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{{要改訳}}
[[微分可能多様体]](differentiable manifold)上の'''体積形式'''(volume form)とは、多様体上至る所 0 とはならない最高次数の[[微分形式]]のことである。特に、次元が ''n'' の多様体 ''M'' 上では、体積形式は至る所 0 にはならない[[直線束]] <math>\Omega^n(M)=\bigwedge^n(T^*M)</math> の[[切断 (ファイバーバンドル)|切断]](section) である ''n''-形式である。なお、多様体が体積形式を持つことと、[[向き付け可能]]であることとは同値である。体積形式に、0 とはならない函数を掛けると再び体積形式となることから、向き付け可能な多様体は無限個の体積形式を持つ。向き付け不可能な多様体上には、代わりに、{{仮リンク|多様体の密度|en|Density on a manifold}}(density)というより弱い考え方がある。

体積形式は、微分可能多様体上の[[函数]]の積分を定義する方法をもたらす。言い換えると、体積形式は[[測度 (数学)|測度]]をもたらし、この測度に関して函数は適切な[[ルベーグ積分]]により積分することができる。体積形式の絶対値は、[[体積要素]](volume element)であり、'''ツイストした体積形式'''(twisted volume form)や'''擬体積形式'''(pseudo-volume form)などとも呼ばれる。これも測度を定義するが、向き付け可能か否かに関係なく任意の可微分多様体上に存在する。

[[複素多様体]]である[[ケーラー多様体]]は、自然に向き付け可能であるので、体積形式を持っている。さらに一般的には、[[シンプレクティック多様体]]上のシンプレクティック形式の ''n''-次[[外冪]](exterior power)は、体積形式である。多様体の多くのクラスが標準的な体積形式を持つ。これらは事前に選ばれた体積形式を持つ程度の余剰な構造を持っている。向き付け可能な[[リーマン多様体]]や[[擬リーマン多様体]]は標準的な体積形式を持つ。
<!--In [[mathematics]], a '''volume form''' on a [[differentiable manifold]] is a nowhere-vanishing top-dimensionial form (i.e., a [[differential form]] of top degree).   Thus on a manifold ''M'' of dimension ''n'', a volume form is an ''n''-form, a [[section (fiber bundle)|section]] of the [[line bundle]]  &Omega;<sup>''n''</sup>(''M'')&nbsp;=&nbsp;&Lambda;<sup>''n''</sup>(''T''<sup>&lowast;</sup>''M''), that is nowhere equal to zero.  A manifold has a volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a non-vanishing function yields another volume form. On non-orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a [[Density on a manifold|density]].

A volume form provides a means to define the [[integral]] of a [[Function (mathematics)|function]] on a differentiable manifold.  In other words, a volume form gives rise to a [[measure (mathematics)|measure]] with respect to which functions can be integrated by the appropriate [[Lebesgue integral]].  The absolute value of a volume form is a [[volume element]], which is also known variously as a ''twisted volume form'' or ''pseudo-volume form''.  It also defines a measure, but exists on any differentiable manifold, orientable or not.

[[Kähler manifold]]s, being [[complex manifold]]s, are naturally oriented, and so possess a volume form.  More generally, the ''n''th [[exterior power]] of the symplectic form on a [[symplectic manifold]] is a volume form. Many classes of manifolds have canonical volume forms: they have extra structure which allows the choice of a preferred volume form.  Oriented [[Riemannian manifold]]s and [[pseudo-Riemannian manifold]]s have an associated canonical volume form.-->

== 向き付け ==
すべての{{仮リンク|座標地図|label=局所座標系|en|coordinate atlas}}(coordinate atlas)の変換函数が正の[[ヤコビ行列|ヤコビ行列式]]をもつとすると、多様体は[[向き付け可能]]となる。そのような座標の選び方のうち、最大のものが M の向き付けを定義する。M 上の体積形式 &omega; は、ユークリッド体積形式 <math>dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math> の正の値をかけたものへ &omega; を変換する局所座標系として、自然に向きを決める。

M 上の特別に選ばれた{{仮リンク|移動標構|label=標構|en|moving frame}}(frames)も、体積形式は持っている。
:<math>\omega(X_1,X_2,\dots,X_n) > 0</math>
であれば、接ベクトルの基底 (X<sub>1</sub>,...,X<sub>n</sub>) が右手系である。

