信頼区間のソースを表示

{{混同|信用区間}}
{{出典の明記|date=2015-09}}
{{Expand English|Confidence interval|date=2024年5月}}
[[ファイル:95%Confidence interval.png|thumb|95%信頼区間の図解。中央が推定値（estimate）。]]
'''信頼区間'''（しんらいくかん、{{Lang-en-short|Confidence interval, CI}}）とは、[[統計学]]で[[母集団]]の真の値（母平均等）が含まれることが、かなり確信 (confident) できる数値範囲のことである<ref>{{Cite web|和書
|url=https://www.iryoutoukei.com/2017/07/18/%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86/
|title=役に立つ医療統計学/用語集 |accessdate=2020-07-02}}</ref>。例えば95%CIとは、信頼区間を計算するために用いた数学的モデルが有意水準α = 0.05の[[仮説検定]]で棄却されないパラメーターの範囲を指す<ref>{{Cite web|和書|title=19-3. 95％信頼区間のもつ意味 {{!}} 統計学の時間 {{!}} 統計WEB|url=https://bellcurve.jp/statistics/course/8891.html|accessdate=2021-05-16|language=ja}}</ref>。真の値は未測定であっても[[確率変数]]ではなく、特定の区間に含まれるか含まれないかは確定している。

数学的には、[[母数空間]] ''Θ'' 上の関数 ''g:'' ''Θ'' → '''R''' が[[母数]] ''θ'' ∈ ''Θ'' でとる値 ''g''(''θ'') を統計的に推定するために用いられる区間をいう。[[実数]] 0 < ''α'' < 1 と（観測できない）母数 ''θ'' により定まる[[確率分布]] ''P'' = ''P{{sub|θ}}'' をもつ母集団からの[[標本 (統計学)|標本]] ''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}'' に関する[[統計量]] ''a'', ''b'' が不等式
:<math>P(a \leq g(\theta) \leq b) \geq 1 - \alpha</math>
を満たすとき、[[区間 (数学)|区間]] [''a'', ''b''] を ''g''(''θ'') の '''100(1 &minus; ''&alpha;'')% 信頼区間'''という。値 1 &minus; ''α''（または 100(1 &minus; ''α'')%）は、'''信頼水準'''（{{lang-en-short|confidence level}}）または'''信頼係数'''（{{lang-en-short|confidence coefficient}}）と呼ばれ、慣習的には95%や99%（つまり ''α'' = 0.05, 0.01）などの数値を用いる。これを
:○% CI [''a'', ''b'']
と表記することもある。
<!--
言葉足らずで意味が取れないので、とりあえずコメントアウト。
信頼区間は普通、標本から計算された統計量とともに与えられる。-->

例えば「信頼水準95%で、投票者の35%から45%がA候補を支持している」といったとき、95%というのが信頼水準で、35%から45%というのが信頼区間、''g''(''θ'') に当たるのはA候補の支持率である。

2019年には科学者800人超が『''[[ネイチャー|Nature]]''』に署名を掲載し、誤って使われていることも多い「統計的有意性」を使うのをやめて信頼区間を互換区間（compatible interval、調和区間、適合区間、非矛盾区間）という言葉に言い換えて使用すべきだとされた<ref name="Nature800">{{Cite web|和書|author=井上輝一 |date=2019-03-26 |url=https://www.itmedia.co.jp/news/articles/1903/26/news112.html |title=「“統計的に有意差なし”もうやめませんか」　Natureに科学者800人超が署名して投稿 |publisher=ITmedia |accessdate=2019-05-21}}</ref><ref>{{Cite journal |author=Amrhein V |authorlink= |date= |year=2019 |month= |title=Scientists rise up against statistical significance |journal=Nature |volume=567 |issue=7748 |pages=305-7 |publisher= |location= |issn= |doi=10.1038/d41586-019-00857-9 |naid= |pmid=30894741 |id= |url= |format= |accessdate= |quote= }}</ref>。

== 解釈 ==
[[画像:NYW-confidence-interval.svg|300px|thumb|95%信頼区間の例。50の信頼区間のうち3つには母平均μが含まれていない。]]
上の言い方は「候補Aの支持率が35%から45%である確率は95%である」
というふうにとられやすいが、これは（少なくとも従来の統計学の主流的考え方としては）誤解である。

別の例として、観測値から海王星の質量を推定する場合を以下に記す。

1.「信頼水準90%で、海王星の質量は ''a'' から ''b'' の間である」

とは言えるが、観測から得られた値 ''a'' と ''b'' に基づいて

2.「海王星の質量が ''a'' から ''b'' の間に入る確率は90%である」

と言うことはできない。質量はあくまで定数であって、誤差が生じるのは観測による、つまり ''a'' と ''b'' が誤差を含む統計量だからである。従来の統計学（確率を頻度として定義する[[頻度主義統計学]]）の考え方では海王星の例（1）を言い直せば、

1'. 「同じ測定を10回行えば、9回程度の'''頻度'''（[[割合]]）で『海王星の質量は ''a'' から ''b'' の間である』という測定結果が得られる」

ということになる。

ただし、確率を信頼の度合いとして定義する[[ベイズ統計学]]の考え方では、2のような言い方は必ずしも誤りではない。この場合、普通用いられる考え方はベイズ[[信用区間|'''信用'''区間]]（Bayesian '''credible''' interval）である。これはまず θ の値として予想される'''事前確率'''分布から出発して、次に観測データが与えられた条件での θ の条件付確率分布を求め、これを'''事後確率'''分布として“信頼”区間の表現に用いる方法である。

== 具体例 ==
{{math2|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}} を、[[平均]] {{mvar|μ}}、[[分散 (確率論)|分散]] {{math2|''σ''{{sup|2}} > 0}} の[[正規分布]]に従う[[母集団]]から抽出した[[独立 (確率論)|独立]]な標本とする。そこで標本平均と不偏分散をそれぞれ
:<math>\begin{align}
\overline{X} &= \frac{1}{n} \textstyle\sum\limits_{i=1}^n X_i \\
S^2 &= \frac{1}{n-1} \textstyle\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2
\end{align}</math>
とおけば
:<math>T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}</math>
は自由度 ''n'' &minus; 1 の[[t分布]]に従う。ここで ''T'' が従う分布は（観測できない）母数 ''&theta;'' = (''μ'', ''σ''<sup>2</sup>) にはよらないことに注意。

''t''<sub>''n''&minus;1</sub>(''&alpha;'') をこの分布の上側100''&alpha;''%点とすれば
:<math>P\big( -t_{n - 1}(\alpha/2) \leq T \leq t_{n - 1}(\alpha/2) \big) = 1 - \alpha</math>
となる。したがって
:<math>P\left( \overline{X} - t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + t_{n - 1}(\alpha/2)\frac{S}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha</math>
が成り立ち、平均 ''g''(''&theta;'') = ''μ'' の 100(1 &minus; ''&alpha;'')% 信頼区間
:<math>\left[ \overline{X} - t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}},\quad \overline{X} + t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \right]</math>
が得られる。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
{{Commons|Category:Confidence interval}}
* [[推計統計学]]
* [[予測区間]]
* [[ブートストラップ法]]

{{統計学}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しんらいくかん}}
[[Category:推計統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]