低次元トポロジーのソースを表示

{{要改訳}}
[[Image:Trefoil knot arb.png|thumb|最も単純な非[[自明結び目]]である[[三葉結び目]]を太くした三次元図形。[[結び目理論]]は低次元位相幾何学の重要な部分を占める。]]

[[数学]]における'''低次元位相幾何学'''（ていじげんいそうきかがく、{{lang-en-short|low-dimensional topology}}は、4次元、あるいはそれ以下の次元の[[多様体]]の研究をする[[位相幾何学]]の一分野である。扱われる主題は、{{仮リンク|3次元多様体|en|3-manifold}}および[[4次元多様体]]の構造論、[[結び目理論]]および[[組み紐群]]などがある。低次元トポロジーは[[幾何学的位相幾何学]]の一部と見なすことができる。

==歴史==

1960年代に始まった多くの位相幾何学の発展は、位相幾何学が低次元で重要であることを示した。1961年の[[スティーヴン・スメイル]]による高次元での[[ポアンカレ予想]]の解決は、3次元と 4次元が最も難しい問題であると思わせるに充分であった。実際、3次元や 4次元では、新しい方法が要求され、一方、高次元での自由度は{{仮リンク|手術理論|en|surgery theory}}を計算機的な方法で（低次元へ）還元することができることを意味した。後日、1970年代に[[ウィリアム・サーストン]]により定式化された[[幾何化予想]]では、低次元では幾何学とトポロジーが密接に関係することを示唆するフレームワークが提供され、サーストンの[[幾何化予想#ハーケン多様体|ハーケン多様体]]についての幾何化予想の証明は、以前は関連の薄かった数学分野からくる多様体のツールが用られた。1980年代初期の[[ヴォーン・ジョーンズ]]による[[ジョーンズ多項式]]の発見は、結び目理論に新しい方向性をもたらしたのみならず、低次元トポロジーと数理物理学の間のミステリアスな関係性を呼び起こした。2002年の[[グレゴリー・ペレルマン]]は、[[リチャード・S・ハミルトン]]の[[リッチフロー]]という{{仮リンク|幾何解析|en|geometric analysis}}分野のアイデアを使い、3次元ポアンカレ予想の証明を言明した。

すべてのこれらの前進は、残りの他の数学の分野へより良い影響をもたらした。

== 二次元 ==
{{main|曲面}}
[[曲面]]は [[2次元]]の[[位相多様体]]である。最も馴染みのある例は、通常の三次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|3}}}} 内の立体図形の境界として現れるもの、例えば[[球体]]の境界面としての[[球面]]である。他方、[[クラインの壷]]のように、[[特異点]]や自己交叉を持つことなしに 3次元ユークリッド空間へ[[埋め込み (数学)|埋め込む]]ことができない曲面もある。

===曲面の分類===
'''閉曲面の分類定理'''は、すべての[[連結空間|連結]]な閉曲面は、以下の 3つの族のうちのひとつに属する対象に同相であるという定理である。
# 球面
# <math>g \geq 1</math> に対し、''g'' 個のトーラスの[[連結和]]
# <math>k \geq 1</math> に対し、''k'' 個の射影平面の連結和

最初の 2つの族の曲面は、[[向き付け可能]]である。球面を 0 トーラスの[[連結和]]と考え、便宜的に 2つの族の元の連結和として考える。トーラスについての数値 ''g'' を曲面の'''種数'''と呼ぶ。球面とトーラスはそれぞれオイラー標数 2 と 0 である。一般に 種数 ''g'' のトーラスのオイラー標数は {{nowrap|2 &minus; 2''g''}} である。

3つ目の曲面の族は、向き付け不能な曲面である。実射影空間のオイラー標数は、1 であり、一般にそれらの ''k''-連結和のオイラー標数は {{nowrap|2 &minus; ''k''}} である。

===タイヒミューラー空間===
{{main|{{仮リンク|タイヒミューラー空間|en|Teichmüller space}} }}
数学において、（実）位相空間 {{mvar|X}} の'''タイヒミューラー空間''' {{mvar|T{{sub|X}}}} は、[[恒等写像]]と{{仮リンク|同位 (数学)|label=同位|en|Homotopy#Isotopy}}な[[同相|同相写像]]の作用[[違いを除いて|を除いて]] {{mvar|X}} 上の[[複素構造]]をパラメータ付ける空間である。{{mvar|T{{sub|X}}}} 上の各点は、「印」をつけた[[リーマン面]]の同型類とみなすことができる。ただし、「印」とは ''X'' から自分自身への同相写像の同位類である。タイヒミューラー空間は、（リーマン）モジュライ空間の{{仮リンク|軌道体|label=普遍被覆軌道体|en|orbifold}}である。