右手系のすべての標構の集まりは、正の行列式を持つ n 次元写像である[[一般線型群]] GL<sup>+</sup>(n) による[[群作用]]である。それらは、M の{{仮リンク|線型標構バンドル|en|linear frame bundle}}(linear frame bundle)の[[主バンドル|主 GL<sup>+</sup>(n) 部分バンドル]]を形成し、体積形式に付帯する向きは、M の標構バンドルから構造群 GL<sup>+</sup>(n) をもつ部分バンドルへの標準的なリダクションを与える。いわば、体積形式は M 上の {{仮リンク|G-構造|label=GL<sup>+</sup>(n)-構造|en|G-structure}}(GL<sup>+</sup>(n)-構造を与える。さらに、リダクションは、

{{NumBlk|:|<math>\omega(X_1,X_2,\dots,X_n) = 1</math>|{{EquationRef|1}}}}

をとる標構を考えることにより、一層明らかとなる。

このように、体積形式は SL(n)-構造を与える。逆に、SL(n)-構造が与えられると、特殊線型標構の式 ({{EquationNote|1}}) を導入することにより、体積形式を再現することができる。

多様体が向き付け可能であることと、体積形式をもつこととは同値である。実際、正の実数をスカラー計量として埋め込むと、GL<sup>+</sup>&nbsp;=&nbsp;SL&nbsp;&times;&nbsp;'''R'''<sup>+</sup> であるので、SL(n)&nbsp;&rarr;&nbsp;GL<sup>+</sup>(n) は[[変形レトラクト]](deformation retract)である。このように、すべての GL<sup>+</sup>(n)-構造は、SL(n)-構造と GL<sup>+</sup>(n)-構造に帰着でき、M 上での向きは一致する。さらに具体的には、行列式バンドル <math>\Omega^n(M)</math> の自明性と向き付け可能性は同値であり、ラインバンドルが自明であることとどこでも 0 とならない切断を持っていることは同値である。従って、体積形式の存在は向き付け可能性と同値である。
<!--== Orientation ==
A manifold is [[orientable]] if it has a [[coordinate atlas]] all of whose transition functions have positive [[Jacobian determinant]]s.  A selection of a maximal such atlas is an orientation on ''M''.  A volume form &omega; on ''M'' gives rise to an orientation in a natural way as the atlas of coordinate charts on ''M'' that send &omega; to a positive multiple of the Euclidean volume form <math>dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math>.

A volume form also allows for the specification of a preferred class of [[moving frame|frames]] on ''M''. Call a basis of tangent vectors (''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>''n''</sub>) right-handed if

:<math>\omega(X_1,X_2,\dots,X_n) > 0.</math>

The collection of all right-handed frames is [[group action|acted upon]] by the [[group (mathematics)|group]] GL<sup>+</sup>(''n'') of [[general linear group|general linear]] mappings in ''n'' dimensions with positive determinant.  They form a [[principal bundle|principal GL<sup>+</sup>(''n'') sub-bundle]] of the [[linear frame bundle]] of ''M'', and so the orientation associated to a volume form gives a canonical reduction of the frame bundle of ''M'' to a sub-bundle with structure group GL<sup>+</sup>(''n'').  That is to say that a volume form gives rise to [[G-structure|GL<sup>+</sup>(''n'')-structure]] on ''M''.  More reduction is clearly possible by considering frames that have

{{NumBlk|:|<math>\omega(X_1,X_2,\dots,X_n) = 1.</math>|{{EquationRef|1}}}}

Thus a volume form gives rise to an SL(''n'')-structure as well.  Conversely, given an SL(''n'')-structure, one can recover a volume form by imposing ({{EquationNote|1}}) for the special linear frames and then solving for the required ''n''-form &omega; by requiring homogeneity in its arguments.

A manifold is orientable if and only if it has a volume form.  Indeed, SL(''n'')&nbsp;&rarr;&nbsp;GL<sup>+</sup>(''n'') is a [[deformation retract]] since GL<sup>+</sup>&nbsp;=&nbsp;SL&nbsp;&times;&nbsp;'''R'''<sup>+</sup>, where the positive reals are embedded as scalar matrices.  Thus every GL<sup>+</sup>(''n'')-structure is reducible to an SL(''n'')-structure, and GL<sup>+</sup>(''n'')-structures coincide with orientations on ''M''.  More concretely, triviality of the determinant bundle <math>\Omega^n(M)</math> is equivalent to orientability, and a line bundle is trivial if and only if it has a nowhere-vanishing section. Thus the existence of a volume form is equivalent to orientability.-->

