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{{Trigonometry}}
'''余接定理'''（よせつていり）<ref>The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.</ref>は、[[三角形]]の辺の長さと3つの角の半分の[[余接]]の関係を表す[[三角法]]の定理である。余接法則とも呼ばれる。

== 定理 ==
[[File:Herontriangle1greek.svg|thumb|270px|left|回避三角形の内接円による辺の分割。角の二等分線は内心（内接円の中心）で交わる。]]
図のように {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} を3辺の長さ、{{math2|''A'', ''B'', ''C''}} を各頂点とし、{{math2|''α'', ''β'', ''γ''}} を各頂点に対応する角、[[半周長]]を {{math2|1=''s'' = {{sfrac|''a'' + ''b'' + ''c''|2}}, ''r''}} を[[内接円]]の半径とすると、以下の式が成立する。
:<math>\frac{\cot\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{s-a} = \frac{\cot\left(\tfrac{\beta}{2}\right)}{s-b} = \frac{\cot\left(\tfrac{\gamma}{2}\right)}{s-c} = \frac{1}{r}</math> (1)
また、{{mvar|r}} について、
:<math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.</math> (2)
{{Clear left}}

==証明==
[[File:Herontriangle2greek.svg|thumb|270px|left]]
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。

内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、
:<math>\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) =\frac{s-a}{r}\,</math>（*1）

ここで、
:<math>s-a =\frac{c + b - a}{2}</math>

三角形の成立条件より<math>c + b - a>0</math>だから<math>s-a>0</math>

:∴ <math>\frac{\cot\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{s-a} = \frac{1}{r}\,</math>（1）

他の角においても同様に示される。

また、式（2）については、以下の式を適用する。
: <math> \cot (u+v+w) = \frac{\cot u +\cot v +\cot w - \cot u \cot v \cot w }{1-\cot u \cot v - \cot v \cot w -\cot w \cot u}.</math>

<math> u = \frac{\alpha}{2}</math>, <math> v = \frac{\beta}{2}</math>, <math> w = \frac{\gamma}{2}</math>とすると、{{math|cot{{big|{{big|(}}}}{{sfrac|''α''|2}} + {{sfrac|''β''|2}} + {{sfrac|''γ''|2}}{{big|{{big|)}}}} {{=}} cot {{sfrac|π|2}} {{=}} 0}}より、
: <math>  \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)  \cot \left(\frac{\beta}{2}\right)  \cot \left(\frac{\gamma}{2}\right) = \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot \left(\frac{\gamma}{2}\right). </math>

よって、式（*1）より
:<math> \frac {(s-a)}r \frac {(s-b)}r \frac {(s-c)}r = \frac {s-a}r + \frac {s-b}r +\frac {s-c}r =\frac{3s-2s}r=\frac{s}r.</math>
辺々に{{math|{{sfrac|''r''<sup>3</sup>|''s''}}}}をかけて整理すれば、式（2）が示される。

==他の公式の証明==
余接定理により[[正接定理]]が証明される{{sfn|Silvester|2001|p=99}}ほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。
===ヘロンの公式===
{{see|ヘロンの公式}}

辺と同様に三角形{{math|''ABC''}}が3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点{{math|''A''}}付近の2個の三角形はともに底辺が{{math|''s'' − ''a''}}、高さ{{math|''r''}}であり、面積は{{math|{{sfrac|1|2}}''r''(''s'' − ''a'')}}であり、和は{{math|''r''(''s'' − ''a'')}}となる（他も同様）。

よって、三角形{{math|''ABC''}}の面積{{math|''S''}}は、<math display="block">\begin{align}
 S & = r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\
& = r\bigl(3s - (a+b+c)\bigr)  = r(3s - 2s) = rs. \end{align}</math>

:∴　<math>S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

===モルワイデの公式===
{{see|{{仮リンク|モルワイデの公式|en|Mollweide's formula}}}}
*第一公式

和の公式と余接定理より、
<math display="block">\frac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) } = \frac {\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) -\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }{\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }=  \frac {a-b}{2s-a-b}.</math>

:∴　<math>\dfrac {a-b}{c}=\dfrac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right)}{\cos \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }</math>
*第二公式

和の公式と余接定理より、
<math display="block">\begin{align}
& \frac {\cos\left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right) }{\cos\left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {\cot\left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \cot\left( \tfrac{\beta}{2} \right) +1}{\cot\left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) -1} \\[6pt]
= {} & \frac {\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +2\cot \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }{\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}.
\end{align}</math>

和積公式を適用して整理すれば、
:<math>\dfrac {b+a}{c} = \dfrac{\cos \left( \tfrac{\alpha}{2} - \tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }</math>

==関連項目==
*[[正弦定理]]
*[[余弦定理]]
*[[三角関数の公式の一覧]]
==脚注==
{{reflist}}
==参考文献==
* {{Citation
|洋書
|title=Geometry: Ancient and Modern
|last=Silvester|first=John R. 
|publisher=Oxford University Press
|year=2001
|isbn=9780198508250
|pages=313
|ref=harv}}

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