タイヒミューラー空間は、標準的な[[複素多様体]]の構造と豊かな自然計量を持っている。タイヒミューラー空間の台となる位相空間は、フリッケ(Fricke)により研究され、その上のタイヒミュラー計量は {{harvs|txt|authorlink=Oswald Teichmüller|first=Oswald |last=Teichmüller|year=1940}} で導入された<ref>{{citation
 | last = Teichmüller | first = Oswald | authorlink = Oswald Teichmüller
 | issue = 22
 | journal = Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl.
 | mr = 0003242
 | page = 197
 | title = Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale
 | volume = 1939
 | year = 1940}}.</ref>。
 
===一意化定理===
{{main|一意化定理}}
'''一意化定理'''は、すべての[[単連結]]な[[リーマン面]]は、次の 3つのうちのどれかひとつと[[共形同値]]であるという定理である。単連結リーマン面は、開[[単位円板]]、[[複素数平面]]、[[リーマン球面]]のいずれかであり、特に、{{仮リンク|定曲率|en|constant curvature}}の[[リーマン計量]]をもっている。これはリーマン面を、[[普遍被覆]]に従い、楕円型（正の曲率をもつ、正の定数曲率をもつ）と放物型（平坦）と双曲型（負の定数曲率）へと分類する。

一意化定理は、[[リーマンの写像定理|リーマン写像定理]]を、平面の単連結な[[開集合|開]][[部分集合]]から任意の単連結なリーマン面へ一般化した定理である。

== 三次元 ==
{{main|{{仮リンク|三次元多様体|en|3-manifold}}}}
[[位相空間]] ''X'' のすべての点が [[3次元]][[ユークリッド空間]]と[[同相]]な[[近傍]]を持つとき、''X'' を 3次元多様体と呼ぶ。

位相多様体、{{仮リンク|PL多様体|label=区分線型|en|Piecewise linear manifold}}多様体（PL多様体）、滑らかな多様体の圏は、すべて 3次元の場合には同値であるので、3次元では、位相多様体と滑らかな多様体の差異はほとんどない。

3次元での現象は、他の次元での現象とは非常に異なっていて、3よりも大きな次元へは一般化できない非常に特別なテクニックが普及している。この特別なテクニックの役割は、他の分野の多様性との密接な関係をもたらした。たとえば、[[結び目理論]], [[幾何学的群論]]、[[双曲幾何学]]、[[数論]]、{{仮リンク|タイヒミューラー空間|en|Teichmüller space}}、[[位相的場の理論]]、[[ゲージ理論]]、[[フレアーホモロジー]]、や[[偏微分方程式]]がある。3次元多様体論は、低次元位相幾何学や[[幾何学的位相幾何学]]の一部と考えられる。

===結び目と組み紐理論===
{{main|結び目理論|組み紐 (数学) }}
[[結び目理論]]は、[[結び目 (数学)|結び目]]を数学的に研究する。日常生活の中に現れる靴ひもや縄の結び目というのが発端ではあるが、数学者のいう結び目はそれらと違って両端が一つに繋がった輪の形をしていて、それらを切り離すことは許されない。数学的な言い方をすれば、結び目とは[[円周]]の三次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>3</sup> への[[埋め込み (数学)|埋め込み]]である（我々はいま位相を考えているのだから、この「円周」というのも古典的な幾何学的概念としてのそれに制限されるものでなく、それと[[同相]]なものは全て「円周」と呼ぶのである）。数学的な意味での二つの結び目が同値であるとは、{{math|'''R'''{{sup|3}}}} からそれ自身の上への変形（{{ill2|全同位|en|ambient isotopy}}と呼ぶ）を通じて一方が他方へ写ることができるときに言う。これらの変形は、結ばれた紐を切ったり自身をすり抜けたりすることなく操作することに対応している。