== 測度との関係 ==
{{See also|{{仮リンク|多様体の密度|en|Density on a manifold}}(Density on a manifold) }}
向きつけられた多様体上の体積形式 ω が与えられると、{{仮リンク|多様体の密度|label=密度|en|density on a manifold}}(density) |ω| は、向きつけを忘れることにより得られる向き付け不可能な多様体上の体積{{仮リンク|擬テンソル|label=擬形式|en|pseudotensor}}(pseudo-form)である。密度は、より一般的な向き付け不可能な多様体上でも定義することができる。

任意の体積擬形式 ω （と、従って任意の体積形式）は、

:<math>\mu_\omega(U)=\int_U\omega. \,\!</math>

により[[ボレル集合]]上の測度を定義する。

体積形式との差異は、測度は（ボレル）'''部分集合'''上で積分できることに対し、体積形式は'''向き付けられた'''胞体上でしか積分することができないことである。一変数のときの計算は、<math>\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx</math> と書くことは、<math>dx</math> を体積形式と考えることができたが、測度の場合は単純ではなく、<math>\int_b^a</math> は反対の向き付けを持つ胞体 <math>[a,b]</math> での積分を意味し、ときには <math>\overline{[a,b]}</math> と書かれることもある。

さらに、一般の測度は連続であったり、滑らかであったりする必要もない。測度は体積形式により定義されている必要がなく、より公式な言い方をすると、測度の[[ラドン＝ニコディムの定理#ラドン＝ニコディム微分|ラドン＝ニコディム微分]]が与えられた体積形式について[[絶対連続]]である必要もない。
<!--== Relation to measures ==
{{See also|Density on a manifold}}
Given a volume form ω on an oriented manifold, the [[density on a manifold|density]] |ω| is a volume [[pseudotensor|pseudo-form]] on the nonoriented manifold obtained by forgetting the orientation. Densities may also be defined more generally on non-orientable manifolds.

Any volume pseudo-form ω (and therefore also any volume form) defines a measure on the [[Borel set]]s by
:<math>\mu_\omega(U)=\int_U\omega. \,\!</math>

The difference is that while a measure can be integrated over a (Borel) ''subset'', a volume form can only be integrated over an ''oriented'' cell. In single variable [[calculus]], writing <math>\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx</math> considers <math>dx</math> as a volume form, not simply a measure, and <math>\int_b^a</math> indicates "integrate over the cell <math>[a,b]</math> with the opposite orientation, sometimes denoted <math>\overline{[a,b]}</math>".

Further, general measures need not be continuous or smooth: they need not be defined by a volume form, or more formally, their [[Radon–Nikodym derivative]] with respect to a given volume form need not be [[absolutely continuous]].-->

==発散==
M 上の体積形式 &omega; が与えられると、[[ベクトル場]] X の[[発散 (ベクトル解析)|発散]]を、一意なスカラーに値を持つ函数として表すことができ、div&nbsp;X と記し、

:<math>(\operatorname{div} X)\omega = L_X\omega = d(X\;\lrcorner\;\omega)</math>

を満たす。ここに、L<sub>X</sub> は X に沿った[[リー微分]]を表す。X が[[関数の台#コンパクト台付きの函数|コンパクトな台]]を持つベクトル場で、M が[[境界付き多様体|境界をもつ多様体]](manifold with boundary)であれば、[[ストークスの定理]]は、[[発散定理]]を一般化して、

:<math>\int_M (\operatorname{div} X)\omega = \int_{\partial M} X\;\lrcorner\;\omega</math>

となる。

{{仮リンク|ソレノイドベクトル場|en|solenoidal vector field}}(solenoidal vector field)は、div&nbsp;X&nbsp;=&nbsp;0 であるベクトル場である。体積形式がソレノイドベクトル場の{{仮リンク|ベクトルフロー|en|vector flow}}(vector flow)の下に保存されるということは、リー微分の定義から従う。まさに、ソレノイドベクトル場は、体積保存フローである。この事実は、たとえば、[[流体力学]]ではよく知られていて、速度場の発散は流体の圧縮度を測る。このことは、流体のフローに沿って体積が保存されることを拡張した表現である。
<!--==Divergence==
Given a volume form &omega; on ''M'', one can define the [[divergence]] of a [[vector field]] ''X'' as the unique scalar-valued function, denoted by div&nbsp;''X'', satisfying

:<math>(\operatorname{div} X)\omega = L_X\omega = d(X\;\lrcorner\;\omega)</math>

where ''L''<sub>''X''</sub> denotes the [[Lie derivative]] along ''X''.  If ''X'' is a [[compact support|compactly supported]] vector field and ''M'' is a [[manifold with boundary]], then [[Stokes' theorem]] implies

:<math>\int_M (\operatorname{div} X)\omega = \int_{\partial M} X\;\lrcorner\;\omega,</math>

which is a generalization of the [[divergence theorem]].

