線形代数]]では、''n'' 次元の位置ベクトルの抽象化が可能である。位置ベクトルは、[[基底 (線型代数学)|基底]]ベクトルの線形結合として表すことができる<ref>{{cite book |title=Mathematical methods for physics and engineering |first1=K.F. |last1=Riley |first2=M.P.|last2=Hobson |first3=S.J. |last3=Bence | publisher=Cambridge University Press |year=2010 |isbn=978-0-521-86153-3}}</ref><ref>{{cite book |title=Linear Algebra|first1=S. |last1=Lipschutz|first2=M.|last2=Lipson| publisher=McGraw Hill|year=2009|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref>。

:<math>\mathbf{r} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i = x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 + \dotsb + x_n \mathbf{e}_n </math>

全ての位置ベクトルの[[集合]]は、[[位置空間]]（要素が位置ベクトルである[[ベクトル空間]]）を形成する。空間内の別の位置ベクトルを得るために、位置を加算（ベクトル加算）し、長さを計測（{{仮リンク|スカラー乗算|en|scalar multiplication}}）することができる。それぞれの ''x<sub>i</sub>''  (''i'' = 1, 2, …, ''n'') は任意の値であり、値の集合は空間内の点を定義するので、「空間」の概念は直感的である。

位置空間の[[ハメル次元|次元]]は ''n'' である（dim(''R'') = ''n'' とも示される）。基底ベクトル '''e'''<sub>''i''</sub> に対するベクトル '''r''' の[[座標]]は ''x''<sub>''i''</sub> である。座標のベクトルは、座標ベクトルまたは ''n''-[[タプル]] (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'')を形成する。

各座標 ''x<sub>i</sub>'' は、[[媒介変数]] ''t'' で[[パラメトリック方程式|パラメータ化]]することができる。1つのパラメータ ''x<sub>i</sub>''(''t'') は湾曲1次元経路を記述し、2つのパラメータ ''x<sub>i</sub>''(''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub>) は湾曲2次元表面を表し、3つのパラメータ ''x<sub>i</sub>''(''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub>, ''t''<sub>3</sub>) は3次元空間を表す。

基底集合 ''B'' = {'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>,  …, '''e'''<sub>''n''</sub>} の[[線型包]]は、span(''B'') = ''R'' と表される位置空間 ''R'' に等しい。 

== 応用 ==
=== 微分幾何学 ===
{{main|微分幾何学}}

位置ベクトルフィールドは、連続した微分可能な空間曲線を記述するために使用される。この場合、独立パラメータは時間でなくても、曲線の円弧長などでもかまわない。

=== 力学 ===
{{main|ニュートン力学|解析力学|運動方程式}}

位置ベクトル '''r'''(''t'') は、ある時間 ''t'' における[[点粒子]]の位置を表す。 

== 位置の派生 ==
[[File:Kinematics.svg|thumb|古典粒子の運動に関する量: 質量 ''m'' 、位置 '''r''' 、速度 '''v''' 、加速度 '''a''']]

時間 ''t'' の関数である位置ベクトル '''r''' に対して、[[時間微分]]は ''t'' に関して計算することができる。これらの派生は、[[運動 (物理学)|運動学]]、[[制御理論]]、[[工学]]および他の科学の研究において共通の有用性を有する。

;[[速度]]
:<math>\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}</math>

ここで、 d'''r''' は[[変位]]の[[微分小]]である。

;[[加速度]]
:<math>\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}</math>

;[[躍度]]
:<math>\mathbf{j}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{v}}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^3}</math>

位置の1階微分、2階微分、3階微分に対するこれらの名前は、基本的な運動学で一般的に使用される<ref name='stewart'>{{cite book
|last= Stewart
|first= James
|authorlink=James Stewart (mathematician)
|title= [[Calculus]]
|publisher= Brooks/Cole
|year= 2001
|edition= 2nd
|isbn= 0-534-37718-1
|chapter= §2.8 - The Derivative As A Function
}}
</ref>。拡張によって、高次導関数は同様の方法で計算することができる。これらの高次導関数の研究は、元の変位関数の近似を改善することができる。 このようなより高次の項は、変位関数を[[テイラー展開|無限の数列の和]]として正確に表現するために必要であり、工学および物理学におけるいくつかの解析技術を可能にする。

== 変位ベクトルとの関係 ==
[[変位ベクトル]]は、与えられた距離にわたって所与の方向に空間点を一様に平行移動させる「動作」として定義することができる。従って、変位ベクトルの加算は、これらの変位動作の構成およびスカラー乗算を、距離の尺度として表現する。これを念頭に置いて、空間内の点の位置ベクトルを、ある点をその点に写像する変位ベクトルとして定義することができる。従って、位置ベクトルは空間の原点の選択に依存し、変位ベクトルは初期点の選択に依存することに留意されたい。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 参考文献 ==
* Keller, F. J, Gettys, W. E. et al. (1993). "Physics: Classical and modern" 2nd ed. McGraw Hill Publishing

== 関連項目 ==
{{Wiktionary|位置}}
* [[アフィン空間]]
* [[6DoF]] (six degrees of freedom)
* {{仮リンク|線素|en|Line element}}
* {{仮リンク|パラメトリック曲面|en|Parametric surface}}
* [[位置エネルギー]]
* [[変位]]

{{古典力学のSI単位}}

{{DEFAULTSORT:いち}}
[[Category:ベクトル]]
[[Category:物理量]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:空間]]