倍加時間のソースを表示

'''倍加時間'''（ばいかじかん、{{lang-en|doubling time}}）とは、何らかの[[数]]または[[物理量|量]]が2倍になるのに要する[[時間]]のことである。'''倍増時間'''（ばいぞうじかん）とも言う。[[人口増加]]・[[インフレーション]]・[[天然資源]]の採出量・物の[[消費]]量・[[複利]]計算・[[悪性腫瘍]]の大きさなど、時間の経過とともに大きくなる物に適用される。相対的（絶対的ではない）な増加率が一定の場合、量は[[指数関数的成長|指数関数的に増加]]し、倍加時間は一定になる。この場合、増加率から直接に倍加時間を計算することができる。

倍加時間は、2の[[自然対数]]を、増加率の冪指数で割ることで求められる。あるいは、[[パーセント]]で表した増加率の数値で70を割ると概算値が求められる。さらに大まかな値を求めるのに、70の代わりに[[約数]]の多い[[72]]を使う方法が良く知られており、「[[72の法則]]」と呼ばれている。

倍加時間は指数関数的増加方程式の{{仮リンク|無次元化|en|Nondimensionalization|label=特性単位|preserve=1}}であり、倍加時間の逆の[[指数関数的減衰]]に対する同種の値が[[半減期]]である。

例えば、2006年のカナダの年間の人口増加率は0.9%であり、70を0.9で割るとおおよその倍加時間である78年が求められる。ここから、人口増加率が変わらない場合、2006年のときの3300万人から、78年後の2084年には倍の6600万人になることになる。

== 歴史 ==
倍加時間という概念は、[[バビロニア数学]]において金の貸し借りに関する計算で現れる。紀元前2000年頃の粘土板に、「月に1/60の利率（複利なし）を与えたとき、倍加時間を求めよ」という演習が含まれている。この場合、年間の利率は12/60 = 20%であり、複利なしなので倍加時間は100/20で5年となる<ref name="hudson">[http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-miracle-of-compound-interest-leads-to-financial-crises/ Why the “Miracle of Compound Interest” leads to Financial Crises], by Michael Hudson</ref>
<ref>[http://plus.maths.org/issue11/features/compound/ Have we caught your interest?] by John H. Webb</ref>。この時代には、借りた額の2倍の額を一定期間後に返済するのが一般的な商慣習であった。紀元前1900年のアッシリアの一般的な金貸しは、2[[ミナ]]の重さの金を借りて5年後に4ミナを返すというものだった<ref name="hudson"/>し、この時代のエジプトの諺に「富が利子のあるところに置かれれば、それは倍になって戻ってくる」というものがある<ref name="hudson"/><ref>Miriam Lichtheim, Ancient Egyptian Literature, II:135.</ref>。

== 説明 ==
単に成長率のパーセンテージを見るよりも、倍加時間を見る方が、長期的な成長の影響をより直感的に理解することができる。

単位時間あたりの成長率が''r''%の固定値であるとき、倍加時間''T''<sub>''d''</sub>は以下の式で求められる。

:<math> T_{d} = \frac{\log(2)}{\log(1+\frac{r}{100})}</math>  ≈ <math> \frac{70}{r}</math>

ある時間の対象物の数は以下の式で求められる。

単純な倍加時間の式:

:<math>N(t) = C 2^{t/d}</math>

* ''N''(''t'') = 時間''t''における対象物の数
* ''d'' = 倍加時間（対象物の数が倍になるのにかかる時間）
* ''c'' = 対象物の当初の数
* ''t'' = 時間

