佐藤超函数のソースを表示

{{no footnotes|date=2019年4月}}
[[数学]]における'''佐藤超函数'''（さとうちょうかんすう、{{lang|en|''hyperfunction''}}）は、函数の一般化で、ある[[正則函数]]ともう一つの[[正則函数]]との境界上での「差」:
:<math>f(x)=F(x+\mathrm{i}0)-F(x-\mathrm{i}0)</math><br>
として表される（正則関数<math>F(z)</math>は<math>f(x)</math>の定義関数といい、<math>f(x)=[F(z)]</math>と記す）<ref name="sato">{{harvnb|Sato|1959}}</ref><ref name="sato2">{{harvnb|Sato|1960}}</ref><ref name="world">Jacobs, Bryan. "Hyperfunction." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/Hyperfunction.html</ref><ref name="nlab">[https://ncatlab.org/nlab/show/hyperfunction Hyperfunction in nLab]</ref>。また、略式的には無限位数の極を持つ[[シュワルツ超函数]]と見なすこともできる。佐藤超函数は[[アレクサンドル・グロタンディーク|グロタンディーク]]らの先駆的な仕事の上に1959年に[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]によって導入された<ref name="sato"/><ref name="sato2"/>。誤解のおそれの無い場合、省略して単に超函数と呼ぶことがある<ref name="imai">[[今井功 (物理学者)|今井功]], 応用超関数論I, II. [[サイエンス社]].</ref>。

== 定式化 ==
実数直線 '''R''' 上の佐藤超函数は、[[上半平面]]上のある[[正則函数]]と[[下半平面]]上の別の[[正則函数]]との「差」であると考えられる。従って、佐藤超函数を上半平面上の正則函数 ''f'' と下半平面上の正則函数 ''g'' との対 (''f'', ''g'') として定義することができる。

厳密ではないが、実数直線そのものの上では佐藤超函数はちょうど[[正則函数]]の差 ''f'' &minus; ''g'' になっているはずである。この差は同じ正則函数を ''f'', ''g'' の双方に同時に加えても変化しない。そこで[[ガウス平面]] '''C''' の全域で正則な函数 ''h'' に対して、佐藤超函数 (''f'', ''g'') と (''f'' + ''h'', ''g'' + ''h'') とは同値な佐藤超函数であると定める。

=== 一変数佐藤超函数の定義 ===
前節で述べたような目的は具体的には[[層係数コホモロジー]]を考えることで実現することができる。'''C''' 上の[[正則函数]]全体の成す[[層 (数学)|層]]を <math>\mathcal{O}</math> とするとき、[[実数直線]]上の佐藤超函数の全体を一次の{{ill2|局所コホモロジー|en|local cohomology}}群

:<math>\mathcal{B}(\mathbb{R}) = H^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}, \mathcal{O}),</math>

で定義する。これは実際、'''C'''<sup>+</sup> および '''C'''<sup>&minus;</sup> をそれぞれ[[上半平面]]および[[下半平面]]とすると、

:<math>\mathbb{C}^+ \cup \mathbb{C}^- = \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}</math>

ゆえ

:<math>H^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}, \mathcal{O}) = [ H^0(\mathbb{C}^+, \mathcal{O}) \oplus H^0(\mathbb{C}^-, \mathcal{O})] /H^0(\mathbb{C}, \mathcal{O})</math>

と書き直すことができるが、任意の層について零次コホモロジー群は単にその層の大域切断の全体であるから、この定義によって与えられる佐藤超函数が、ガウス平面全域で正則な函数を加える違いを除いて、上半平面および下半平面それぞれのうえの正則函数のひと組として得られていることが確認できる。

== 例 ==
* ''f'' がガウス平面全域で正則な函数ならば、''f'' の実軸上への制限はその表現が (''f'', 0) あるいは (0, &minus;''f'') で与えられる佐藤超函数である。
* [[ディラックのデルタ函数|ディラックのデルタ「函数」]]は<div style="margin:1ex auto 1ex 3em"><math>
 \left(-\frac{1}{2\pi iz},-\frac{1}{2\pi iz}\right)
</math></div>で与えられる<ref name="world"/><ref name="nlab"/>。これは[[コーシーの積分公式]]の言い換えである。
* ''g'' が有界区間 ''I'' に含まれる台を持つ実数直線上の連続函数（あるいはもっと一般にシュワルツ超函数）ならば、''g'' は佐藤超函数 (''f'', &minus;''f'') に対応する。ここでいう ''f'' は区間 ''I'' の補集合上で定義される正則函数で<div style="margin:1ex auto 1ex 3em"><math>
 f(z)={1\over 2\pi i}\int_{x\in I} g(x){dx\over z-x}
</math></div>で与えられるものである。この ''f'' は実軸上を点 ''x'' を通って横切るとき、''g''(''x'') だけ値が跳ぶ函数になっている。''f'' に対するこの公式は ''g'' を ''g'' 自身とディラックデルタとの[[畳み込み]]と見ることにより、一つ前の例から従う。
* ''f'' が ''z'' = 0 を[[真性特異点]]にもつ以外は至る所正則な函数（たとえば ''e''<sup>1/''z''</sup>）とすると (''f'', &minus;''f'') は {0} を台に持つ、シュワルツ超函数ではない佐藤超函数である。''f'' が ''z'' = 0 に有限位数の極を持つならば (''f'', &minus;''f'') はシュワルツ超函数となるから、''f'' が真性特異点を持つ場合の (''f'', &minus;''f'') は ''z'' = 0 に「無限位数の極を持つシュワルツ超函数」であるかのようにも見える（シュワルツ超函数は常に各点で有限位数を持つことに注意）。

