体積積分のソースを表示

{{出典の明記|date=2021年11月22日 (月) 07:36 (UTC)}}

'''体積積分'''(たいせきせきぶん、英: volume integral)とは、[[数学]]、特に[[多変数微分積分学|多変数解析]]における用語で、[[3次元]][[領域 (解析学)|領域]]上の[[積分法|積分]]を指す。すなわち、[[多重積分]]の特殊な例である。積分の記号として∰が用いられる。
体積積分は特に[[物理学]]において多くの応用がなされており、例えば[[流束密度]]を求めることに利用される。

==座標系ごとの表示==
体積積分は[[直交座標系]]における[[関数 (数学)|関数]]<math>f(x,y,z)</math>を領域<math>D \subset \R^3</math>で三重積分することと見なせるから、一般には以下のように表せる。

:<math>\iiint_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.</math>

また[[円筒座標系]]では、以下のようになる。

:<math>\iiint_D f(\rho,\varphi,z) \rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.</math>

[[球面座標系]](ISOの表記法に従い、<math>\varphi</math>を[[方位角]]、 <math>\theta</math>を[[極角]]とする。)では以下のようになる。

:<math>\iiint_D f(r,\theta,\varphi) r^2 \sin\theta \,dr \,d\theta\, d\varphi .</math>

== 例 ==
3変数関数<math> f(x,y,z) = 1 </math>を{{仮リンク|単位立方体|en|Unit cube}}上で積分すると以下のようになる。

:<math>\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 1 \,dx \,dy \,dz = \int_0^1 \int_0^1 (1 - 0) \,dy \,dz = \int_0^1 \left(1 - 0\right) dz = 1 - 0 = 1</math>

単位立方体の体積が1であるという予想通りの結果が得られる。これは自明な例だが、体積積分ははるかに有用である。例えば、単位立方体の[[密度]]分布を表す[[スカラー (数学)|スカラー]]密度関数を体積積分することにより、その単位立方体の[[質量]]を得ることができる。ここでは以下の密度関数を考える。

:<math> \begin{cases}
f: \R^3 \to \R \\
f: (x,y,z) \mapsto x+y+z
\end{cases}</math> 

このような密度関数を持つ単位立方体の質量は以下で得られる。 

:<math>\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x+y+z) \,dx \,dy \,dz = \int_0^1 \int_0^1 \left(\frac 1 2 + y + z\right) dy \,dz = \int_0^1 (1 + z) \, dz = \frac 3 2</math>

== 注釈 ==
{{Reflist}}

==関連項目==
{{Portal|数学}}
*[[発散定理]]
*[[面積分]]
*[[体積要素]]

{{Math-stub}}
{{Calculus topics}}
{{デフォルトソート:たいせきせきふん}}
[[Category:多変数微分積分学]]
[[Category:数学に関する記事]]