体の拡大のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年7月}}
[[抽象代数学]]のとくに[[体論]]において'''体の拡大'''（たいのかくだい、{{lang-en-short|field extension}}）は、体の構造や性質を記述する基本的な道具立ての一つである。

体の拡大の理論において、通常は[[非可換体|非可換な体]]を含む場合を扱わない（そのようなものは代数的数論に近い[[非可換環]]論あるいは[[多元環]]論の範疇に属す）。ただし、非可換体（あるいはもっと一般の[[環論|環]]）の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として（可換な）体構造をもつとき、元の非可換体の（可換）部分体と呼び、元の非可換体を（非可換）拡大体と呼ぶことがある。

以下本項では特に断りの無い限り、体として可換体のみを扱い、単に体と呼称する。

== 定義 ==
{{right|<math style="float:left; margin:1em;">\begin{matrix}K\\|\\k\end{matrix}</math>}}
[[可換体|（可換）体]]の組 {{mvar|K, k}} が与えられるとき、'''体の拡大 {{mvar|K/k}}''' {{efn|記号 {{mvar|K/k}} において、記法 "{{mvar|/k}}" は「体 ''k'' 上の」({{en|''over {{mvar|k}}''}}) という意味であり、これはなんらかの[[商代数系]]や割り算を意味するものではない。{{要出典範囲|一方で ''K''/''k'' を剰余群や商環などと同様の商構造と見ることもできる。''K'' を ''k'' 上のベクトル空間と思えば、[[商集合]]としての ''K''/''k'' は ''K'' の ''k'' 上の基底にあたるものであり、''K'' がある ''k'' 係数多項式の分解体ならば、''K''/''k'' は多項式の根全体の集合と見なされる。また ''k''-自己同型群 Aut(''K''/''k'') は商集合としての ''K''/''k'' 上に[[対称群|置換]]として[[群の作用|作用]]する。特に拡大 ''N''/''k'' が多項式に分解によって得られる正規拡大ならば、ガロア群 Gal(''N''/''k'') は多項式の根の置換によって定まる対称群の部分商である。|date=2017年5月}}}}とは、''k'' は ''K'' に[[部分集合|集合として含まれ]]{{efn|上の体が厳密な意味では下の体を含んでいない場合にも、体の拡大と呼ぶことがある。つまり、適当な埋め込み写像が与えられていて、その埋め込まれた像を下の体として体の拡大を考えるとき、埋め込みの像と原像とを同一視して扱うのである。}}、''k'' の体[[代数的構造|構造]]が ''K'' の体構造の制限として得られる構造に一致していることをいう。またこのとき、''k'' は ''K'' の'''部分体'''（ぶぶんたい、<em lang=en>subfield</em>）、'''基礎体'''（きそたい）あるいは'''下にある'''体であるといい、''K'' は ''k'' の'''拡大体'''（かくだいたい、<em lang=en>extension field</em>）{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/42}} 67]}}{{Sfn|ブルバキ|1968|p=[{{NDLDC|1382559/72}} 128]}}あるいは'''上にある'''体であるという。

同じことだが、可換体 ''K'' が体 ''k'' を集合として含み、かつ ''k''-[[体上の多元環|多元環]]の構造をもつとき ''K''/''k'' を体の拡大という。後の条件のないときは拡大体といわず'''上体'''と呼ぶ流儀もある。いずれの場合も上にあるとか下にあるとかといった言い回しは用いて構わない。多元環は積を持つ[[ベクトル空間]]であるから、拡大 ''K''/''k'' において上の体 ''K'' を下の体 ''k'' 上のベクトル空間と見なすことができる。''k'' ベクトル空間としての ''K'' の[[次元 (線型代数学)|次元]]のことを拡大 ''K''/''k'' の'''次数'''（じすう、<span lang=en>degree of field extension</span>）といい、{{math|[''K'' : ''k'']}} などで表す{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/43}} 68]}}。特に、体 ''K'' が有限次元 ''k'' ベクトル空間なら、拡大 ''K''/''k'' は'''[[有限次拡大]]'''であるといい、そうでないとき'''無限次元拡大'''という。

