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佐藤・テイト予想
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[[File:Distribution of alpha p.svg|thumb| {{math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|3}} + ''x''{{sup|2}} − ''x''}} で定義される楕円曲線 {{mvar|E}} に対して {{math|''X''{{sup|2}} − ''a''{{sub|''p''}}''X'' + ''p''}} の根のうち上半平面にあるもののみをプロットした図。ここで {{math|1=''a''{{sub|''p''}}}} は {{math|1=''a''{{sub|''p''}} = 1 + ''p'' − #''E''(}}'''F'''{{sub|{{mvar|p}}}}{{math|)}} で定義される数である。図から根の偏角の密度は{{math|90°}}付近で濃いことが見て取れる。 ]] '''佐藤・テイト予想'''（Sato–Tate conjecture）とは、[[楕円曲線]] E と素数 p に対して定まるある実数 θ<sub>p</sub> の分布に関する予想である。もう少し正確には、有理数体上定義された楕円曲線 E を一つ固定したとき、各素数 p での還元 E<sub>p</sub> は有限体 F<sub>p</sub> 上の楕円曲線となるが、その楕円曲線 E<sub>p</sub> の点の数が p を動かしたときある決まった分布になるというものである。 ==予想の記述== [[File:Distribution of theta p.svg|thumb| {{math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|3}} + ''x''{{sup|2}} − ''x''}} で定義される楕円曲線 {{mvar|E}} に対する {{math|''θ''{{sub|''p''}}}}（{{math|''p'' < 500,000}}）の[[度数分布図]]。 ここで {{math|1=''θ''{{sub|''p''}}}} は {{math|1=cos ''θ''{{sub|''p''}} = }} {{Sfrac|{{math|''p'' + 1 − #''E''(}}'''F'''{{sub|{{mvar|p}}}}{{math|)}}|{{math|2{{sqrt|''p''}}}}}} で定義される数である。{{math|''θ''{{sub|''p''}}}} が {{math|{{Sfrac|2|{{pi}}}}sin{{sup|2}}''θ''}} に従って分布していることが見て取れる。]] E を有理数体上定義された楕円曲線とする。これは整数に係数をもつ多項式によりあらわす事ができ、この多項式を素数 p を法として考えることによりほとんど全ての p について[[有限体]] F<sub>p</sub> 上の楕円曲線 E<sub>p</sub> を定めることができる（ここで例外となるのは E<sub>p</sub> が特異点をもつ場合だが、そのような素数 p は有限個しかない）。N<sub>p</sub> で E<sub>p</sub> の有限体上に定義された点の数を表わすとすると、[[楕円曲線のハッセの定理]]により、 :<math>-1< \frac{(p + 1 -N_p)}{2\sqrt{p}}=:\frac{a_p}{2\sqrt{p}} <1 </math> となる。このことから、θ<sub>p</sub> を、 :<math> \frac{p+1-N_p}{2\sqrt{p}}=\cos{\theta_p} ~~ (0\leq \theta_p \leq \pi)</math> をみたす実数として定義する。 '''佐藤・テイト予想'''(Sato–Tate conjecture)は、E が[[虚数乗法]]を持たないとき<ref>虚数乗法を持つ楕円の場合には、[[ハッセ・ヴェイユのL-函数]]が[[ヘッケ指標]](Hecke L-function)の項として表される（{{仮リンク|マックス・ドイリング|en|Max Deuring}}(Max Deuring)の結果）。このことはより詳しい問題への解答で、解析的結果として知られている。</ref>、θ の[[確率測度]]が :<math>\sin^2 \theta \, d\theta</math><ref>正規化するために、2/π を前に係数として置いている。</ref> に比例することを言っている。 いいかえると、0 ≤ α < β ≤ π であるすべての実数のペア α と β に対して、 :<math>\lim_{N\to\infty}\frac{\#\{p\leq N:\alpha\leq \theta_p \leq \beta\}} {\#\{p\leq N\}}=\frac{2}{\pi} \int_{\alpha}^{\beta} \sin^2 \theta \, d\theta</math> となる、というのが予想の意味するところである。 この予想は1963年{{Sfn|難波|2006|p=105}}に[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]](Mikio Sato)により提出され、[[ジョン・テイト]](John Tate)により代数幾何学的に解釈された。<ref>テイト(J. Tate)は、 ''Algebraic cycles and poles of zeta functions'' in the volume (O. F. G. Schilling, editor), ''Arithmetical Algebraic Geometry'', pages 93–110 (1965) の中で述べている。</ref> === {{math|''θ''{{sub|''p''}}}} の計算例 === 楕円曲線 {{mvar|E}} と素数 {{mvar|p}} が具体的に与えられれば、それに対する {{math|''θ''{{sub|''p''}}}} を計算すること自体は容易である。例として、方程式 {{math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|3}} + ''x''{{sup|2}} − ''x''}} で定義される楕円曲線 {{mvar|E}} を考える。