[[結び目補空間]]は、良く研究されている 3次元多様体である。{{仮リンク|順な結び目|en|tame knot}} ''K'' の結び目補空間は、結び目を取り巻く 3次元空間である。より詳しくは、''K'' が 3次元多様体 ''M'' の中の結び目とし（最も良く使われる ''M'' は{{仮リンク|3-球面|en|3-sphere}}である）、''N'' を ''K'' の{{仮リンク|管状近傍|en|tubular neighborhood}}とすると、位相的に ''N'' は[[トーラス体]](solid torus)である。そうして、結び目補空間とは ''N'' の[[補集合]]
:<math>X_K = M - \mbox{interior}(N)</math>
をいう。

関連する主題として、[[組み紐 (数学)|組み紐理論]]がある。組み紐理論は、日常的な意味の組み紐およびそのある種の一般化を研究する抽象[[幾何学]]理論である。考え方としては、組み紐を[[群 (数学)|群]]として体系化することであり、その群演算は「紐の集合上で、紐をひねって組むという操作を、ひねりを加えた順番に従って考える」ことを意味する。そのような群は明白に[[群の表示]]により陽に記述することができ、{{harvs|first=Emil|last=Artin|authorlink=Emil Artin|year=1947|txt}} に示されている<ref>{{citation
 | last = Artin | first = E. | authorlink = Emil Artin
 | doi = 10.2307/1969218
 | journal = [[Annals of Mathematics]]
 | mr = 0019087
 | pages = 101–126
 | series = Second Series
 | title = Theory of braids
 | volume = 48
 | year = 1947}}.</ref>。この線での基本的な取り扱いは[[組み紐群]]の項を参照。ブレイド群はまた、より深い数学的な解釈（たとえば、{{仮リンク|配置空間|en|configuration space}}の[[基本群]]）も持つ。

===双曲3次元多様体===
{{main|双曲3次元多様体}}
[[双曲3次元多様体]]は、[[完備空間|完備な]]定[[断面曲率]] -1 の[[リーマン計量]]を持つ{{仮リンク|3次元多様体|en|3-manifold}}である。言い換えると、双曲3次元多様体は、3次元{{仮リンク|双曲空間|en|hyperbolic space}}を、それに自由かつ{{ill2|固有不連続作用|label=固有不連続に|en|Properly discontinuous action}}作用する双曲的等距離写像の成す適当な部分群で割った商である。{{仮リンク|クライン模型|en|Kleinian model}}の項を参照。

その thick-thin 分解は、thin 成分として、閉測地線からなる管状近傍およびまたはユークリッド曲面と閉半直線の積となる端点をもつ。多様体が有限体積となるための必要十分条件は、thick 成分がコンパクトになることである。この場合、終点はトーラスと閉じた半直線との交差の形をしていて、'''尖点'''と呼ばれる。結び目補空間は最もよく研究されている尖点を持つ多様体である。

===ポアンカレ予想と幾何化予想===
{{Main|幾何化予想}}
[[幾何化予想|サーストンの幾何化予想]]は、3次元[[位相空間]]は関連付けることのできる一意な幾何学構造を持っているという予想である。幾何化予想は、2次元[[曲面]]の[[一意化定理]]の類似であり、一意化定理はすべての[[単連結]]な[[リーマン面]]は 3つの幾何学（[[ユークリッド幾何学]]、[[球面幾何学]]、[[双曲幾何学]]）のうちのひとつとなるという定理である。

3次元では、位相空間全体をひとつの幾何学に関連付けることが常にできるとは限らない。代わって、幾何化予想はすべての閉 {{仮リンク|3次元多様体|en|3-manifold}}は、標準的な方法でそれぞれのピースが 8つのタイプのうちのひとつの幾何学構造を持つようなピースへと分解することができるという予想である。この予想は、[[ポアンカレ予想]]やサーストンの{{仮リンク|楕円化予想|en|elliptization conjecture}}など、いくつかの他の予想を含む予想として、{{harvs|txt|authorlink=William Thurston|first=William|last= Thurston|year= 1982}} で提出された<ref>{{citation
 | last = Thurston | first = William P. | authorlink = William Thurston
 | doi = 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0
 | issue = 3
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | mr = 648524
 | pages = 357–381
 | series = New Series
 | title = Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry
 | volume = 6
 | year = 1982}}.</ref>。

