係数環の変更のソースを表示

{{no footnotes|date=November 2015}}
代数学において，[[環準同型]] {{math|''f'': ''R'' &rarr; ''S''}} が与えられると，[[環上の加群|加群]]の'''係数環を変更'''する3つの方法がある；すなわち，右 {{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} と右 {{mvar|S}}-加群 {{mvar|N}} に対し，
*<math>f_! M = M \otimes_R S</math>, [[誘導加群]]．
*<math>f_* M = \operatorname{Hom}_R(S, M)</math>, [[余誘導加群]]．
*<math>f^* N = N_R</math>, [[係数の制限]]．
それらは[[随伴関手]]として関係する：
:<math>f_! : \text{Mod}_R \leftrightarrows \text{Mod}_S : f^*,</math>
:<math>f^* : \text{Mod}_S \leftrightarrows \text{Mod}_R : f_*.</math>
これは{{仮リンク|シャピロの補題|en|Shapiro's lemma}}と関係する．

== Operations ==
===係数制限===
係数の制限は {{mvar|S}}-加群を {{mvar|R}}-加群に変える．[[代数幾何学]]では，用語「係数制限」はしばしば{{仮リンク|ヴェイユ制限|en|Weil restriction}}のシノニムとして用いられる．

==== 定義 ====

{{mvar|R}} と {{mvar|S}} を2つの環とし（[[可換環|可換]]であってもなくてもよく，[[単位元]]を持っても持たなくてもよい），{{math|''f'': ''R'' &rarr; ''S''}} を準同型とする．{{mvar|M}} を {{mvar|S}} 上の加群とする．このとき次のようにして {{mvar|M}} を {{mvar|R}} 上の加群と見なせる：{{mvar|R}} の作用を {{math|''r'' &isin; ''R''}} と {{math|''m'' &isin; ''M''}} に対して <math>r \cdot m = f(r) \cdot m</math> によって与える．

==== 関手としての解釈 ====

係数制限は {{mvar|S}} 加群の圏から {{mvar|R}} 加群の圏への[[関手]]と見ることができる．{{mvar|S}} 準同型 {{math|''u'': ''M'' &rarr; ''N''}} は自動的に {{mvar|M}} と {{mvar|N}} の制限の間の {{mvar|R}} 準同型になる．実際，{{math|''m'' &isin; ''M''}} と {{math|''r'' &isin; ''R''}} に対し，

: <math>u(r \cdot m) = u(f(r) \cdot m) = f(r) \cdot u(m) = r\cdot u(m)\,</math>

となる．

関手として，係数制限は[[係数拡大]]関手の[[右随伴]]である．

{{mvar|R}} が有理整数環のとき，これは単に加群の圏からアーベル群の圏への忘却関手である．

==== 体の場合 ====

{{mvar|R}} と {{mvar|S}} がともに[[可換体|体]]のとき，{{mvar|f}} は[[単射]]でなければならないので，{{mvar|f}} により {{mvar|R}} は {{mvar|S}} の[[部分体]]と同一視される．そのような場合 {{mvar|S}} 加群は単に {{mvar|S}} 上の[[ベクトル空間]]であり，当然任意の部分体上のベクトル空間でもある．すると制限によって得られる加群は単に部分体 <math>R \subset S</math> 上のベクトル空間である．

=== 係数拡大 ===
係数拡大は {{mvar|R}} 加群を {{mvar|S}} 加群に変える．

==== 定義 ====

この定義では環は[[結合的]]と仮定するが，可換であったり単位元を持ったりする必要はない．また，加群は[[左加群]]と仮定する．右加群の場合に必要な修正は容易である．

{{math|''f'': ''R'' &rarr; ''S''}} を2つの環の間の準同型とし，{{mvar|M}} を {{mvar|R}} 上の加群とする．[[加群のテンソル積|テンソル積]] {{math|1={{sub|''S''}}''M'' = ''S'' &otimes;{{sub|''R''}} ''M''}} を考える，ただし {{mvar|S}} は {{mvar|f}} によって右 {{mvar|R}} 加群と見なす．{{mvar|S}} は自身の上の左加群でもあり，2つの作用は可換である，すなわち {{math|''s'', ''s''&prime; &isin; ''S''}} と {{math|''r'' &isin; ''R''}} に対して <math>s \cdot (s' \cdot r) = (s \cdot s') \cdot r</math> である（よりフォーマルなことばでは，{{mvar|S}} は {{math|(''S'', ''R'')}} [[両側加群]]である）から，{{math|{{sub|''S''}}''M''}} は {{mvar|S}} の左作用を引き継ぐ．それは {{math|''s'', ''s''&prime; &isin; ''S''}} と {{math|''m'' &isin; ''M''}} に対して <math>s \cdot (s' \otimes m) = ss' \otimes m</math> によって与えられる．この加群は {{mvar|M}} から''係数拡大''によって得られるといわれる．

インフォーマルには，係数拡大は「環と加群のテンソル積」である；よりフォーマルには，それは両側加群と加群のテンソル積の特別な場合である―― {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群と {{mvar|R}} 加群のテンソル積は {{mvar|S}} 加群である．