この楕円曲線は虚数乗法を持たず、{{math|1=''p'' = 7}} で良還元を持つ<ref> [https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/20/a/3 Elliptic curve with LMFDB label 20.a3 (Cremona label 20a2)] </ref>。{{math|''θ''{{sub|''p''}}}} を定義から計算するには {{math|''E''{{sub|''p''}}}} の有理点の個数 {{math|''N''{{sub|''p''}}}} を求めればよいが、これは多項式 {{math|1=''f'' (''x'', ''y'') = ''y''{{sup|2}} − (''x''{{sup|3}} + ''x''{{sup|2}} − ''x'')}} に {{math|1=''x'', ''y'' = 0, 1, ..., ''p'' − 1}} をすべて代入してみて {{mvar|p}} による[[剰余]]が0となるものの個数を数えればよい。無限遠点があるので、この個数に1を足したものが {{math|''N''{{sub|''p''}}}} である。次の表は {{math|''f'' (''x'', ''y'')}} の {{math|1=''p'' = 7}} での剰余を[[表計算ソフト]]で計算した結果である。 {| class="wikitable" style="margin:0 auto" |- ! y＼x!! 0!! 1!! 2!! 3!! 4!! 5!! 6 |- ! 0 | style="background-color:#FF0;" | 0|| 6|| 4|| 2|| 1|| 2|| 6 |- ! 1 | 1|| style="background-color:#FF0;" | 0|| 5|| 3|| 2|| 3|| style="background-color:#FF0;" | 0 |- ! 2 | 4|| 3|| 1|| 6|| 5|| 6|| 3 |- ! 3 | 2|| 1|| 6|| 4|| 3|| 4|| 1 |- ! 4 | 2|| 1|| 6|| 4|| 3|| 4|| 1 |- ! 5 | 4|| 3|| 1|| 6|| 5|| 6|| 3 |- ! 6 | 1|| style="background-color:#FF0;" | 0|| 5|| 3|| 2|| 3|| style="background-color:#FF0;" | 0 |} 0が5つあるので、{{mvar|E}} の {{math|''N''{{sub|7}}}} は6であることがわかった。したがって、 : <math>\theta_{7} = \arccos\left(\frac{7+1-6}{2\sqrt{7}}\right) \fallingdotseq 1.18319964</math> である。 この計算からは {{math|''θ''{{sub|''p''}}}} の分布に関して何らかの規則性があるとは想像できないが、実際には {{math|sin{{sup|2}}}} という簡明な関数に従って分布していることを主張するのが、佐藤・テイト予想である。 ==証明と主張の進展== 2006年3月18日、[[ハーバード大学]]の[[リチャード・テイラー (数学者)|リチャード・テイラー]](Richard Taylor)は、{{仮リンク|ローラン・クローゼル|en|Laurent Clozel}}(Laurent Clozel)や{{仮リンク|ミカエル・ハリス|en|Michael Harris (mathematician)}}(Michael Harris)や{{仮リンク|ニコラス・シェパード-バロン|en|Nicholas Shepherd-Barron}}(Nicholas Shepherd-Barron)との共同研究の結果として、ある条件を満たす[[総実体]]上の楕円曲線の佐藤・テイト予想の証明の最終段階を、彼のウェブページに掲載した。<ref>その条件とは、E が{{仮リンク|悪い還元|en|bad reduction}}(bad reduction)を持つようなある p に対して（少なくも、有理数の楕円曲線に対しては、そのような p が存在する）、[[ネロンモデル]]の特異ファイバーが乗法的であるという。実際、このような条件をみたす楕円曲線が典型的であるので、これは比較的緩やかな条件であると考えることができる。古典的にいいかえると条件は[[j-不変量]]が整でないということである。</ref> それ以来、3つの論文のうち 2つが出版されている。<ref>{{harvnb|Clozel|Harris|Taylor|2008}} and {{harvnb|Taylor|2008}}, with the remaining one ({{harvnb|Harris|Shepherd-Barron|Taylor|2009}}) set to appear.</ref> さらに、結果は{{仮リンク|アーサー・セルバーグの跡公式|en|Arthur–Selberg trace formula}}(Arthur–Selberg trace formula)の形を改善する条件となっている。ハリスは、そのような予想されている跡公式から従う 2つの楕円曲線（[[同種]]ではない）の積から得られる結果の{{仮リンク|条件付き証明|en|conditional proof}}(conditional proof)を得ている。<ref>詳しくは、Carayol, Bourbaki seminar of 17 June 2007 を参照。</ref> {{As of|2008|07|08}}、リチャード・テイラーは、彼のウェブサイトへ論文（{{仮リンク|トーマス・バーネット-ラム|en|Thomas Barnet-Lamb}}(Thomas Barnet-Lamb)、{{仮リンク|ダヴィッド・ゲラティ|en|David Geraghty (mathematician)}}(David Geraghty)とミカエル・ハリスの共著）を掲載していて、そこではウェイトが 2 に等しいかまたは大きな任意の非CM正則モジュライ形式についての佐藤・テイト予想へ一般化されたヴァージョンを、直前の論文の本質的にはモジュラ性の結果を改善することで証明したと主張している。<ref>Theorem B of {{harvnb|Barnet-Lamb|Geraghty|Harris|Taylor|2009}}</ref> 彼らはまた、跡公式に関係するいくつかの問題がミカエル・ハリスの「ブックプロジェクト」<ref>いくつかのプレプリントが [http://fa.institut.math.jussieu.fr/node/29] (retrieved July 8, 2009) に公開されている。</ref> と、Sug Woo Shin との共同研究により解決したと主張している。