佐久間＝服部方程式のソースを表示

'''佐久間＝服部方程式'''（さくま=はっとりほうていしき）は、完全[[黒体]]から放射された、もしくは熱放射検出器により受信された[[熱放射]]、放射束、放射パワーの量を予測するための数学モデルである。

== 歴史 ==
1982年に[[佐久間史洋]]、[[小野晃]]、[[服部晋]]により最初に提案された<ref name=Sakuma1/>。1996年、この方程式のさまざまな形式の有用性が研究された。この研究において、ほとんどの応用に最適なプランキアン形式が示された<ref name=Sakuma2/>。この研究は3個以下のフィッティング変数を含む佐久間＝服部方程式の10の異なる形式に対して行われた。2008年、BIPM CCT-WG5は960℃未満の放射温度測定の不確かさバジェットにこの方程式を使用することを推奨した<ref name=Fischer/>。

== 一般形 ==
佐久間＝服部方程式は物体の[[温度]]に基づいて熱放射から[[電磁波]]信号を与える。信号は電磁[[流速]]であってもよいし、この放射を測定する検出器により生成される信号であってもよい。銀点{{Cref2|A}}以下では佐久間＝服部方程式を用いた方法が提案されている<ref name=Sakuma1>F Sakuma, S Hattori, "Establishing a practical temperature standard by using a narrow-band radiation thermometer with a silicon detector", in ''Temperature: Its Measurement and Control in Science and Industry'', vol. 5, edited by J F Schooley, New York, AIP, 421–427 (1982).</ref>。一般形は次のようになる<ref name=Fischer>J. Fischer, P. Saunders, M. Sadli, M. Battuello, C. W. Park, Y. Zundong, H. Yoon, W. Li, E. van der Ham, F. Sakuma, Y. Yamada, M. Ballico, G. Machin, N. Fox, J. Hollandt, M. Matveyev, P. Bloembergen and S. Ugur, "[http://www.bipm.org/wg/CCT/CCT-WG5/Allowed/Miscellaneous/Low_T_Uncertainty_Paper_Version_1.71.pdf Uncertainty budgets for calibration of radiation thermometers below the silver point]" (pdf), CCT-WG5 on Radiation Thermometry, BIPM, Sèvres, France (2008).</ref>。
:<math>S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{\lambda_x T}\right) - 1},</math>
ここで
{| class="wikitable"
| <math>C</math>
| スカラー係数
|-
| <math>c_2</math>
| 第2放射定数 (0.014387752 m⋅K<ref>{{cite web |publisher=National Institute of Standards and Technology (NIST) |title=2006 CODATA recommended values |url=http://physics.nist.gov/cuu/index.html | date=Dec 2003 |accessdate=Apr 27, 2010}}</ref>)
|-
| <math>\lambda_x</math>
| 温度依存の有効波長（メートル）
|-
| <math>T</math>
| 温度（[[ケルビン]]）
|-
|}

== プランキアン形式 ==

=== 導出 ===
プランキアン形式は次の置換により実現される。
:<math>\lambda _x = A + \frac{B}{T}</math>

この置換を行うことで次のようなプランキアン形式の佐久間＝服部方程式が得られる。

{| class="wikitable"
|-
| 佐久間＝服部方程式（プランキアン形式）
| <math>S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{AT + B}\right)-1}</math>
|-
| 逆方程式 <ref name=MSLNZ/>
| <math>T = \frac{c_2}{A \ln \left(\frac{C}{S} + 1\right)} - \frac{B}{A}</math>
|-
| 1次導関数<ref>''ASTM Standard E2758-10 – Standard Guide for Selection and Use of Wideband, Low Temperature Infrared Thermometers'', ASTM International, West Conshohocken, PA, (2010).</ref>
| <math>\frac {dS}{dT} = \left[S(T)\right]^2 \frac{A c_2}{C\left(AT + B\right)^2}\exp\left(\frac{c_2}{AT + B}\right)</math>
|}

=== ディスカッション ===
プランキアン形式は[[放射温度計|放射温度測定]]<ref name=Fischer/>や赤外線温度測定<ref name=MSLNZ>''[http://msl.irl.cri.nz/sites/all/files/training-manuals/tg22-july-2009v2.pdf MSL Technical Guide 22 – Calibration of Low Temperature Infrared Thermometers]'' (pdf), Measurement Standards Laboratory of New Zealand (2008).</ref>の不確かさバジェットの計算に使用することが推奨されている。また、銀点未満の放射温度計の較正に使用することも推奨されている<ref name=Fischer/>。

プランキアン形式は[[プランクの法則]]と類似している。

:<math>S(T) = \frac{c_1}{\lambda^5\left[\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1\right]}</math>

ただし、佐久間＝服部方程式は低温、広帯域の放射温度測定を考える場合に非常に有用である。広いスペクトル帯域でプランクの法則を使用する場合、次のような[[積分]]を考慮する必要がある。

:<math>S(T) = \int_{\lambda _1}^{\lambda _2}\frac{c_1}{\lambda^5\left[\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1\right]} d\lambda</math>

