作用・角変数のソースを表示

'''作用・角変数''' (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、[[解析力学]]において[[可積分系|可積分]]な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。

== 定義 ==
=== 可積分系 ===
<math>n</math>自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、<math>n</math>個の関数的に独立<ref group="注釈">位相空間上で稠密な開集合が存在し、その各点で勾配 <math>\nabla F_i</math> が一次独立であること。</ref>な[[第一積分|孤立積分]] <math>F_i</math> (<math>i = 1, 2, \cdots, n</math>) が存在し、互いに[[ポアソン括弧|Poisson可換]]であること、すなわち
:<math> \left[ F_i , F_j \right] = 0</math>
を満足することである<ref name="大貫100">大貫&吉田, pp. 100-110.</ref><ref>柴山, p. 70.</ref>。このとき、[[リウヴィル＝アーノルドの定理]]は、各積分 <math>F_i</math> が値 <math>f_i</math> を取る超曲面 <math>\bigcap_{i = 1}^n F_i^{-1} ( f_i )</math> が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス <math>\mathbb{T}^n</math> と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 <math>( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} )</math> が存在し[[ハミルトニアン]] <math>H</math> が <math>\mathbf{J}</math> だけの関数になることを主張する<ref name="大貫100"/><ref name="柴山72">柴山, p, 72.</ref>。この定理により保証される正準変数 <math>( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} )</math> が作用・角変数である<ref name="大貫100"/><ref name="柴山72"/>。

=== 変数分離系 ===
変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 <math>( \mathbf{p}, \mathbf{q} )</math> を用いると、[[ハミルトンの特性関数]] <math>S ( \mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha} )</math> を <math>S = S_1 ( q_1, \mathbf{\alpha} ) + S_2 ( q_2, \boldsymbol{\alpha} ) + \cdots + S_n ( q_n, \boldsymbol{\alpha} )</math> という形に書くことができる<ref>Lichtenberg & Lieberman, p. 21.</ref>。積分定数 <math>\boldsymbol{\alpha} = ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n )</math> の値が特定されると、各座標 <math>q_i</math> が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である<ref>ゴールドスタイン, pp. 627-628.</ref><ref>Lichtenberg & Lieberman, p. 29.</ref>。
*ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration)
*運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion)
このとき、定数 <math>\mathbf{\alpha}</math> により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分
:<math>J_i := \frac{ 1 }{ 2 \pi } \oint p_i \, dq_i = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \oint \frac{ \partial S_i }{ \partial q_i } ( q_i, \boldsymbol{\alpha} ) dq_i</math>
により'''作用変数''' (action variable) <math>J_i = J_i ( \boldsymbol{\alpha} )</math> が定義できる<ref name="大貫109">大貫&吉田, pp. 109-110.</ref><ref name="ゴールドスタイン629">ゴールドスタイン, pp. 629-630.</ref><ref name="ランダウ">{{Cite book |和書 |author1=エリ・デ・ランダウ |author2=イェ・エム・リフシッツ |translator=広重徹, 水戸巌 |year=1974 |title=力学（増訂第３版） |publisher=東京図書 |pages=201-206 |isbn=978-4-489-01160-3}}</ref><ref>Lichtenberg & Lieberman, pp. 21-22.</ref><ref group="注釈">ゴールドスタインは因子 <math>2 \pi</math> を含めずに定義しているが、本記事ではそれ以外のすべての参考文献に従いこの因子を含めて定義する。</ref>。この定義のもとでハミルトンの特性関数は <math>S = S ( \mathbf{q}, \mathbf{J} )</math> という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする[[正準変換]] <math>( \mathbf{p}, \mathbf{q} ) \mapsto ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} )</math> により'''角変数''' (angle variable) 
:<math>\theta_i := \frac{ \partial S }{ \partial J_i }</math>
が導入される<ref name="大貫109"/><ref name="ゴールドスタイン629"/><ref name="LichtenbergLieberman23">Lichtenberg & Lieberman, p. 23.</ref>。角変数 <math>\theta_i</math> は運動の一周期の間に <math>2 \pi</math> 変化する<ref name="ランダウ"/><ref name="LichtenbergLieberman23"/>。

== 性質 ==
=== Kronecker軌道 ===
作用・角変数 <math>( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} )</math> を用いるとき、系のハミルトニアンは <math>H = H ( \mathbf{J} )</math> であるため、[[正準方程式]]は
:<math>\frac{ d J_i }{ d t } = - \frac{ \partial H }{ \partial \theta_i } = 0 , \ \ \frac{ d \theta_i }{ d t } = \frac{ \partial H }{ \partial J_i } =: \omega_i ( \mathbf{J} )</math>
となる。従ってその解はただちに
:<math>J_i = \mathrm{Const.}, \ \ \theta_i = \omega_i ( \mathbf{J} ) t + \beta_i</math>
と求まる (<math>\beta_i</math> は定数)。従って <math>\omega_i = \frac{ \partial H }{ \partial J_i }</math> は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ<ref name="柴山72"/>。

振動数 <math>\boldsymbol{\omega} = ( \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n )</math> がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道 <math>\boldsymbol{\theta} = \boldsymbol{\omega} t + \boldsymbol{\beta}</math> はArnoldトーラス上の周期軌道となる<ref name="柴山73">柴山, pp. 73-75.</ref>。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる<ref name="柴山73"/>。