<ref>Preprint "Galois representations arising from some compact Shimura varieties" on author's website [http://math.mit.edu/~swshin/StableGal.pdf] (retrieved May 22, 2012).</ref><ref>See p. 71 and Corollary 8.9 of {{harvnb|Barnet-Lamb|Geraghty|Harris|Taylor|2009}}</ref> <!--==Proofs and claims in progress== On March 18, 2006, [[Richard Taylor (mathematician)|Richard Taylor]] of [[Harvard University]] announced on his web page the final step of a proof, joint with [[Laurent Clozel]], [[Michael Harris (mathematician)|Michael Harris]], and [[Nicholas Shepherd-Barron]], of the Sato–Tate conjecture for elliptic curves over [[totally real field]]s satisfying a certain condition: of having multiplicative reduction at some prime.<ref>That is, for some ''p'' where ''E'' has [[bad reduction]] (and at least for elliptic curves over the rational numbers there are some such ''p''), the type in the singular fibre of the [[Néron model]] is multiplicative, rather than additive. In practice this is the typical case, so the condition can be thought of as mild. In more classical terms, the result applies where the [[j-invariant]] is not integral.</ref> Two of the three articles have since been published.<ref>{{harvnb|Clozel|Harris|Taylor|2008}} and {{harvnb|Taylor|2008}}, with the remaining one ({{harvnb|Harris|Shepherd-Barron|Taylor|2009}}) set to appear.</ref> Further results are conditional on improved forms of the [[Arthur–Selberg trace formula]]. Harris has a [[conditional proof]] of a result for the product of two elliptic curves (not [[isogeny|isogenous]]) following from such a hypothetical trace formula.<ref>See Carayol's Bourbaki seminar of 17 June 2007 for details.</ref> {{As of|2008|07|08}}, Richard Taylor has posted on his website an article (joint work with [[Thomas Barnet-Lamb]], [[David Geraghty (mathematician)|David Geraghty]], and Michael Harris) which claims to prove a generalized version of the Sato–Tate conjecture for an arbitrary non-CM holomorphic modular form of weight greater than or equal to two,<ref>Theorem B of {{harvnb|Barnet-Lamb|Geraghty|Harris|Taylor|2009}}</ref> by improving the potential modularity results of previous papers. They also assert that the prior issues involved with the trace formula have been solved by Michael Harris' "Book project"<ref>Some preprints available here [http://fa.institut.math.jussieu.fr/node/29] (retrieved July 8, 2009).</ref> and work of Sug Woo Shin.<ref>Preprint "Galois representations arising from some compact Shimura varieties" on author's website [http://math.mit.edu/~swshin/StableGal.pdf] (retrieved May 22, 2012).</ref><ref>See p. 71 and Corollary 8.9 of {{harvnb|Barnet-Lamb|Geraghty|Harris|Taylor|2009}}</ref>--> ==一般化== [[エタール・コホモロジー]]上の[[ガロア表現]]に含まれる[[ガロア群]]の[[フロベニウス自己準同型|フロベニウス元]]の分布が、一般化と考えられる。特に、種数が n > 1 の曲線についての予想がある。 [[ニック・カッツ]](Nick Katz)と[[ピーター・サルナック]](Peter Sarnak)により開発されたランダム行列モデル<ref>{{Citation |title=Random matrices, Frobenius Eigenvalues, and Monodromy |first=Nicholas M. |last=Katz |name-list-style=amp |first2=Peter |last2=Sarnak |location=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |year=1999 |isbn=0-8218-1017-0 }}</ref> では、フロベニウス元の（ユニタリ化された）特性方程式と、[[コンパクトリー群]] USp(2n) = [[Sp(n)]] 上の[[リー群]]の[[共役類]]との間に対応関係を示した。従って、USp(2n) 上の[[ハール測度]]は分布を与えると予想され、古典的な場合は USp(2) = [[SU(2)]] である。 <!--==Generalisation== There are generalisations, involving the distribution of [[Frobenius element]]s in [[Galois group]]s involved in the [[Galois representation]]s on [[étale cohomology]]. In particular there is a conjectural theory for curves of genus ''n'' > 1. Under the random matrix model developed by [[Nick Katz]] and [[Peter Sarnak]],<ref>{{Citation |title=Random matrices, Frobenius Eigenvalues, and Monodromy |first=Nicholas M. |last=Katz |name-list-style=amp |first2=Peter |last2=Sarnak |location=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |year=1999 |isbn=0-8218-1017-0 }}</ref> there is a conjectural correspondence between (unitarized) characteristic polynomials of Frobenius elements and [[conjugacy class]]es in the [[compact Lie group]] USp(2''n'') = [[Sp(n)|Sp(''n'')]]. The [[Haar measure]] on USp(2''n'') then gives the conjectured distribution, and the classical case is USp(2) = [[SU(2)]].--> ==より詳細な問題== さらに精密な予想として、1976年の[[サージ・ラング]](Serge Lang)と{{仮リンク|ハイル・トロッター|de|Hale Trotter}}(Hale Trotter)による'''ラング・トロッター予想'''(Lang–Trotter conjecture)は、公式の中に現れるフロベニウス元のトレースである値 a<sub>p</sub> が、素数 p に対し決まると、漸近的な数が存在すると言う予想である。<ref>{{Citation |last=Lang |first=Serge |last2=Trotter |first2=Hale F. |year=1976 |title=Frobenius Distributions in GL<sub>2</sub> extensions |location=Berlin |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-07550-X }}</ref> 典型的な例（[[虚数乗法]]を持たず、かつ trace ≠ 0）では、X についての p に対する数値は、ある特別の定数 c が存在して、漸近的に :<math>c \sqrt{X}/ \log X\ </math> に近づく。{{仮リンク|ニール・コブリッツ|en|Neal Koblitz}}(Neal Koblitz)は、1988年、[[楕円曲線暗号]]に動機をもって、素数 q の場合の、E<sub>p</sub> 上の点の数についての詳細な予想を提示した。<ref>{{Citation |last=Koblitz |first=Neal |year=1988 |title=Primality of the number of points on an elliptic curve over a finite field |journal=Pacific Journal of Mathematics |volume=131 |issue=1 |pages=157–165 |mr=89h:11023 |doi=10.2140/pjm.1988.131.157}}.</ref> ラング・トロッター予想は、{{仮リンク|原始根についてのアルティンの予想|en|Artin's conjecture on primitive roots}}(Artin's conjecture on primitive roots)の類似であり、1977年に提唱された。 <!--==More precise questions== There are also more refined statements. The '''Lang–Trotter conjecture''' (1976) of [[Serge Lang]] and [[Hale Trotter]] predicts the asymptotic number of primes ''p'' with a given value of ''a''<sub>''p''</sub>,<ref>{{Citation |last=Lang |first=Serge |last2=Trotter |first2=Hale F. |year=1976 |title=Frobenius Distributions in GL<sub>2</sub> extensions |location=Berlin |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-07550-X }}</ref> the trace of Frobenius that appears in the formula. For the typical case (no [[complex multiplication]], trace ≠ 0) their formula states that the number of ''p'' up to ''X'' is asymptotically :<math>c \sqrt{X}/ \log X\ </math> with a specified constant ''c''. [[Neal Koblitz]] (1988) provided detailed conjectures for the case of a prime number ''q'' of points on ''E''<sub>''p''</sub>, motivated by [[elliptic curve cryptography]].