位置演算子のソースを表示

[[量子力学]]において'''位置演算子'''（いちえんざんし、{{lang-en-short|position operator}}）とは、[[亜原子粒子|粒子]]の位置の[[オブザーバブル]]を表す[[演算子 (物理学)|演算子]]である。
位置演算子の[[固有値]]は、粒子の[[位置ベクトル]]となる<ref>{{cite book |title=Quanta: A handbook of concepts|first1=P.W.  |last1=Atkins|publisher=Oxford University Press|year=1974|isbn=0-19-855493-1}}</ref>。

==序論==
1次元では、波動関数の絶対値の二乗 {{math|{{abs|''&psi;''}}{{sup|2}} {{=}} ''&psi;''{{sup|&lowast;}}''&psi;''}} は、位置 {{mvar|x}} での粒子を見つける[[確率振幅|確率密度]]を表す。
よって粒子の位置の測定の[[期待値]]は、
:<math> \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi|^2 dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^* x \psi dx </math>
その結果、位置に対応する量子力学的な[[演算子 (物理学)|演算子]]は {{math|{{hat|''x''}}}} で、
:<math> \hat{x} \psi(x) = x\psi(x) </math>
左辺の {{mvar|x}} の上にある[[サーカムフレックス]]&circ;は演算子を表し、
この方程式は「いかなる関数 {{math|''&psi;''(''x'')}} でも演算子 {{mvar|x}} が作用した結果は {{math|''&psi;''(''x'')}} の {{mvar|x}} 倍に等しい」、またはもっと単純に「演算子 {{mvar|x}} はいかなる関数 {{math|''&psi;''(''x'')}} でも {{mvar|x}} 倍する」ということができる。

==固有状態==
[[位置空間]]で表された位置演算子の[[固有関数]]は[[ディラックのデルタ関数]]である。
これを見るために、{{mvar|&psi;}} は位置演算子の固有値 {{math|''x''{{sub|0}}}} に対応する固有状態であると仮定する。
位置座標での固有値方程式は、位置表示では {{math|{{hat|''x''}}}} は単純に関数を {{mvar|x}} 倍することを考えると、次のように書ける。
:<math> \hat{x}\psi(x) = x  \psi(x) = x_0  \psi(x) </math>
{{math|''x''{{sub|0}}}} は定数であるが {{mvar|x}} は変数であるため、{{mvar|&psi;}} は {{math|''x'' {{=}} ''x''{{sub|0}}}} 以外ではゼロでなければならない。
この規格化された解は、
:<math> \psi(x) = \delta(x - x_0) </math>
このような状態は物理的には実現せず、厳密にいえば関数でないが、位置が正確に知ることができる(位置のいかなる測定でも常に固有値 {{math|''x''{{sub|0}}}} が得られる)「仮想的な状態」と考えることができる。
よって[[不確定性原理]]により、このような状態の運動量は全く知ることができない。

==３次元==
３次元への一般化は簡単である。
波動関数は {{math|''&psi;''('''r''', ''t'')}} で、位置の期待値は次のように書ける。
:<math> \langle \mathbf{r} \rangle = \int \mathbf{r} |\psi|^2 d^3  \mathbf{r} </math>
ここで積分は全空間にわたって行う。位置演算子は次のようになる。
:<math>\mathbf{\hat{r}}\psi=\mathbf{r}\psi</math>

==運動量空間==
[[運動量空間]]において、１次元の位置演算子は次のように書ける。
:<math> \hat{x} = i\hbar\frac{d}{dp} = i\frac{d}{dk_x} </math>

==関連項目==
* [[位置空間と運動量空間]]
* [[運動量演算子]]

==参考文献==
{{reflist}}

{{物理学の演算子}}

{{デフォルトソート:いちえんさんし}}
[[Category:量子力学]]