=== 正準摂動論 ===
可積分ハミルトニアン <math>H_0</math> に摂動 <math>\epsilon H_1</math> が加わったハミルトニアン
:<math>H = H_0 ( \mathbf{J} ) + \epsilon H_1 ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} )</math>
を取り扱うことはしばしばある。このような近可積分系に対して適用される[[正準摂動論]]は作用・角変数に立脚して定式化される。これは、非摂動ハミルトニアン <math>H_0</math> に関する作用・角変数 <math>( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} )</math> から摂動後のハミルトニアンに関する作用・角変数 <math>( \mathbf{J}^*, \boldsymbol{\theta}^* )</math> への正準変換 <math>S = S ( \boldsymbol{\theta}, \mathbf{J}^* )</math> を摂動的に決定するというアイデアに基づいている<ref>ゴールドスタイン, pp. 744-749.</ref><ref>Lichtenberg & Lieberman, pp. 78-80.</ref>。

=== 断熱不変量 ===
作用変数 <math>J</math> は、ハミルトニアンの断熱的な（運動の時間スケールに比べてゆっくりとした）変化に際して保存する[[断熱不変量]]になる<ref>ゴールドスタイン, pp. 754-756.</ref>。

{{詳細記事|断熱不変量}}

== 具体例 ==
=== 調和振動子 ===
1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。
:<math>H = \frac{ p^2 }{ 2 m } + \frac{ 1 }{ 2 } m \omega_0^2 q^2</math>
この系はエネルギー <math>E</math> が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数 <math>S</math> はエネルギーを積分定数とする
:<math>S = \int \pm \sqrt{ 2 m E - m^2 \omega_0^2 q^2 } \, dq</math>
という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は <math>J = E / \omega_0</math>, <math>\theta = \arcsin \left( \sqrt{ \frac{ m \omega_0 }{ 2 J } } q \right)</math> と計算できる<ref>大貫&吉田, pp. 110-112.</ref>。
:<math>q = \sqrt{ \frac{ 2 J  }{ m \omega_0 } } \, \sin \theta , \ \ p = \sqrt{ 2 m \omega_0 J } \, \cos \theta</math>
:<math>H = \omega_0 J</math>

=== ケプラー問題 ===
3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 <math>( r, \theta, \phi )</math> を用いるとき変数分離系となる。
:<math>H = \frac{ 1 }{ 2 } \left( p_r^2 + \frac{ 1 }{ r^2 } p_\theta^2 + \frac{ 1 }{ r^2 \sin^2 \theta } p_\phi^2 \right) - \frac{ \mu }{ r }</math>
対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。
:<math>S = \int \pm \sqrt{ 2 C + \frac{ 2 \mu }{ r } - \frac{ G^2 }{ r^2 } } dr + \int \pm \sqrt{ G^2 - \frac{ G_z^2 }{ \sin^2 \theta } } d\theta + G_z \phi</math>
系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 <math>( J_r, J_\theta, J_\phi , w_r, w_\theta, w_\phi )</math> は次のように求められる<ref>ゴールドスタイン, pp. 646-660.</ref>。
:<math>J_r = \sqrt{ \mu a } \left[ 1 - \sqrt{ 1 - e^2 } \right] , \ \ J_\theta = \sqrt{ \mu a ( 1 - e^2 ) } \, ( 1 - \cos I ) , \ \ J_\phi = \sqrt{ \mu a ( 1 - e^2 ) } \, \cos I</math>
:<math>w_r = M , \ \ w_\theta = M + \omega , \ \ w_\phi = M + \omega + \Omega</math>
ここに <math>a</math> は軌道長半径、<math>e</math> は軌道離心率、<math>I</math> は軌道傾斜角、<math>M</math> は平均近点離角、<math>\omega</math> は近点引数、<math>\Omega</math> は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは <math>H = - \frac{ \mu^2 }{ 2 ( J_r + J_\theta + J_\phi )^2 }</math> と表示される。なお、天体力学において用いられる[[ドローニー変数]]や[[ポアンカレ変数]]は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である<ref>{{Cite book |last1=Murray |first1=C. D. |last2=Dermott |first2=S. F. |title=Solar System Dynamics |publisher=Cambridge University Press |date=2000 |pages=59-60 |isbn=978-0521575973}}</ref>。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
<references group="注釈" />

=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book |和書 |last1=大貫 |first1=義郎 |last2=吉田 |first2=春夫 |authorlink1=大貫義郎  |year=1997 |title=岩波講座 現代の物理学〈1〉力学 |publisher=岩波書店 |edition=第2刷 |isbn=4-00-010431-4}}
*{{Cite book |和書 |last=柴山 |first=允瑠 |title=重点解説ハミルトン力学系 : 可積分系とKAM理論を中心に |year=2016 |publisher=サイエンス社 |issn=0386-8257}}
*{{Cite book |和書 |last=ゴールドスタイン |first=H. |title=古典力学（下） |others=矢野忠、江沢康生、渕崎（訳）|edition=原書第3版 |publisher=吉岡書店 |date=2009 |isbn=978-4-8427-0350-3}}
*{{Cite book |last1=Lichtenberg |first1=Allan |last2=Lieberman |first2=Michael |title=Regular and Chaotic Dynamics |publisher=Springer |date=1992 |isbn=978-1-4757-2184-3 |doi=10.1007/978-1-4757-2184-3}}

== 関連項目 ==
*[[可積分系]]
*[[ハミルトン–ヤコビ方程式]]
*[[天体力学]]
**[[軌道要素]]

{{DEFAULTSORT:さようかくへんすう}}
[[Category:古典力学]]
[[Category:天体力学]]
[[Category:可積分系]]