この積分により{{仮リンク|不完全多重対数関数|en|incomplete polylogarithm}}が生成されるが、この関数によりこの方程式は扱いにくくなる。標準的な数値処理では指数の幾何級数の不完全積分を展開する。
:<math>\int_0^{\lambda_2} \frac{c_1}{\lambda^5[\exp(\frac{c_2}{\lambda T})-1]}d\lambda
=c_1(\frac{T}{c_2})^4\int_{c_2/(\lambda_2 T)}^{\infty}
\frac{x^3}{\exp(x)-1}dx
</math>
（<math>\lambda = c_2/(xT)</math>, <math>d\lambda = -c_2/(x^2T
)dx</math>の置換をしている。）すると、
:<math>J(c)\equiv \int_c^\infty \frac{x^3}{\exp x-1}dx
=\int_c^\infty \frac{x^3 \exp(-x)}{1-\exp(- x)}dx
=\int_c^\infty \sum_{n\ge 1}x^3 \exp(-nx)dx
</math>
:<math>
=\sum_{n\ge 1} \exp(-nc)\frac{(nc)^3+3(nc)^2+6nc+6}{n^4}
</math>
これにより、和をある桁で切り捨てることで概算値が得られる。

上で示した佐久間＝服部方程式は多くの方程式を検討した中で、放射温度計のスケールの補完に最適なフィット曲線を提供することがわかった<ref name=Sakuma2>Sakuma F, Kobayashi M., "Interpolation equations of scales of radiation thermometers", ''Proceedings of TEMPMEKO 1996'', pp. 305–310 (1996).</ref>。

反復計算をすることなく逆佐久間＝服部関数を使用することができる。これはプランクの法則の積分よりも優れている。

== 他の形式 ==
1996年の論文では10の異なる形式が研究された。それらを実際の放射測定データに対するフィット曲線の質の高い順に以下の表に示す<ref name=Sakuma2/>。

{| class="wikitable"
|-
! 名称
! 方程式
! 帯域幅
! プランキアン
|-
| 佐久間＝服部 プランク III
| <math>S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{AT + B}\right)-1}</math>
| 狭い
| yes
|-
| 佐久間＝服部 プランク IV
| <math>S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{A}{T^2} + \frac{B}{2T}\right)-1}</math>
| 狭い
| yes
|-
| 佐久間＝服部 ヴィーン II
| <math>S(T) = C \exp\left(\frac{-c_2}{AT + B}\right)</math>
| 狭い
| no
|-
| 佐久間＝服部 プランク II
| <math>S(T) = \frac{C T^A}{\exp\left(\frac{B}{T}\right)-1}</math>
| 広い・狭い
| yes
|-
| 佐久間＝服部 ヴィーン I
| <math>S(T) = C T^A {\exp\left(\frac{-B}{T}\right)}</math>
| 広い・狭い
| no
|-
| 佐久間＝服部 プランク I
| <math>S(T) = \frac{C}{\exp\left(\frac{c_2}{AT}\right)-1}</math>
| 単色
| yes
|-
| New
| <math>S(T) = C \left(1 + \frac{A}{T}\right) - B</math>
| 狭い
| no
|-
| ヴィーン
| <math>S(T) = C \exp\left(\frac{-c_2}{A T}\right)</math>
| 単色
| no
|-
| 有効波長 – ヴィーン
| <math>S(T) = C \exp\left(\frac{-A}{T}+\frac{B}{T^2}\right)</math>
| 狭い
| no
|-
| べき指数
| <math>S(T) = C T^A</math>
| 広い
| no
|}

== 関連項目 ==
*[[シュテファン＝ボルツマンの法則]]
*[[プランクの法則]]
*[[レイリー・ジーンズの法則]]
*[[ヴィーンの放射法則]]
*[[ヴィーンの変位則]]
*[[キルヒホッフの法則 (放射エネルギー)]]
*[[放射温度計]]
*[[パイロメーター]]
*[[細フィラメント高温測定法]]
*[[サーモグラフィー]]
*[[黒体]]
*[[熱放射]]
*[[放射輝度]]
*[[放射率]]
* [[:en:ASTM Subcommittee E20.02 on Radiation Thermometry|ASTM Subcommittee E20.02 on Radiation Thermometry]]

== 注 ==
{{Cnote2|A
| 銀点とは銀の融点である962℃(961.961 ± 0.017)℃<ref>
{{Cite journal
  |author=J Tapping and V N Ojha
  | title = Measurement of the Silver Point with a Simple, High-Precision Pyrometer
  | journal = Metrologia 
  | volume = 26 
  | issue = 2
  | pages = 133–139
  | year = 1989
  | doi = 10.1088/0026-1394/26/2/008
  | bibcode = 1989Metro..26..133T
 }}
</ref>であり、いくつかの温度スケールで較正点として使われている<ref>
{{Cite web
  | title = Definition of Silver Point - 962°C, the melting point of silver
  | url = http://www.eudict.com/?word=silver+point+melting&lang=engchi
  | accessdate = 2010-07-26}}
</ref>。
安定しており再現性が高いため、赤外温度計の較正に使用されている。
}}

== 脚注 ==
<references/>

{{黒体放射}}
{{DEFAULTSORT:さくまはつとりほうていしき}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:1982年の科学]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:物理学のエポニム]]