==数値解析との関係==
佐藤超函数を使って高精度な[[数値積分]]ができる<ref>{{Cite journal|和書|author=緒方秀教, 平山弘 |year=2016 |url=https://doi.org/10.11540/jsiamt.26.1_33 |title=数値積分に対する超函数法 |journal=日本応用数理学会論文誌 |ISSN=2424-0982 |publisher=日本応用数理学会 |volume=26 |issue=1 |pages=33-43 |doi=10.11540/jsiamt.26.1_33 |CRID=1390001205769013120}}</ref><ref>緒方秀教、「[https://doi.org/10.11540/bjsiam.27.4_8 佐藤超函数論に基づく数値解析]」 『応用数理』 2017年 27巻 4号 p.8-15, {{doi|10.11540/bjsiam.27.4_8}},日本応用数理学会</ref>他、[[ガウス求積]]を導出できることが示されている<ref name="mori">{{Cite journal|和書|author=[[森正武]] |date=1972-05 |url=https://hdl.handle.net/2433/106735 |title=数値解析と超函数論 (超函数論と偏微分方程式の理論) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=145 |pages=1-11 |hdl=2433/106735 |CRID=1050282810628520576}}</ref>。また、森正武は数値解析と佐藤超函数の関係について次のように述べている<ref name="mori"/>。
{{Quote
|text=[[補間]], [[:en: numerical differentation|数値微分]], [[数値積分]], [[フーリエ解析]]のような[[数値解析]]の基礎的な問題を超函数論の立場から眺めてみると, 統一的な取り扱いが可能になる上に, 誤差評価などにおいて実用上有効な方法を得ることができる.
}}

==出典==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
===英文===
* {{citation|last=Hörmander|first=Lars|authorlink=ラース・ヘルマンダー|title=The analysis of linear partial differential operators, Volume I: Distribution theory and Fourier analysis|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin|year=2003|isbn=3-540-00662-1}}.
* {{citation|last=Sato|first=Mikio|authorlink=佐藤幹夫 (数学者)|title=Theory of Hyperfunctions, I|url=https://hdl.handle.net/2261/6027|journal=東京大學理學部紀要. 第1類, 數學, 天文學, 物理學, 化學|volume=8|year=1959|issue=1|pages=139–193|ref={{harvid|Sato|1959}}}}
* {{citation|last=Sato|first=Mikio|authorlink=佐藤幹夫 (数学者)|title=Theory of Hyperfunctions, II|url=https://hdl.handle.net/2261/6031|journal=東京大學理學部紀要. 第1類, 數學, 天文學, 物理學, 化學|volume=8|year=1960|issue=2|pages=387–437|ref={{harvid|Sato|1960}}}}
* Imai, I. Applied Hyperfunction Theory. Amsterdam, Netherlands: Kluwer, 1992.
* Morimoto, M. (1993). An introduction to Sato's hyperfunctions. [[:en:American Mathematical Society]].
* Generalized Functions, Volume 1: Properties and Operations, I. M. Gelfand, G. E. Shilov.
* Gelfand, I. M., & Šilov, G. E. (1968). Generalized functions. Vol. 2, Spaces of fundamental and generalized functions. [[:en:Academic Press]].
* Gelfand, I. M., & Shilov, G. E. (1967). Generalized functions. Vol. 3: Theory of differential equations. New York: [[:en:Academic Press]].
* Gelfand, I. M., & Shilov, G. E. (1964). Generalized functions, Vol. 4: applications of harmonic analysis. [[:en:Academic Press]].
* Gelfand, I. M., Graev, M. I., & Vilenkin, N. I. (1966). Generalized Functions-Volume 5. Integral Geometry and Representation Theory. [[:en:Academic Press]].

===和文===
* {{Cite journal|和書|author=小松彦三郎, 矢野環 |date=1973-10 |url=https://hdl.handle.net/2433/107215 |title=佐藤超函数論入門 (佐藤超函数論入門) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=188 |pages=1-157 |hdl=2433/107215 |CRID=1050282677088665728 |quote=まえがき・目次等を追加158ページ以降を削除(2023-02-06).}}
* {{cite book|和書|author=金子晃 |title=超函数入門 |publisher=東京大学出版会 |year=1996 |edition=新版 |ISBN=4130613006 |id={{国立国会図書館書誌ID|000002541621}} |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002541621}}
* {{cite book|和書|author=岡本清郷 |title=フーリエ解析の展望 |publisher=朝倉書店 |year=1997 |series=すうがくぶっくす |ISBN=4254114931 |id={{国立国会図書館書誌ID|000002649520}} |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002649520}}
* {{cite book|和書|author=森本光生 |title=復刊佐藤超函数入門 |publisher=[[共立出版]] |date=2000 |ISBN=4320016599 |id={{国立国会図書館書誌ID|000002922937}} |quote=1976年に『共立講座現代の数学』第20巻として発行したものを単行本として改装発行したもの}}

== 関連項目 ==
* [[超関数]]

== 外部リンク ==
* [http://www.uec-ogata-lab.jp/research/research1/ 佐藤超函数論に基づく数値解析]
* [http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/complex2/hyperfunction.pdf 佐藤超関数の紹介]{{リンク切れ|date=2024-05}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:さとうちようかんすう}}
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[[Category:複素解析]]
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[[Category:超関数]]
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[[Category:数学のエポニム]]

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