係数励振のソースを表示

[[ファイル:Swing.jpg|right|250px|thumb|ブランコの1人乗り。係数励振の身近な例]]

'''係数励振'''（けいすうれいしん、{{lang-en-short|parametric excitation}}）とは、[[系 (自然科学)|系]]の[[係数]]（[[媒介変数|パラメータ]]）が周期的に変化することで起こる振動現象である<ref name="機械工学辞典">{{cite book|和書|editor=日本機械学会|title=機械工学辞典|publisher=丸善|date=2007-01-20|edition=第2版|ISBN=978-4-88898-083-8|page=358}}</ref>。ばね-質量系の[[運動方程式]]でいえば、[[質量]]や[[ばね定数]]、[[減衰係数]]などの通常では定数とされる係数が周期的に変化するような場合に発生する<ref name = "振動工学_241"/>。'''パラメトリック励振'''、'''パラメータ励振'''、'''パラメトリック発振'''などとも呼ぶ。多数の応用があり、ごく一例としては、[[電気回路]]分野における[[発振器]]の原理としての応用<ref>{{Cite journal|和書|author=片桐道男, 山崎弘郎 |year=1965 |title=パラメトリック発振増幅器の開発とβ線厚さ計への応用 |url=https://doi.org/10.9746/sicetr1965.1.75 |journal=計測自動制御学会論文集 |ISSN=0453-4654 |publisher=計測自動制御学会 |volume=1 |issue=1 |pages=75-83 |doi=10.9746/sicetr1965.1.75}}</ref>がある。

遊具の[[ブランコ]]の一人乗りの揺らし方は、係数励振の例である<ref name = "機械振動学_183"/>。係数励振系の運動方程式や回路方程式は、[[マシュー方程式]]、[[ヒル方程式]]の形式に帰着できる場合が多い<ref name="機械工学辞典"/>。

== 係数励振の例 ==
係数励振のメカニズムを利用した身近な例としては、遊具の[[ブランコ]]の1人乗りの揺らし方がある<ref name = "機械振動学_183"/>。（詳細は[[#ブランコの係数励振]]を参照）

電気回路の例としては、[[パラメトロン]]がある<ref name = "振動工学_248-249"/>。これは、回路の[[インダクタンス]]を周期変化させて係数励振振動を生み出すものである。初期条件の差による逆位相の係数励振振動を合わせてを生みだし、2種類の振動を論理素子として利用する<ref name = "振動工学_248-249"/>。

係数励振が害をもたらす事例としては、鉄道車両における[[集電装置|パンタグラフ]]の[[架線]]からの離線現象<ref name = "振動工学_247-248"/>、フック形軸継手の不安定ねじり振動<ref name = "パラメータ励振_6"/>などがある。

古くからの係数励振の実験としては、1831年の[[マイケル・ファラデー]]による[[ファラデー波]]の実験や、1859年のメルデ(Franz Emile Melde)による[[音叉]]と[[弦 (楽器)|弦]]の実験などが知られている<ref name="吉田2011">{{Cite thesis|和書|author=吉田雅昭 |title=Mathieu方程式に基づく平面磁路形パラメトリック変圧器の動作特性と発振安定性に関する研究 |volume=八戸工業大学 |series=博士 （工学） 甲第49号 |year=2011 |CRID=1110282785160580736 |url=http://id.nii.ac.jp/1078/00003416/ |page=177}}</ref>。

==ブランコの係数励振==
[[File:A model of the pumping of a swing (SVG).svg|thumb|300px|ブランコの物理モデルの例]]
公園などにある遊具のブランコは係数励振を原理として利用している。このブランコの動きについて、以下のような物理モデルが考えられる。まず、一般的な振り子の運動方程式を[[角運動量#回転運動と角運動量|角運動量]]より導くと次のようになる<ref name = "パラメータ励振_10-11"/>。
:<math>{{d} (m l^2 \dot \theta) \over dt} = -mgl \sin \theta</math>
ここで、''t''：時間、''m''：振り子質量（≒操作者質量）、''θ''：振り子角度、''g''：重力加速度である。微小振動を仮定して<math>\sin \theta \approx \theta</math>とすれば、以下のように変形できる<ref name = "パラメータ励振_10-11"/>。
:<math>\ddot \theta + 2 \frac{\dot l}{l} \dot \theta + \frac{g}{l} \theta = 0</math>