==4次元==
{{main|[[4-多様体]](4-manifold) }}
'''4次元多様体'''は、4次元の[[位相多様体]]である。'''滑らかな 4次元多様体'''は、[[滑らかな構造]]を持つ 4次元多様体である。4次元では、低次元での注目すべ対照として、位相多様体と滑らかな多様体では大きな差異があるということがある。滑らかな構造を持たない 4次元位相多様体が存在し、たとえ滑らかな構造があったとしても一意に決まるとは限らない（すなわち、[[同相]]であるが[[微分同相]]ではない 4次元位相多様体が存在する）。

物理学では、4次元多様体は重要である。[[一般相対論]]において、[[時空]]は[[擬リーマン多様体|擬リーマン的な]]な 4次元多様体であるからである。

=== 異種 R<sup>4</sup>===
{{main|[[エキゾチック R4]]}}
'''エキゾチック''' '''R'''<sup>4</sup> は[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>4</sup> と[[同相]]であるが、[[微分同相]]ではない[[可微分多様体]]を言う。最初の例は、1980年代始めに[[マイケル・フリードマン]]により、位相 4次元多様体についてのフリードマンの定理と滑らかな 4次元多様体についての[[サイモン・ドナルドソン]]の定理を対比することで発見された<ref>{{citation
 | last = Gompf | first = Robert E. | authorlink = Robert Gompf
 | issue = 2
 | journal = [[Journal of Differential Geometry]]
 | mr = 710057
 | pages = 317–328
 | title = Three exotic '''R'''<sup>4</sup>'s and other anomalies
 | url = http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437666
 | volume = 18
 | year = 1983}}.</ref> 。'''R'''<sup>4</sup> の微分同相ではない{{仮リンク|可微分構造|en|differentiable structure}}が[[非可算]]個存在する。このことは、最初に{{仮リンク|クリフォード・タウベス|en|Clifford Taubes}}により、<ref>Theorem 1.1 of {{citation
 | last = Taubes | first = Clifford Henry | authorlink = Clifford Taubes
 | issue = 3
 | journal = [[Journal of Differential Geometry]]
 | mr = 882829
 | pages = 363–430
 | title = Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds
 | url = http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440981
 | volume = 25
 | year = 1987}}</ref> で示された。

球面上の微分同相ではない{{仮リンク|滑らかな構造|en|smooth structure|label=可微分構造}}&mdash; {{仮リンク|異種球面|en|exotic sphere}}&mdash; は存在が知られていたが、この構成により、そのような構造の存在が [[4-球面]]のこの特別な場合のみ存在するのかどうかという問題は未解決である（2014年段階では）。4 以外の正の整数 ''n'' に対し、'''R'''<sup>''n''</sup> 上には異種可微分構造が存在しない。言い換えると、''n'' ≠ 4 ならば、'''R'''<sup>''n''</sup> に同相な任意の滑らかな多様体は、'''R'''<sup>''n''</sup> に微分同相である<ref>Corollary 5.2 of {{citation
 | last = Stallings | first = John | authorlink = John R. Stallings
 | doi = 10.1017/S0305004100036756
 | journal = Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
 | mr = 0149457
 | pages = 481–488
 | title = The piecewise-linear structure of Euclidean space
 | volume = 58
 | year = 1962}}.</ref>。

===4次元でのその他の特別な現象===
多くとも次元が 3 の低次元における方法により証明することのでき、少なくとも次元 5 以上の完全に高い次元の方法により証明できる多様体の基本定理がいくつかあるが、次元 4 でのみ、成立しない定理がある。これらの例をいくつか挙げる。