The [[solenoidal]] vector fields are those with div&nbsp;''X''&nbsp;=&nbsp;0.  It follows from the definition of the Lie derivative that the volume form is preserved under the [[vector flow|flow]] of a solenoidal vector field.  Thus solenoidal vector fields are precisely those that have volume-preserving flows.  This fact is well-known, for instance, in [[fluid mechanics]] where the divergence of a velocity field measures the compressibility of a fluid, which in turn represents the extent to which volume is preserved along flows of the fluid.-->

==特別な場合==

=== リー群 ===

すべての[[リー群]]に対し、自然な体積形式を変換により定義することができる。すなわち、ω<sub>e</sub> を <math>\bigwedge^n T_e^*G</math> の元とすると、左不変形式が <math>\omega_g=L_{g^{-1}}^*\omega_e</math> により定義される。ここに L<sub>g</sub> は左変換である。この系として、すべてのリー群は向き付け可能であることが分かる。リー群の体積形式はスカラー倍を除き一意的であり、対応する測度は[[ハール測度]]として知られている。
<!--==Special cases==

=== Lie groups ===

For any [[Lie group]], a natural volume form may be defined by translation.  That is, if ω<sub>''e''</sub> is an element of <math>\bigwedge^n T_e^*G</math>, then a left-invariant form may be defined by <math>\omega_g=L_{g^{-1}}^*\omega_e</math>, where ''L''<sub>''g''</sub> is left-translation.  As a corollary, every Lie group is orientable.  This volume form is unique up to a scalar, and the corresponding measure is known as the [[Haar measure]].-->

=== シンプレクティック多様体 ===

すべての[[シンプレクティック多様体]]（あるいは、実際すべての{{仮リンク|概シンプレクティック多様体|en|almost symplectic manifold}}(almost symplectic manifold)）は、自然な体積形式を持っている。M がシンプレクティック形式 ω を持つ 2n-次元多様体であれば、シンプレクティック形式の非退化性の結果、ω<sup>n</sup> はどこでも 0 にならない。この結果、すべてのシンプレクティック多様体は向き付け可能である（実際、向き付けがなされている）。多様体がシンプレクティック多様体で、かつ、リーマン多様体であれば、2つの体積形式は、多様体が[[ケーラー多様体]]である場合に一致する。

=== リーマン多様体の体積形式 ===

すべての[[向き付け|向きつけられた]][[リーマン多様体]]（もしくは、[[擬リーマン多様体]]は、自然な体積形式（もしくは、擬体積形式）を持つ。{{仮リンク|局所座標|en|local coordinates}}(local coordinates)では、体積形式は、
:<math>\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math>
で表すことができる。ここに、<math>dx^i</math> は n-次元多様体の[[余接バンドル]]の向きつけられた基底をもたらす[[微分形式|微分 1-形式]]である。ここに、<math>|g|</math> は多様体の[[計量テンソル]]の行列表現したときの[[行列式]]の絶対値である。

体積形式は次のようにも表される。

:<math>\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = *(1) . \,\!</math>

ここでは、&lowast; は[[ホッジ双対]]であるので、最後の右辺の形 &lowast;(1) は、体積形式が多様体上の定数写像のホッジ双対であることを意味していて、レヴィ・チヴィタ'''テンソル''' <math>\varepsilon</math> に等しい。

ギリシャ文字の &omega; はここでは体積形式を表すことに使われている。シンボルの &omega; は[[微分幾何学]]では、他に多くの意味を持っている(たとえば、シンプレクティック形式)。
<!--=== Symplectic manifolds ===

Any [[symplectic manifold]] (or indeed any [[almost symplectic manifold]]) has a natural volume form.  If ''M'' is a 2''n''-dimensional manifold with [[symplectic form]] ω, then ω<sup>''n''</sup> is nowhere zero as a consequence of the [[nondegeneracy]] of the symplectic form.  As a corollary, any symplectic manifold is orientable (indeed, oriented).  If the manifold is both symplectic and Riemannian, then the two volume forms agree if the manifold is [[Kähler manifold|Kähler]].