ブランコを漕ぐ動作とは、立ち漕ぎの場合は上半身を上下移動させ、座り漕ぎの場合は足を上下させる動作を行う。これらは、漕ぎ手の[[重心]]を上下させていることに等しい<ref name="機械振動学_183"/>。これを、ブランコとそれに乗る漕ぎ手を合わせた一体の系として考えると、[[振り子]]のロープの長さが短くなったり、長くなったりすることに等しい<ref name="機械振動学_183"/>。振り子腕長さ（ロープの長さ）を ''l'' とし、ブランコを漕ぐことによる振り子腕長さの変化を[[正弦波]]による周期的変化として以下のように表す。
:<math> l = l_0 + a \sin{\omega t} </math>
ここで、''l''<sub>0</sub>：平均腕長さ、''a''：腕長さ変動振幅、''ω''：腕長さ変動の角周波数である。
これを上記の運動方程式に代入して、かつ、<math>a \ll l_0 </math>として<math>1/(1+a/l_0) \approx 1-a/l_0</math>を利用すれば、以下の運動方程式を得ることができる<ref name = "パラメータ励振_10-11"/>。
:<math>\ddot \theta
+ 2 \omega \left( \frac{a \cos{\omega t}}{l_0}- \frac{a^2}{2 l_0^2} \sin{2\omega t} \right) \dot \theta
+ \frac{g}{l_0} \left( 1 - \frac{a}{l_0} \sin{\omega t} \right) \theta = 0</math>
さらに、<math>a \ll l_0 </math>より<math>(a/l_0)^2 \approx 0</math>として簡単化すれば<ref name = "パラメータ励振_106"/>、
:<math>\ddot \theta
+ 2 \omega \frac{a \cos{\omega t}}{l_0} \dot \theta
+ \frac{g}{l_0} \left( 1 - \frac{a}{l_0} \sin{\omega t} \right) \theta = 0</math>
よってブランコの運動方程式は、<math>\dot \theta</math>、<math>\theta</math>の係数が変動する係数励振系で表すことができる。

この系の周期関数係数を無視した固有振動数は、<math>\omega_0 = g/l_0</math>である。[[フロケ理論]]を基に近似的に上式の不安定領域を求めると、第1次係数共振域では、<math>a/l_0 \approx 0</math>のとき<math>\omega/\omega_0 \approx 2</math>で不安定振動発生し、そこから<math>a/l_0</math>が大きくなるに連れて不安定振動（発散）が発生する<math>\omega/\omega_0</math>の領域が広がるような分布となる<ref name = "パラメータ励振_110"/>。よって漕ぐ動作の[[周期]]に着目すると、ブランコを大きく揺らす漕ぎ方としては、ブランコの固有周期の2倍周期で重心の上下運動を行うことが理想的となる<ref name = "機械振動学_185"/>。

== 脚注 ==
{{Reflist|refs=
<ref name = "振動工学_241">[[#振動工学|振動工学 p.241]]</ref>
<ref name = "振動工学_247-248">[[#振動工学|振動工学 pp.247-248]]</ref>
<ref name = "振動工学_248-249">[[#振動工学|振動工学 pp.248-249]]</ref>
<ref name = "パラメータ励振_6">[[#パラメータ励振|パラメータ励振 p.6]]</ref>
<ref name = "パラメータ励振_10-11">[[#パラメータ励振|パラメータ励振 pp.10-11]]</ref>
<ref name = "パラメータ励振_106">[[#パラメータ励振|パラメータ励振 p.106]]</ref>
<ref name = "パラメータ励振_110">[[#パラメータ励振|パラメータ励振 p.110]]</ref>
<ref name = "機械振動学_183">[[#機械振動学|機械振動学 p.183]]</ref>
<ref name = "機械振動学_185">[[#機械振動学|機械振動学 p.185]]</ref>
}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書
|author= 前澤成一郎
|title=振動工学
|publisher=森北出版
|edition=第1版
|date=1973-11-20
|ref=振動工学
}}
* {{cite book|和書
|author= 小寺忠
|title=パラメータ励振
|publisher=森北出版
|edition=第1版
|date=2010-07-07
|isbn=978-4-627-66741-9
|ref=パラメータ励振
}}
* {{cite book|和書
|author= 末岡淳男・金光陽一・近藤孝広
|title=機械振動学
|publisher=朝倉書店
|edition=初版
|date=2002-06-20
|isbn=4-254-23706-5
|ref=機械振動学
}}

==関連項目==
* [[強制振動]]
* [[自励振動]]

{{DEFAULTSORT:けいすうれいしん}}
[[Category:振動工学]]
[[Category:力学系]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:発振回路]]