*次元 4 よりも大きな次元で、[[カービー・ジーベンマン不変量]]は PL構造の存在への障害を与える。言い換えると、コンパクトな位相多様体は PL構造を持つことと、 H<sup>4</sup>(''M'','''Z'''/2'''Z''') の中のカービー・ジーベンマン不変量が 0 となることとは同値である。次元 3 やそれ以下の次元では、すべての位相多様体は、本質的に一意な PL構造を持つ。次元 4 では、カービー・ジーベンマン不変量は 0 であるが PL構造を持たない多くの例がある。
*4 以外の次元では、コンパクトな位相多様体は有限個の異なる PL構造や滑らかな構造しかもたない。4次元では、コンパクトな多様体は可算個の無限個の微分同相でない滑らかな構造を持つことができる。
*次元 4 は、'''R'''<sup>''n''</sup> が異種可微分構造を持つことのできる唯一の次元である。'''R'''<sup>4</sup> は非可算個の異種可微分構造をもつ。{{仮リンク|エキゾチックR4|label=異種 '''R'''<sup>4</sup>|en|exotic R4}}を参照。
*滑らかな[[ポアンカレ予想]]の解は、4 以外の次元ではすべて知られている（少なくとも次元 7 では正しくない、{{仮リンク|エキゾチック球面|en|exotic sphere}}を参照）。{{仮リンク|PL多様体|en|PL manifold}}は 4 を除くすべての次元で証明されているが、4次元では正しいか否か分かっていない（4次元での滑らかなポアンカレ予想と同値である）。
*滑らかな {{仮リンク|h-コボルディズム定理|en|h-cobordism theorem}}は、同境(cobordant)（コボルダント）でもなく境界が 4次元でもない場合には、コボルディズムは保存される。コボルディズムの境界が次元 4 であると、この結果は成立しない（ドナルドソンにより示された）。コボルディズムが次元 4 であるとき、h-コボルディズム定理が成立するかどうかは未解決である。
*4次元以外の次元の位相多様体は、ハンドル体分解を持つ。次元 4 の多様体がハンドル分解を持つことと、滑らかな多様体であることとは同値である。
*すべての単体複体に同相でない 4次元位相多様体が存在する。少なくとも次元 5 では、単体複体と同相でない位相多様体の存在は、未解決問題である。2013年段階では、シプリアン・マノレスク(Ciprian Manolescu)がArXivへプレプリントを投稿して、次元が 5 に等しいか大きい各々の次元で単体複体に同相でない多様体が存在すると主張している。

==低次元トポロジーを識別する典型的な定理==
高次元多様体の研究に有効な使われるツールであっても、低次元多様体へ適用できない定理があり、そのいくつかを挙げる。たとえば、

'''スティーンロッドの定理'''は、向きつけられた 3次元多様体は自明な[[接バンドル]]を持つという定理である。他の言い方では、3次元多様体の唯一の[[特性類]]は向き付け可能性の障害であるということもできる。

任意の閉 3次元多様体は、4次元多様体の境界である。この定理は何人かの人により独立に示された。この定理は、[[マックス・デーン|Dehn]]&ndash;{{仮リンク|ウィリアム・バーナード・レイモンド・リコリッシュ|en|W. B. R. Lickorish|label=Lickorish}}の定理と呼ばれる 3次元多様体の{{仮リンク|ヘーガード分解|en|Heegaard splitting}}を通して得られる。また、閉多様体の[[コボルディズム]]環の[[ルネ・トム]]の計算からも得られる。

[[エキゾチック R4|'''R'''<sup>4</sup> 上の異種可微分構造]]の存在は、元々は、[[サイモン・ドナルドソン]]と{{仮リンク|アンドレイ・キャッソン|en|Andrew Casson}}の仕事に基づき、[[マイケル・フリードマン]]により得られた。以来、フリードマン、{{仮リンク|ロバート・ゴンフ|en|Robert Gompf}}、{{仮リンク|クリフォード・タウベス|en|Clifford Taubes}}や[[ローレンス・テイラー]]により、'''R'''<sup>4</sup> 上には微分同相でない滑らか構造が連続して存在することが示された。一方、''n'' ≠ 4 として、'''R'''<sup>n</sup> は微分同相を除くと滑らか構造はひとつしか存在しないことが知られている。

==関連項目==
*{{仮リンク|幾何学的トポロジーのトピックの一覧|en|List of geometric topology topics}}(List of geometric topology topics)

==参考文献==
{{Reflist}}

==外部リンク==
*[[Robion Kirby|Rob Kirby]]'s [http://math.berkeley.edu/~kirby/problems.ps.gz Problems in Low-Dimensional Topology] -gzipped postscript file (1.4MB)
*Mark Brittenham's [http://www.math.unl.edu/~mbrittenham2/ldt/ldt.html links to low dimensional topology] - lists of homepages, conferences, etc.

{{DEFAULTSORT:ていしけんとぽろじい}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:幾何学的トポロジー]]
[[Category:数学に関する記事]]