=== Riemannian volume form ===

Any [[orientation (mathematics)|oriented]] [[Riemannian manifold|Riemannian]] (or [[pseudo-Riemannian manifold|pseudo-Riemannian]]) [[manifold]] has a natural volume (or pseudo volume) form.  In [[local coordinates]], it can be expressed as
:<math>\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math>
where the <math>dx^i</math> are the [[1-form]]s providing an oriented basis for the [[cotangent bundle]] of the ''n''-dimensional manifold.  Here, <math>|g|</math> is the absolute value of the [[determinant]] of the matrix representation of the [[metric tensor]] on the manifold.

The volume form is denoted variously by

:<math>\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = *(1) . \,\!</math>

Here, the &lowast; is the [[Hodge dual]], thus the last form, &lowast;(1), emphasizes that the volume form is the Hodge dual of the constant map on the manifold, which equals the Levi-Civita ''tensor'' <math>\varepsilon</math>.

Although the Greek letter &omega; is frequently used to denote the volume form, this notation is hardly universal; the symbol &omega; often carries many other meanings in [[differential geometry]] (such as a symplectic form); thus, the appearance of &omega; in a formula does not necessarily mean that it is the volume form.-->

==体積形式の不変量==
体積形式は一意には決まらなく、次のように多様体の上の 0 にならない[[テンソル]]を形成する。M 上の 0 にならない函数 f と体積形式 <math>\omega</math> が与えられると、<math>f\omega</math> も M 上の体積形式である。逆に、2つの体積形式 <math>\omega, \omega'</math> が与えられると、それらの比率は 0 にならない函数（定義が同一方向の向き付けであれば、正、逆方向の向き付けであれば、負）である。

座標系で表すと、両方とも、単純に 0 とならない函数に[[ルベーグ測度]]をかけると得られるので、それらの比率は函数の比率になり、座標の選択とは独立な値となる。本質的には、<math>\omega</math> に関して <math>\omega'</math> の[[ラドン・ニコディムの定理#ラドン＝ニコディム微分|ラドン・ニコディム微分]]である。向き付けられた多様体上で、2つの体積形式の比例性は、[[ラドン・ニコディムの定理]]の幾何学的な形と考えることができる。
<!--==Invariants of a volume form==
Volume forms are not unique; they form a [[torsor]] over non-vanishing functions on the manifold, as follows. Given a non-vanishing function ''f'' on ''M'', and a volume form <math>\omega</math>, 
<math>f\omega</math> is a volume form on ''M''. Conversely, given two volume forms <math>\omega, \omega'</math>, their ratio is a non-vanishing function (positive if they define the same orientation, negative if they define opposite orientations).

In coordinates, they are both simply a non-zero function times [[Lebesgue measure]], and their ratio is the ratio of the functions, which is independent of choice of coordinates. Intrinsically, it is the [[Radon–Nikodym theorem#Radon.E2.80.93Nikodym derivative|Radon–Nikodym derivative]] of <math>\omega'</math> with respect to <math>\omega</math>.  On an oriented manifold, the proportionality of any two volume forms can be thought of as a geometric form of the [[Radon–Nikodym theorem]].-->

===局所構造の非存在===
多様体上の体積形式は、与えられた体積形式とユークリッド空間の体積形式とを識別する小さな開集合を持つことができないという意味で、局所構造を持たない。{{harv|Kobayashi|1972}}.  すなわち、M のすべての点 p で、開近傍 U と U から '''R'''<sup>n</sup> の中の開集合の上への[[微分同相写像]] &phi; が存在し、U 上の体積形式が &phi;. に沿った <math>dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math> の[[引き戻し]]である。

系として、M と N をそれぞれ体積形式 <math>\omega_M, \omega_N</math> を持つ 2つの多様体とすると、任意の点 <math>m\in M, n\in N</math> に対し、m の開近傍 U と n の開近傍 V と写像 <math>f\colon U \to V</math> が存在し、N 上の体積形式の V への制限が、M 上の体積形式の近傍 U への制限へ引き戻される。つまり、<math>f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U</math> である。

従って、1-次元では次のことを証明することができる。 <math>\mathbf{R}</math> 上の体積形式 <math>\omega</math> が与えられると、
:<math>f(x) := \int_0^x \omega</math>
を定義することができる。すると、[[ルベーグ測度]] <math>dx</math> は <math>f: \omega = f^*dx</math> の下で <math>\omega</math> へ{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻される|en|Pullback (differential geometry)}}(pulls back)。具体的には、<math>\omega = f\,dx</math> である。高次元では、与えられた任意の点 <math>m \in M</math> で、<math>\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{n-1}</math> と局所同相な近傍を持ち、同じプロセスを適用することができる。
<!--===No local structure===
A volume form on a manifold has no local structure in the sense that it is not possible on small open sets to distinguish between the given volume form and the volume form on Euclidean space {{harv|Kobayashi|1972}}.  That is, for every point ''p'' in ''M'', there is an open neighborhood ''U'' of ''p'' and a [[diffeomorphism]] &phi; of ''U'' onto an open set in '''R'''<sup>''n''</sup> such that the volume form on ''U'' is the [[pullback]] of <math>dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math> along &phi;.