== 中間体 ==
{{right|<math style="float:left; margin:1em;">\begin{matrix} K\\ |\\ M\\ |\\ k \end{matrix}</math>}}
''K'', ''M'', ''k'' が体で ''K''/''M'' および ''M''/''k'' がともに体の拡大であるとき ''K''/''M''/''k'' と書いて体の'''拡大の列'''と言い、''M'' を拡大 ''K''/''k'' の'''中間体'''（ちゅうかんたい、<em lang=en>intermediate field</em>）{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/42}} 67]}}という。
{{right|<math style="float:right; margin:1em;">\begin{matrix} \bar{k} \\ | \\ K \\ | \\ MN \\ \diagup\quad\diagdown \\ M \qquad\quad N \\ \diagdown\quad\diagup \\ M\cap N \\ | \\ k \end{matrix}</math>}}
もし ''M'', ''N'' がともに ''K''/''k'' の中間体なら、共通部分 ''M'' &cap; ''N'' もふたたび ''K''/''k'' の中間体となる。とくに、''K'' の部分集合 ''E'' と ''k'' に対して、''E'' と ''k'' とをともに含む最小の体が存在する。これを ''k'' に ''E'' を'''添加'''（てんか、<em lang="en">adjunction</em>）した体とよび ''k''(''E'') のように表す{{Sfn|ブルバキ|1969|pp=[{{NDLDC|1383302/43}} 69-70]}}。また、部分体 ''M'' に対し ''M'' = ''k''(''E'') となるとき、''M'' は ''E'' によって ''k'' 上[[生成 (数学)|生成]]された体であるといい、''E'' を ''M'' の ''k'' 上の生成系とも呼ぶ{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/44}} 70]}}。中間体 ''M'', ''N'' に対して和集合 ''M'' &cup; ''N'' は必ずしも体とはならないが、''M'' &cup; ''N'' を含む最小の体 ''MN'' := ''M''(''N'') = ''N''(''M'') を ''M'' と ''N'' の'''[[合成体]]'''と呼ぶ。

[[代数閉包]]の（同型を除く）一意性から、通常はある体 ''k'' の拡大を考えるときには、''k'' の代数閉包 <span style="text-decoration:overline">''k''</span> を一つ固定し、''k'' の任意の拡大は代数閉包 <span style="text-decoration:overline">''k''</span> に含まれる中間体であるものとして議論を進めることが多い。

''k'' に有限集合 ''E'' = {''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>} を添加した体 ''k''(''E'') は ''k'' 上'''有限生成'''あるいは ''k'' 上有限型であるといわれ、''k''(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) とも略記される。特に生成系が一元集合 ''E'' = {''&alpha;''} のとき、''k''(''&alpha;'') を ''k'' に ''&alpha;'' を添加して得られる'''[[単拡大]]'''あるいは'''単純拡大'''（たんじゅんかくだい、<em lang=en>simple extension</em>）という。一般に、有限とは限らない集合 ''E'' を添加するとき、
: <math>k(E) = \varinjlim_{F} k(F) = \bigcup_F k(F)</math>
となる。ただし、''F'' は包含関係による[[帰納系]]と見た ''E'' の有限部分集合全体を動く。
{{right|<math style="float:right; margin:1em;">\begin{matrix} K\\ |\\ k(E) \\ | \\ k[E] \\ |\\ k \end{matrix}</math>}}
有限生成拡大体 ''k''(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) は、''k'' 上の ''n'' 個の[[不定元]] ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> に関する[[多項式]]を使って、
: <math>k(a_1,\ldots,a_n) = \left\{\left.
 \frac{f(a_1,\ldots,a_n)}{g(a_1,\ldots,a_n)}\ \right| f,g \in k[x_1,\ldots,x_n]
\right\}</math>
の形に表すことができる。これは、''k''(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) が
: <math>k[a_1,\ldots,a_n] := \{f(a_1,\ldots,a_n)\mid f \in k[x_1,\ldots,x_n]\}</math>
によって定まる ''k'' 上の環（これは ''k'' と ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> を含む最小の環で、''k'' 上 ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> で生成される環と呼ばれる）の[[商体]]であることを意味する。

== 代数拡大・超越拡大 ==
''K''/''k'' を体の拡大とするとき、''K'' の元 ''&alpha;'' が ''k'' 上'''代数的'''（だいすうてき、<span lang=en>algebraic over ''k''</span>）であるとは、''k'' 係数[[多項式]] ''f''(''X'') で ''&alpha;'' が ''f''(''X'') の[[多項式の根|根]]となるようなものが存在するときにいう{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/46}} 74]}}。''k'' 上代数的な ''K'' の元 ''&alpha;'' を根に持つ ''k'' 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを ''&alpha;'' の ''k'' 上の'''[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]'''（さいしょうたこうしき、<span lang=en>minimal polynomial</span>）とよび{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/46}} 75]}}、{{math|Irr(&alpha;, ''k'', ''X'')}} のように記す。拡大 ''K''/''k'' で ''K'' の各元がすべて''k'' 上代数的であるとき、拡大 ''K''/''k'' は'''代数的'''であるといい{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/47}} 77]}}、''K'' を ''k'' の'''[[代数拡大]]'''体という。拡大 ''T''/''k'' が''k'' 上代数的でないとき、拡大 ''T''/''k'' は'''[[超越拡大|超越的]]'''（ちょうえつてき、<span lang=en>transcendencial</span>）であるという{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/47}} 77]}}。''T'' の元 ''t'' は''k'' 上代数的でないとき ''k'' 上の'''超越元'''という。''t'' が''k'' 上超越的であることは、「''k'' 上の多項式 ''f''(''X'') が ''f''(''t'') = 0 となるならば ''f'' = 0 である」ことと同値であり「''k'' に ''t'' を添加した体 ''k''(''t'') は一変数代数関数体 ''k''(''X'') に同型である」こととも同値である。拡大 ''T''/''k'' が超越的であることは、''k'' 上超越的な ''T'' の元 ''t'' が少なくともひとつ存在する事と同値である。