<ref>{{Citation |last=Koblitz |first=Neal |year=1988 |title=Primality of the number of points on an elliptic curve over a finite field |journal=Pacific Journal of Mathematics |volume=131 |issue=1 |pages=157–165 |mr=89h:11023 |doi=10.2140/pjm.1988.131.157}}.</ref> Lang-Trotter conjecture is an analogue of Artin's conjecture on primitive roots, generated in 1977.--> ==脚注== {{Reflist|colwidth=30em}} ==参考文献== * {{Citation|和書 | author = 難波完爾 | contribution = Dedekind {{mvar|η}} 関数と佐藤 {{math|sin{{sup|2}}}}-予想 | title = 第16回数学史シンポジウム報告集 | contribution-url = https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf | format=PDF | year=2006 | series=津田塾大学数学・計算機科学研究所報 | issue=27 | pages=95-167 | publisher=津田塾大学数学・計算機科学研究所 | ref = {{SfnRef|難波|2006}} }} *{{Citation | last=Barnet-Lamb | first=Thomas | last2=Geraghty | first2=David | last3=Harris | first3=Michael | last4=Taylor | first4=Richard | title=A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy. II | year=2009 | accessdate=July 8, 2009 }}, preprint (available [http://www.math.harvard.edu/~rtaylor/cy2fin.pdf here]) *{{Citation | last=Clozel | first=Laurent | last2=Harris | first2=Michael | last3=Taylor | first3=Richard | title=Automorphy for some ''l''-adic lifts of automorphic mod ''l'' Galois representations | journal=Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. | volume=108 | year=2008 | pages=1–181 | doi=10.1007/s10240-008-0016-1 }} *{{Citation | last=Harris | first=Michael | last2=Shepherd-Barron | first2=Nicholas | last3=Taylor | first3=Richard | title=A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy | year=2009 | accessdate=July 8, 2009 }}, preprint (available [http://www.math.harvard.edu/~rtaylor/cyfin.pdf here]) *{{Citation | last=Taylor | first=Richard | title=Automorphy for some ''l''-adic lifts of automorphic mod ''l'' Galois representations. II | journal=Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. | volume=108 | year=2008 | pages=183–239 | doi=10.1007/s10240-008-0015-2 }}, preprint (available [http://www.math.ias.edu/~rtaylor/twugkfin.pdf here]) ==外部リンク== *[http://www.ams.org/mathmedia/archive/10-2006-media.html Report on Barry Mazur giving context] *[http://www.cirm.univ-mrs.fr/videos/2006/exposes/17w2/Harris.pdf Michael Harris notes, with statement (PDF)] *[http://www.mathematik.hu-berlin.de/gradkoll/Carayol_Exp.977.H.C4.pdf ''La Conjecture de Sato–Tate'' [d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor], Bourbaki seminar June 2007 by Henri Carayol (PDF)] {{DEFAULTSORT:さとうていとよそう}} [[Category:楕円曲線]] [[Category:有限体]] [[Category:予想]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:数学のエポニム]]
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