{|
|+ '''成長率を''r''%としたときの倍加時間''T''<sub>''d''</sub>'''
|- style="vertical-align:top"
|
{| class="wikitable"
!''r''% !! ''T<sub>d</sub>''
|-
| &nbsp;0.1 || style="text-align:right" | 693.49
|-
| &nbsp;0.2 || style="text-align:right" | 346.92
|-
| &nbsp;0.3 || style="text-align:right" | 231.40
|-
| &nbsp;0.4 || style="text-align:right" | 173.63
|-
| &nbsp;0.5 || style="text-align:right" | 138.98
|-
| &nbsp;0.6 || style="text-align:right" | 115.87
|-
| &nbsp;0.7 || style="text-align:right" | 99.36
|-
| &nbsp;0.8 || style="text-align:right" | 86.99
|-
| &nbsp;0.9 || style="text-align:right" | 77.36
|-
| &nbsp;1.0 || style="text-align:right" | 69.66
|}
|
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!''r''% !! ''T<sub>d</sub>''
|-
| &nbsp;1.1 || style="text-align:right" | 63.36
|-
| &nbsp;1.2 || style="text-align:right" | 58.11
|-
| &nbsp;1.3 || style="text-align:right" | 53.66
|-
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|-
| &nbsp;1.5 || style="text-align:right" | 46.56
|-
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|-
| &nbsp;1.7 || style="text-align:right" | 41.12
|-
| &nbsp;1.8 || style="text-align:right" | 38.85
|-
| &nbsp;1.9 || style="text-align:right" | 36.83
|-
| &nbsp;2.0 || style="text-align:right" | 35.00
|}
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| &nbsp;2.1 || style="text-align:right" | 33.35
|-
| &nbsp;2.2 || style="text-align:right" | 31.85
|-
| &nbsp;2.3 || style="text-align:right" | 30.48
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| &nbsp;3.0 || style="text-align:right" | 23.45
|}
|
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|-
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|-
| &nbsp;3.4 || style="text-align:right" | 20.73
|-
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|-
| &nbsp;3.7 || style="text-align:right" | 19.08
|-
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|-
| &nbsp;3.9 || style="text-align:right" | 18.12
|-
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|}
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|-
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|-
| &nbsp;4.6 || style="text-align:right" | 15.41
|-
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|-
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|-
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|-
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|}
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|-
| &nbsp;5.5 || style="text-align:right" | 12.95
|-
| &nbsp;6.0 || style="text-align:right" | 11.90
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| &nbsp;6.5 || style="text-align:right" | 11.01
|-
| &nbsp;7.0 || style="text-align:right" | 10.24
|-
| &nbsp;7.5 || style="text-align:right" | 9.58
|-
| &nbsp;8.0 || style="text-align:right" | 9.01
|-
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|-
| &nbsp;9.0 || style="text-align:right" | 8.04
|-
| &nbsp;9.5 || style="text-align:right" | 7.64
|-
| 10.0 || style="text-align:right" | 7.27
|}
|
{| class="wikitable"
!''r''% !! ''T<sub>d</sub>''
|-
| 11.0 || style="text-align:right" | 6.64
|-
| 12.0 || style="text-align:right" | 6.12
|-
| 13.0 || style="text-align:right" | 5.67
|-
| 14.0 || style="text-align:right" | 5.29
|-
| 15.0 || style="text-align:right" | 4.96
|-
| 16.0 || style="text-align:right" | 4.67
|-
| 17.0 || style="text-align:right" | 4.41
|-
| 18.0 || style="text-align:right" | 4.19
|-
| 19.0 || style="text-align:right" | 3.98
|-
| 20.0 || style="text-align:right" | 3.80
|}
|}

上の表から、例えば、年間成長率が4.8%の場合の倍加時間は14.78年となり、倍加時間を10年とするためには年間成長率を7.0%と7.5%の間（実際には7.18%）にすれば良いことがわかる。

資源の消費が一定の割合で増加する場合に適用すると、1倍加時間に消費された総量は、それまでの期間で消費された総量に等しい。ジミー・カーター米大統領は1977年の演説で、「過去の2つの[[十年紀]]のそれぞれで、世界の石油消費量は、それ以前の有史以来の石油消費量を上回っている。1950年から1970年にかけて世界の石油消費量がほぼ指数関数的に増加し、倍加時間が10年以下となったためである。」と述べた。