拡大 ''K''/''k'' が与えられたとき、''K'' の元 &alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, ..., &alpha;<sub>''n''</sub> に対して、恒等的に 0 でない ''n'' 変数の ''k'' 係数多項式 ''F''(''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>) で ''F''(&alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, ..., &alpha;<sub>''n''</sub>) = 0 を満たすものが存在するとき、&alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, ..., &alpha;<sub>''n''</sub> は'''代数的従属''' (<span lang=en>algebraically dependent</span>) であるといい、そうでないとき'''代数的独立''' (<span lang=en>algebraically independent</span>) であるという。

超越拡大 ''T''/''k'' に対し、''T'' の ''k'' 上代数的独立な元からなる部分集合 ''B'' で拡大 ''T''/''k''(''B'') が代数的となるとき、''B'' は ''T'' / ''k'' のあるいは ''T'' の ''k'' 上の'''超越基'''または'''超越基底'''（ちょうえつきてい、<span lang=en>transcendencial basis</span>）{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/53}} 89]}}という。[[ツォルンの補題]]（''T'' が ''k'' 上有限生成の場合は帰納法）により、超越基底は常に存在する{{sfn|Morandi|1996|p=177|loc=Theorem 19.14}}。とくに、超越拡大 ''T''/''k'' がその超越基底 ''B'' によって ''T'' = ''k''(''B'') と表されるならば、拡大は'''純超越的'''であるという。また、超越基底 ''B'' の[[濃度 (数学)|濃度]]はその取り方によらず一定であることが証明できるので{{sfn|Morandi|1996|p=178|loc=Theorem 19.15}}、これを ''T'' の ''k'' 上の'''[[超越次数]]'''（ちょうえつじすう、<span lang=en>transcendencial degree</span>）あるいは'''[[次元]]'''（じげん、{{lang|en|dimension}}）といい、deg<sub>''k''</sub>''T'' あるいは trans.deg<sub>''k''</sub>''T'' などと表す。例えば、[[代数函数体]] ''k''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) は ''k'' 上 ''n''-次元の純超越拡大体である。

有限次拡大はすべて代数拡大であり{{sfn|Morandi|1996|p=10|loc=Corollary 1.22}}、また超越拡大はかならず無限次元拡大である。しかしそれぞれ逆はいえない、つまり無限次元の代数拡大が存在する{{sfn|Morandi|1996|p=14|loc=Problem 16}}。

== 正規拡大・分離拡大・ガロア拡大 ==
代数拡大 {{mvar|K/k}} が'''[[正規拡大]]''' (normal extension) であるとは、多項式環 {{math|''k''[''X'']}} において {{mvar|K}} に根をもつすべての[[既約多項式]]が一次式の積に分解されることをいう{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/60}} 102]}}。すべての代数拡大 {{mvar|K/k}} は正規閉包 {{mvar|L}}―つまり拡大 {{mvar|L/K}} のうち {{mvar|L/K}} が正規となる最小の拡大体―をもつ。

代数拡大 {{mvar|K/k}} が'''[[分離拡大]]''' (separable extension) であるとは、体 {{mvar|K}} のすべての元の最小多項式が分離的である―つまり {{mvar|k}} の[[代数的閉包]]において重根をもたない―ことをいう{{Sfn|ブルバキ|1969|pp=[{{NDLDC|1383302/65}} 113-114]|ps=. 命題9及び命題10の系1参照。}}。[[原始元定理]]からわかることとして、すべての有限次分離拡大は単純拡大であることがある{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/66}} 115]}}。

[[File:Lattice diagram of Q adjoin the positive square roots of 2 and 3, its subfields, and Galois groups.svg|thumb|ガロア対応の例]]
'''[[ガロア拡大]]''' (Galois extension) とは正規かつ分離的な拡大体のことである{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/75}} 133]}}。体の拡大 {{mvar|K/k}} が与えられたとき、自己同型群 {{math|Aut(''K''/''k'')}} を考えることができる；これは {{mvar|k}} の各元を固定するすべての[[#拡大の準同型|体の準同型]]からなる。ガロア拡大に対してはこの自己同型群は拡大の[[ガロア群]]と呼ばれる{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/75}} 133]}}。またガロア群がアーベル群となるような拡大は[[アーベル拡大]]と呼ばれる。体の拡大が与えられたとき、その中間体にしばしば興味がある。ガロア拡大とガロア群の著しい特徴は中間体の記述が完全にできることである：[[ガロア理論の基本定理]]で述べられているように中間体とガロア群の部分群の間には全単射が存在する{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/78}} 139]|ps=. 無限次ガロア拡大の場合は p. 174。}}。

