保型形式のL-函数のソースを表示

'''保型 [[L関数|''L'' 関数]]''' (automorphic L-function) とは、複素変数 ''s'' の関数 ''L''(''s'', {{π}}, ''r'') であって、[[大域体]]上の[[簡約群]] ''G'' の[[保型表現]] {{π}} と、''G'' の[[ラングランズ双対|ラングランズ双対群]] ''<sup>L</sup>G'' の有限次元複素表現に付随するものであり、[[ディリクレ指標]]の[[ディリクレ級数]]や[[モジュラ形式]]の[[メリン変換]]を一般化する。{{harvs|txt|authorlink=Robert Langlands|last=Langlands|year1=1967|year2=1970|year3=1971}} により導入された。 

{{harvtxt|Borel|1979}} と {{harvtxt|Arthur|Gelbart|1991}} は保型 ''L'' 関数のサーベイを与えた。

==性質==

保型 L-函数は次の性質を持っていると思われている（この性質は証明されているものもあるが、未だ予想の段階であることもある）。

L-函数 L(''s'', {{π}}, ''r'') はの ''F'' の素点 ''v'' ごとに定められる局所 L-函数の積である。
:<math>L(s,\pi,r) = \prod L(s,\pi_v,r_v)</math>
ここに、[[保型表現]] {{π}} = ⊗{{π}}<sub>''v''</sub> は局所体 F<sub>v</sub> 上の群の表現 {{π}}<sub>''v''</sub> のテンソル積である。

L-函数は全複素数 s の有理型函数として解析接続され、次の函数等式を満たすことが予想されている。
:<math>L(s,\pi,r) = \varepsilon(s,\pi,r) L(1 - s,\pi,r^\vee)</math>
ここに、 <math>\varepsilon(s,\pi,r)</math> は、有限個の v をのぞいて 1 となるような'''局所定数'''の積
:<math>\varepsilon(s,\pi,r)</math><math> = \prod\varepsilon(s,\pi_v,r_v, \varphi_v)</math>
である。

==一般線型群==

{{harvtxt|Godement|Jacquet|1972}} は、（いわゆる[[標準L-函数]]）標準表現 r にたいする一般線型群 GL(n) の保型 L-函数を構成し、[[テイト論文]]の方法の一般化を使って解析接続と函数等式を証明した。ラングランズプログラムによれば、GL(m) と GL(n) の表現の[[ランキン・セルバーグの方法|ランキン・セルバーグ]]積から定まるランキン・セルバーグの L-函数が、多くの解析的性質を満たす。函数等式は、最初は[[ラングランズ・シャヒーディの方法]]を通して最初に証明された。

[[ラングランズ・プログラム|ラングランズ函手性]]予想によれば、連結な[[簡約群]]の保型 L-函数は一般線型群の保型 L-函数の積となる。ラングランズ函手性の証明は、保型形式のL-函数の解析的性質の更に深い理解をもたらすであろう。

==参考文献==

*{{Citation | last1=Arthur | first1=James | last2=Gelbart | first2=Stephen | author2-link = Stephen Gelbart | editor1-last=Coates | editor1-first=John | editor2-last=Taylor | editor2-first=M. J. | title=L-functions and arithmetic (Durham, 1989) | url=http://www.claymath.org/cw/arthur/pdf/automorphic-L.pdf | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Math. Soc. Lecture Note Ser. | isbn=978-0-521-38619-7  | doi=10.1017/CBO9780511526053.003 | mr=1110389 | year=1991 | volume=153 | chapter=Lectures on automorphic L-functions | pages=1–59}}
*{{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | editor1-last=Borel | editor1-first=Armand | editor1-link=Armand Borel | editor2-last=Casselman | editor2-first=W. | title=Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2 | url=http://www.ams.org/publications/online-books/pspum332-index | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Proc. Sympos. Pure Math. | isbn=978-0-8218-1437-6  | mr=546608 | year=1979 | volume= XXXIII | chapter=Automorphic L-functions | pages=27–61}}
*{{Citation | last1=Cogdell | first1=James W. | last2=Kim | first2=Henry H. | last3=Murty | first3=Maruti Ram | title=Lectures on automorphic L-functions | url=https://books.google.co.jp/books?id=jb3ZCp0-MQsC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Fields Institute Monographs | isbn=978-0-8218-3516-6 | mr=2071722 | year=2004 | volume=20}}
*{{Citation | last1=Gelbart | first1=Stephen | author1-link = Stephen Gelbart | last2=Piatetski-Shapiro | first2=Ilya | last3=Rallis | first3=Stephen | title=Explicit constructions of automorphic L-functions | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-17848-4 | doi=10.1007/BFb0078125 | mr=892097 | year=1987 | volume=1254}}
*{{Citation | last1=Godement | first1=Roger | author1-link=Roger Godement | last2=Jacquet | first2=Hervé | title=Zeta functions of simple algebras | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-05797-0 | doi=10.1007/BFb0070263 | mr=0342495 | year=1972 | volume=260}}
*{{Citation | last1=Jacquet | first1=H. | last2=Piatetski-Shapiro | first2=I. I. | last3=Shalika | first3=J. A. | title=Rankin-Selberg Convolutions | year=1983 | journal=Amer. J. Math. | volume=105 | pages=367–464 | doi=10.2307/2374264}}
*{{citation|last=Langlands|first=Robert|title=Letter to Prof. Weil|year=1967|url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21}}
*{{Citation | last1=Langlands | first1=R. P. | title=Lectures in modern analysis and applications, III | url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series= Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-05284-5 | doi=10.1007/BFb0079065 | mr=0302614 | year=1970 | volume=170 | chapter=Problems in the theory of automorphic forms | pages=18–61}}
*{{Citation | last1=Langlands | first1=Robert P. | title=Euler products | origyear=1967 | url=http://publications.ias.edu/rpl/paper/37 | publisher=Yale University Press | isbn=978-0-300-01395-5 | mr=0419366 | year=1971}}
*{{Citation | last1=Shahidi | first1=F. | title=On certain "L"-functions | year=1981 | journal=Amer. J. Math. | volume=103 | pages=297–355}}

{{L-functions-footer}}
{{デフォルトソート:ほけいけいしきのえるかんすう}}
[[Category:保型形式論]]
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:ラングランズ・プログラム]]
[[Category:数学に関する記事]]