As a corollary, if ''M'' and ''N'' are two manifolds, each with volume forms <math>\omega_M, \omega_N</math>, then for any points <math>m\in M, n\in N</math>, there are open neighborhoods ''U'' of ''m'' and ''V'' of ''n'' and a map <math>f\colon U \to V</math> such that the volume form on ''N'' restricted to the neighborhood ''V'' pulls back to volume form on ''M'' restricted to the neighborhood ''U'': <math>f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U</math>.

In one dimension, one can prove it thus:
given a volume form <math>\omega</math> on <math>\mathbf{R}</math>, define
:<math>f(x) := \int_0^x \omega.</math>
Then the standard [[Lebesgue measure]] <math>dx</math> [[Pullback (differential geometry)|pulls back]] to <math>\omega</math> under ''f'': <math>\omega = f^*dx</math>. Concretely, <math>\omega = f\,dx</math>.  In higher dimensions, given any point <math>m \in M</math>, it has a neighborhood locally homeomorphic to <math>\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{n-1}</math>, and one can apply the same procedure.-->

===大域構造である体積===
連結多様体 M 上の体積形式は、唯一の大域不変量を持っている。すなわち、体積 <math>\mu(M)</math> であり、写像で保存される体積形式の不変量である。<math>\mathbf{R}^n</math> のルベーグ体積な無限大も可能である。不連続な多様体上では、各々の連結成分の体積が不変量である。

記号として、<math>f\colon M \to N</math> は、<math>\omega_N</math> を <math>\omega_M</math> へ引き戻す多様体の同相写像であるので、

: <math>\mu(N)=\int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M=\mu(M)</math>

であり、多様体は同じ体積を持つ。

体積形式は、[[被覆写像]]の下での引き戻しでもあり、ファイバー上の数値（公式にはファイバーに沿った積分により）を掛けることにより体積を得る。無限個のシートの被覆（ <math>\mathbf{R} \to S^1</math> のような）の場合は、有限体積を持つ多様体上の体積形式は、無限の体積を持つ多様体の上の体積形式の引き戻しである。
<!--===Global structure: volume===
A volume form on a connected manifold ''M'' has a single global invariant, namely the (overall) volume (denoted <math>\mu(M)</math>), which is invariant under volume-form preserving maps; this may be infinite, such as for Lebesgue measure on <math>\mathbf{R}^n</math>. On a disconnected manifold, the volume of each connected component is the invariant.

In symbols, if <math>f\colon M \to N</math> is a homeomorphism of manifolds that pulls back <math>\omega_N</math> to <math>\omega_M</math>, then

: <math>\mu(N)=\int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M=\mu(M)\,</math>

and the manifolds have the same volume.

Volume forms can also be pulled back under [[covering map]]s, in which case they multiply volume by the cardinality of the fiber (formally, by integration along the fiber). In the case of an infinite sheeted cover (such as <math>\mathbf{R} \to S^1</math>), a volume form on a finite volume manifold pulls back to a volume form on an infinite volume manifold.-->

==参照項目==
* [[円筒座標系]]
* [[測度]]
* [[ポアンカレ計量]]は、[[複素平面]]上の体積形式である。
* [[球面座標系]]

==参考文献==
* {{Citation | first = S. | last = Kobayashi | title = Transformation Groups in Differential Geometry | series = Classics in Mathematics | publisher = Springer | year = 1972 | isbn = 3-540-58659-8 | oclc = 31374337}}.
* {{citation|first=Michael|last=Spivak|authorlink=Michael Spivak|title=[[Calculus on Manifolds (書籍)|Calculus on Manifolds]]|year=1965|publisher=W.A. Benjamin, Inc.|publication-place=Reading, Massachusetts|isbn= 0-8053-9021-9}}.

{{DEFAULTSORT:たいせきけいしき}}
[[Category:多様体論]]
[[Category:微分形式|*]]
[[Category:微分位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]