体積予想のソースを表示

[[結び目理論]]という数学の分野では、'''体積予想'''(volume conjecture)は、次のように結び目の[[量子不変量]]と[[結び目補空間]]の[[双曲幾何学]]とを関係付ける予想である。

''O'' で[[自明な結び目]]を表すとする。任意の結び目 ''K'' に対し、<math>\langle K\rangle_N</math> で <math>K</math> のカシャエフ(Kashaev)不変量を表す。カシャエフの不変量は、<math>K</math> の [[ジョーンズ多項式#色付きジョーンズ多項式|<math>N</math>-色付きジョーンズ多項式]] <math>J_{K,N}(q)</math> の評価式
: {{NumBlk|:|<math>\langle K\rangle_N=\lim_{q\to e^{2\pi i/N}}\frac{J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}.</math>|{{EquationRef|1}}}}
と一致する。体積予想は、
: {{NumBlk|:|<math>\lim_{N\to\infty} \frac{2\pi\log |\langle K\rangle_N|}{N} = \operatorname{vol}(K), \, </math>|{{EquationRef|2}}}}
という予想である。ここに、vol(''K'') は [[3次元球面]]の中の K の補空間の[[双曲体積]]である。

== カシャエフの観察 ==

{{harvtxt|Kashaev|1997}} では、結び目 <math> K </math> のある状態和の漸近的振る舞いが、結び目補空間の[[双曲体積]] <math>\operatorname{vol}(K)</math> を与えることに気づき、結び目 <math>4_1, 5_2, 6_1</math> に対し、このことが正しいことを確かめた。そして、彼は、一般の{{仮リンク|双曲結び目|en|hyperbolic knot}}(hyperbolic knot)に対し、式 (2) が成り立つことを予想した。彼の結び目 <math>K</math> に対する不変量は、1 の <math>N</math>-乗根 <math>q=\exp{(2\pi i/N)}</math> での{{仮リンク|量子二重対数|en|quantum dilogarithm}}(quantum dilogarithm)を基礎としている。

== 色付きジョーンズ不変量 ==

{{Harvtxt|Murakami|Murakami|2001}} は、初めて、カシャエフの予想がジョーンズ多項式と関係することを、''q'' を 1 の 2''N'' 乗根、つまり、<math>\exp{\frac{i\pi}{N}}</math> で置き換えることにより示した。彼らは、{{仮リンク|R-行列|en|R-matrix}}(R-matrix)を、2つの値の同値性に対して離散フーリエ変換として使った。

体積予想は[[結び目理論]]にとって重要である。この論文のセクション 5 では、
: 体積予想が正しいとすると、ある結び目のすべての[[有限型不変量|ヴァシリエフ（有限型）不変量]]が[[自明な結び目]]のヴァシリエフ不変量に一致していれば、その結び目は自明である
ということが述べられている。

== チャーン・サイモンズ理論との関係 ==

複素数化を使い、{{harvtxt|Murakami|Murakami|Okamoto|Takata|2002}}は、式 (1) を、
: {{NumBlk|:|<math>\lim_{N\to\infty} \frac{2\pi\log |\langle K\rangle_N|}{N} = \operatorname{vol}(S^3\backslash K) +\ CS(S^3\backslash K) </math>|{{EquationRef|3}}}}
へ書き換えた。ここに <math>CS(S^3\backslash K)</math> は[[チャーン・サイモンズ理論|チャーン・サイモンズ]]不変量と呼ばれる。彼らは、複素数化された色付きジョーンズ多項式とチャーン・サイモンズ理論との間に明確な関係があることを、数学的な観点から示した。

==参考文献==
*{{citation
 | last = Kashaev | first = Rinat M.
 | doi = 10.1023/A:1007364912784
 | arxiv = q-alg/9601025 
 | issue = 3
 | journal = Letters in Mathematical Physics
 | pages = 269–275
 | title = The hyperbolic volume of knots from the quantum dilogarithm
 | volume = 39
 | year = 1997}}.
*{{citation
 | last1 = Murakami | first1 = Hitoshi
 | last2 = Murakami | first2 = Jun
 | doi = 10.1007/BF02392716
 | arxiv = math/9905075 
 | issue = 1
 | journal = Acta Mathematica
 | pages = 85–104
 | title = The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot
 | volume = 186
 | year = 2001}}.
*{{citation
 | last1 = Murakami | first1 = Hitoshi
 | last2 = Murakami | first2 = Jun
 | last3 = Okamoto | first3 = Miyuki
 | last4 = Takata | first4 = Toshie
 | last5 = Yokota | first5 = Yoshiyuki
 | doi = 10.1080/10586458.2002.10504485
 | arxiv = math/0203119 
 | issue = 1
 | journal = Experimental Mathematics
 | pages = 427-435
 | title = Kashaev’s conjecture　and the Chern-Simons invariants of knots and links
 | volume = 11
 | year = 2002}}.
*{{citation
 | last1 = Gukov | first1 = Sergei
 | doi = 10.1007/s00220-005-1312-y
 | arxiv = hep-th/0306165 
 | issue = 1
 | journal = Commun. Math. Phys.
 | pages = 557-629
 | title = Three-Dimensional Quantum Gravity,　Chern-Simons Theory, And　The A-Polynomial　
 | volume = 255
 | year = 2005}}.

{{Knottheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:たいせきよそう}}
[[Category:結び目理論]]
[[Category:数学に関する記事]]