== 拡大の準同型 ==
体の準同型というのは、体を単位的環とみなしたときの単位的環の準同型で、体の単純性から単射となるため通常は中への同型と呼ばれる。一方、拡大 ''K''/''k'' が与えられたとき、上の体 ''K'' に下の体 ''k'' が特別な構造として備わっていると考えて、''K'' の自己準同型の中でも ''k'' に自明に作用するものが特別に扱われる（これは ''K'' を ''k'' 上の多元環とみたときの ''k''-多元環の自己準同型である）。

''K'' の自己準同型 ''f'' によって ''k'' の元が動かされないということは、''k'' の零でない元が ''f'' で零に写されることが無いので、そのような ''f'' は零準同型にならず、さらに拡大 ''K''/''k'' が有限次拡大ならば、''f'' は上への同型になる。''k'' の元を動かさない ''K'' の自己同型を、''K'' における ''k'' 上の同型あるいは '''''k''-同型'''という{{Sfn|ブルバキ|1969|p=[{{NDLDC|1383302/43}} 69]}}。また、拡大 ''K''/''k'' 上の[[自己同型]]ということもある。''K'' の ''k'' 同型全体を {{math|Aut(''K''/''k'')}} または {{math|Aut<sub>''k''</sub>(''K'')}} などで表す。Aut(''K''/''k'') は写像の合成を積として群をなし、''K'' の ''k''-自己同型群と呼ばれる。また、拡大 ''N''/''k'' が[[正規拡大|正規]]ならば ''k''-[[自己同型群]] Aut(''N''/''k'') を特に拡大 ''N''/''k'' の[[ガロア群]]と呼んで、{{math|Gal(''N''/''k'')}} や {{math|''G''(''N''/''k'')}} と記す。

なお一般に二つの拡大 ''K''/''k'' と ''L''/''l'' があって、上の体の中への同型 ''f'': ''K'' &rarr; ''L'' と下の体の中への同型 ''g'': ''k'' &rarr; ''l'' が与えられるとき、
:<math>\begin{matrix}
\qquad f\colon & K & \to & L \\
 & | & & | \\
g = f|_{k}\colon & k & \to & l
\end{matrix}</math>
''f'' の ''k'' への制限 ''f''|<sub>''k''</sub> がちょうど ''g'' となるなら ''f'' を ''g'' の上にある ''K'' 上の（''L'' の中への）同型あるいは拡大 ''K''/''k'' から ''L''/''l'' への準同型という。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|25em}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1      = Morandi
|first1     = P.
|year       = 1996
|title      = Field and Galois Theory
|series     = Graduate Texts in Mathematics
|volume     = 167
|url        = {{google books|x_DjBwAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer-Verlag
|isbn       = 978-1-4612-8475-8
|mr         = 1410264
|zbl        = 0865.12001
|doi        = 10.1007/978-1-4612-4040-2
|ref        = harv
}}
* {{Cite book|和書
|author      = ニコラ・ブルバキ
|author-link = ニコラ・ブルバキ
|year        = 1968
|title       = 代数 1
|others      = [[銀林浩]]・[[清水達雄 (数学者)|清水達雄]]訳
|series      = ブルバキ数学原論 第5
|publisher   = 東京図書
|id          = {{NDLDC|1382559|format=NDLJP}}
|ref         = {{SfnRef|ブルバキ|1968}}}}（第1章）
* {{Cite book|和書
|author    = ニコラ・ブルバキ
|year      = 1969
|title     = 代数 4
|others    = [[倉田令二朗]]・清水達雄訳
|series    = ブルバキ数学原論 第8
|publisher = 東京図書
|id        = {{NDLDC|1383302|format=NDLJP}}
|ref       = {{SfnRef|ブルバキ|1969}}}}（第4章、第5章）

== 関連項目 ==
* [[可換体]]
* [[体論]]
* {{仮リンク|環の拡大|en|ring extension}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|2713|体の基礎用語～拡大体と拡大次数}}
* {{MathWorld|urlname=ExtensionField|title=Extension Field}}
* {{PlanetMath|urlname=ExtensionField|title=extension field}}
* {{SpringerEOM|urlname=Extension_of_a_field|title=Extension of a field}}
* {{nlab|id=field+extension|title=field extension}}

{{Abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:たいのかくたい}}
[[Category:体の拡大|*]]
[[Category:数学に関する記事]]