==== 例 ====
最も単純な例の1つは{{仮リンク|複素化|en|complexification}}であり，これは[[実数]]から[[複素数]]への係数拡大である．より一般に，任意の[[体拡大]] {{math|''K'' &lt; ''L''}} が与えられると，{{mvar|K}} から {{mvar|L}} に係数拡大できる．体のことばでは，体上の加群は[[ベクトル空間]]と呼ばれ，したがって係数拡大は {{mvar|K}} 上のベクトル空間を {{mvar|L}} 上のベクトル空間に変える．これは，{{仮リンク|四元数化|en|quaternionification}}（実数から[[四元数]]への拡張）のように，[[可除環]]に対してもできる．

より一般に，体あるいは''可換''環 {{mvar|R}} から環 {{mvar|S}} への準同型が与えられると，環 {{mvar|S}} は {{mvar|R}} 上の[[結合多元環]]と考えることができ，したがって {{mvar|R}} 加群を係数拡大するとき，得られる加群は {{mvar|S}} 加群と考えることも（{{mvar|R}} 代数としての）{{mvar|S}} の[[代数の表現]]をもった {{mvar|R}} 加群と考えることもできる．例えば，実ベクトル空間を複素化 ({{math|1=''R'' = '''R'''}}, {{math|1=''S'' = '''C'''}}) した結果は，複素ベクトル区間（{{mvar|S}} 加群）とも{{仮リンク|線型複素構造|en|linear complex structure}}（{{mvar|R}} 加群としての {{mvar|S}} の代数の表現）を持った実ベクトル空間とも解釈できる．

===== 応用 =====
この一般化は体の研究に対してさえ有用である――特に，体に付随する多くの代数的対象はそれら自身は体ではなく[[表現論]]のように体上の代数のような環である．ベクトル空間上の係数を拡大できるのと同様に，[[群環]]上の係数も拡張でき，したがって群環上の加群すなわち[[群の表現]]の係数も拡張できる．特に有用なのは[[既約表現]]が係数拡大でどう変わるかを関係づけることである――例えば，平面の 90° の回転によって得られる位数4の巡回群の表現は既約な2次元の''実''表現であるが，複素数に係数拡大すると，2つの1次元の複素表現に分裂する．これはこの作用素の[[特性多項式]] {{math|''x''{{sup|2}} + 1}} が実数では2次の既約多項式であるが複素数では2つの1次式に分解することに対応する――実固有値は持たないが，2つの複素固有値を持つ．

==== 関手としての解釈 ====

係数拡大は {{mvar|R}} 加群の圏から {{mvar|S}} 加群の圏への関手と解釈できる．それは {{mvar|M}} を上のように {{mvar|{{sub|S}}M}} に送り，{{mvar|R}} 準同型 {{math|''u'': ''M'' &rarr; ''N''}} を <math>u_S = \text{id}_S \otimes u</math> で定義される {{mvar|S}} 準同型 {{math|''u{{sub|S}}'': ''{{sub|S}}M'' &rarr; ''{{sub|S}}N''}} に送る．

=== 係数余拡大（余誘導加群） ===
{{empty section|date=November 2015}}

== 係数拡大と係数制限の関係 ==

{{mvar|R}} 加群 {{mvar|M}} と {{mvar|S}} 加群 {{mvar|N}} を考える．準同型 <math>u \in \text{Hom}_R(M,N)</math>, ただし {{mvar|N}} は[[係数制限]]によって {{mvar|R}} 加群と見なす，が与えられたとき，{{math|''Fu'': {{sub|''S''}}''M'' &rarr; ''N''}} を[[写像の合成|合成]]
:<math>_SM = S \otimes_R M \xrightarrow{\text{id}_S \otimes u} S \otimes_R N \to N</math>,
と定義する，ただし最後の写像は <math>s \otimes n \mapsto sn</math> である．この {{mvar|Fu}} は {{mvar|S}} 準同型であり，したがって <math>F \colon \text{Hom}_R(M,N) \to \text{Hom}_S(_SM,N)</math> は well-defined で，（[[アーベル群]]の）準同型である．

{{mvar|R}} と {{mvar|S}} がともに単位元を持つとき，逆写像 <math>G : \text{Hom}_S(_SM,N) \to \text{Hom}_R(M,N)</math> があり，それは以下のように定義される．<math>v \in \text{Hom}_S(_SM,N)</math> とする．すると {{mvar|Gv}} は合成
:<math>M \to R \otimes_R M \xrightarrow{f \otimes \text{id}_M} S \otimes_R M \xrightarrow{v} N</math>
である，ただし最初の写像は{{仮リンク|canonical form|en|canonical form|label=標準的な}}[[同型]] <math>m \mapsto 1 \otimes m</math> である．

この構成は群 <math>\text{Hom}_S(_SM,N)</math> と <math>\text{Hom}_R(M,N)</math> が同型であることを示している．実はこの同型は準同型 {{mvar|f}} のみに依っており，したがって[[関手]]的である．[[圏論]]のことばでは，係数拡大関手は係数制限関手の[[左随伴]]である．

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|Six operations|en|Six operations}}
*[[体のテンソル積]]

== 参考文献 ==
*J.P. May, [http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/TorExt.pdf Notes on Tor and Ext]
*NICOLAS BOURBAKI. Algebra I, Chapter II. LINEAR ALGEBRA.§5. Extension of the ring of scalars;§7. Vector spaces. 1974 by Hermann.

== 関連文献 ==
*http://mathoverflow.net/questions/1534/induction-and-coinduction-of-representations

{{DEFAULTSORT:けいすうかんのへんこう}}
[[Category:環論]]
[[Category:加群論]]
[[Category:数学に関する記事]]