時間''t''<sub>1</sub>における量が''q''<sub>1</sub>、時間''t''<sub>2</sub>における量が''q''<sub>2</sub>であるとき、この間の成長率が一定であったと仮定すると、倍加時間は以下のように求められる。

:<math> T_{d} = (t_{2} - t_{1}) \cdot \frac{\log(2)}{\log(\frac{q_{2}}{q_{1}})}</math>

== 関連する概念 ==
単位時間の成長率が負の値である（対象物の量が一定の割合で減少する）場合、すなわち[[指数関数的減衰]]における倍加時間と同様の概念が[[半減期]]である。

倍加時間における「2倍」を「[[ネイピア数|''e'']]倍」にしたのが{{仮リンク|e-folding|en|e-folding|label=''e''-folding}}である。

{{wide image|doubling_time_vs_half_life.svg|640px|指数関数的増加（太線）・指数関数的減衰（細線）の倍増時間・半減期を比較するグラフ}}

== 細胞培養の倍加時間 ==
[[細胞培養]]の倍加時間 {{math|''t''{{sub|d}}}} は、[[比増殖速度]]（1単位時間の倍加量）{{mvar|&mu;}} を用いて以下のように求められる。

比増殖速度:
:<math>\mu = \frac{\ln N(t) - \ln N(0)}{t}</math>
* {{mvar|&mu;}}  = 比増殖速度
* {{mvar|t}} = 時間（通常は[[時間 (単位)|時間]]単位）
* {{math|''N''(''t'')}} = 時間 {{mvar|t}} における細胞の数（[[微分方程式]] <math>\textstyle \frac{dN}{dt} = \mu N</math> に従う）
（ただし、実験的には2点のデータ {{math|''N''(0), ''N''(''t'')}} から比増殖速度 {{mvar|&mu;}} を推定すると誤差の影響を大きく受けるので、複数のデータから[[対数]] {{math|ln ''N''(''t'')}} をとり、傾き {{mvar|&mu;}} を[[最小二乗法]]によって推定する<ref>{{citation
|author1=小西正朗
|author2=堀内淳一
|year=2015
|title=細胞の増殖を捉える：計測法から比速度算出まで（続・生物工学基礎講座―バイオよもやま話―）
|journal=生物工学会誌
|volume=93
|issue=3
|pages=149–152
|issn=0919-3758
|url=https://www.sbj.or.jp/wp-content/uploads/file/sbj/9303/9303_yomoyama.pdf
}}</ref>。）

倍加時間:
:<math> t_\mathrm{d} = \frac{\ln 2}{\mu} </math>

以下は細胞の倍加時間の例である。
{| class="wikitable"
!細胞の種類
!採取元
!倍加時間
|-
|[[間葉系幹細胞]]
|マウス
|21-23 時間<ref>{{Cite web|url = http://tools.lifetechnologies.com/content/sfs/manuals/GIBCO_Mouse_(C57)_MSCs.pdf|title = Life Technologies|date = |accessdate =2016-11-21 |website = |publisher = |last = |first = }}</ref>
|-
|心臓幹細胞
|ヒト
|29 ± 10 時間<ref>{{Cite journal|url = http://www.pnas.org/content/104/35/14068.full|title = Human cardiac stem cells|last = |first = |date = |journal = |doi = |pmid = |access-date = }}</ref>
|}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|e-folding|en|e-folding|label=''e''-folding}}
* [[半減期]]
* [[72の法則]]
* {{仮リンク|アルバート・アレン・バートレット|en|Albert Allen Bartlett}}
* [[指数関数的成長]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{kotobank|1=倍加時間|2=[[デジタル大辞泉]]}}
* [http://www.miniwebtool.com/doubling-time-calculator/ Doubling Time Calculator]
* [http://geography.about.com/od/populationgeography/a/populationgrow.htm Population Growth Rates]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はいかしかん}}
[[Category:利子・金利]]
[[Category:時間]]
[[Category:指数関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:培養]]