倍数のソースを表示

[[数学]]において、数 {{mvar|a}} の'''倍数'''（ばいすう、[[英語|英]]:multiple）とは、{{mvar|a}} を[[整数]]倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、
:{{math2|… &minus;3''a'', &minus;2''a'' , &minus;''a'', 0, ''a'', 2''a'', 3''a'', …}}
を指す。{{math|''a'' ≠ 0}} ならば、{{mvar|a}} の倍数は無数に存在する。

{{mvar|a}} を整数に限ると、{{mvar|a}} の倍数とは「{{mvar|a}} で割り切れる整数」のことであり、{{mvar|a}} の[[約数]]（「{{mvar|a}} を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は {{mvar|a}} が整数でなくても定義できる。

倍数の中で {{math|0}} 以外は[[符号]]の違いだけの組が現れるので、
:{{math2|0, ±''a'', ±2''a'', ±3''a'', …}}
と表すこともある。とくに {{mvar|a}} が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数として
:{{math2|''a'', 2''a'', 3''a'', …}}
だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 <math>\mathbb{Z}</math> を用いると、{{mvar|a}} の倍数は <math>a\mathbb{Z}</math> である。

== 例 ==
{|class="wikitable" style="font-size:95%;float:right;margin:0px 0px 3px 7px;line-height:1.3em"
!colspan="12"|整数の倍数
|-
!番号
!0!!{{0}}1!!{{0}}2!!{{0}}3!!{{0}}4!!{{0}}5!!{{0}}6!!{{0}}7!!{{0}}8!!{{0}}9!!10
|-
!{{0}}1の倍数
|0||{{0}}1||{{0}}2||{{0}}3||{{0}}4||{{0}}5||{{0}}6||{{0}}7||{{0}}8||{{0}}9||style="text-align:center"|10
|-
!{{0}}2の倍数
|0||{{0}}2||{{0}}4||{{0}}6||{{0}}8||10||12||14||16||18||style="text-align:center"|20
|-
!{{0}}3の倍数
|0||{{0}}3||{{0}}6||{{0}}9||12||15||18||21||24||27||style="text-align:center"|30
|-
!{{0}}4の倍数
|0||{{0}}4||{{0}}8||12||16||20||24||28||32||36||style="text-align:center"|40
|-
!{{0}}5の倍数
|0||{{0}}5||10||15||20||25||30||35||40||45||style="text-align:center"|50
|-
!{{0}}6の倍数
|0||{{0}}6||12||18||24||30||36||42||48||54||style="text-align:center"|60
|-
!{{0}}7の倍数
|0||{{0}}7||14||21||28||35||42||49||56||63||style="text-align:center"|70
|-
!{{0}}8の倍数
|0||{{0}}8||16||24||32||40||48||56||64||72||style="text-align:center"|80
|-
!{{0}}9の倍数
|0||{{0}}9||18||27||36||45||54||63||72||81||style="text-align:center"|90
|-
!10の倍数
|0||10||20||30||40||50||60||70||80||90||100
|}
*{{math|2}} の倍数は {{math2|0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …}}
**[[偶数]]に等しい。
*{{math|3}} の倍数は {{math2|0, ±3, ±6, ±9, ±12, …}}
*{{math|12}} は {{math2|1, 2, 3, 4, 6, 12}} のいずれの倍数でもある。
**{{math|12}} の正の約数は {{math2|1, 2, 3, 4, 6, 12}} であることによる。
{{See also|九九}}

== 数学的性質 ==
=== 整数に関する性質 ===
*{{math|[[0]]}} だけ倍数の個数が有限（{{math|0}} のみ）である。（したがって {{math|0}} の倍数を考えることはあまり意味がない）
*{{math|0}} は全ての数の倍数である。
*全ての数は自分自身の倍数である。
*全ての整数は {{math|[[1]]}} と [[-1|{{math|&minus;1}}]] の倍数である。
*[[偶数]]とは {{math|2}} の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の[[加法|和]]で表せる数」とも定義できるが、この定義は {{math|2}} の倍数であることと[[同値]]である。
*{{mvar|a}} が整数のとき、{{mvar|N}} が {{mvar|a}} の倍数であることは、{{mvar|a}} が {{mvar|N}} の[[約数]]であることと同じ意味である。
*整数 {{mvar|a}}, {{mvar|b}} に対して、{{mvar|b}} が {{mvar|a}} で割り切れることと、{{mvar|b}} の倍数が {{mvar|a}} の倍数に含まれることは同値である。すなわち、
:<math>a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb{Z} \subset a\mathbb{Z}</math>
*{{math|2}} 以上の整数はある[[素数]]の倍数である。
*素数の倍数全体は、{{math|±1}} 以外の整数全体に等しい。
:（→[[素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ]]）
*{{mvar|a}} の倍数かつ {{mvar|b}} の倍数であるものを {{mvar|a}} と {{mvar|b}} の[[公倍数]]という（3個以上の場合でも同様）。{{mvar|ab}} は {{mvar|a}} と {{mvar|b}} の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を[[最小公倍数]]という。
**{{mvar|a}} と {{mvar|b}} の公倍数は {{mvar|a}} と {{mvar|b}} の最小公倍数の倍数である。
*{{mvar|a}} の倍数の倍数は {{mvar|a}} の倍数である。
*{{mvar|P}}, {{mvar|Q}} が 共に {{mvar|a}} の倍数ならば、{{math|''kP'' + ''lQ''}}（{{mvar|k}}, {{mvar|l}} は整数）は共に {{mvar|a}} の倍数である。
**特に、{{math|''P'' ± ''Q''}} は {{mvar|a}} の倍数である
*有理整数環 <math>\mathbb{Z}</math> で[[二項関係]]を <math>x-y\in a\mathbb{Z}</math> で定義すると、これは[[同値関係]]になる。
**その商集合 <math>\mathbb{Z} / a\mathbb{Z}</math> は加法に関する[[アーベル群]]である。（→[[同値関係#商集合の例]]）

=== 整除性の判定法 ===
'''整除性の判定法'''<ref>{{Cite book|和書|author1=G. H. ハーディ|author2=E. M. ライト|translator=示野信一, 矢野毅|title=数論入門Ⅰ|series=シュプリンガー数学クラシックス|publisher=シュプリンガーフェアラーク東京|year=2001|page=152|isbn=4431708480}}</ref>（せいじょせいのはんていほう, {{lang-en-short|divisibility rule}}, {{lang-fr-short|critère de divisibilité}}, {{lang-ru-short|признаки делимости}}, {{lang-zh-short|整除规则}}）は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか（余りがゼロであるか）を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。'''倍数の判定法'''ともいう<ref>{{Cite journal|和書|author=三野栄治|title=倍数の判定法について―整除性の特性から|year=1989|journal=長崎大学教育学部教科教育学研究報告|issue=12|naid=120006970193|page=15}}</ref>。

様々な[[位取り記数法|N進法]]における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。

; 一の位の数で判定
: 一の位がMであればMの倍数、という方法。
; 各桁の和（[[数字和]]）で判定
: 一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での（2、4、）8の倍数、十進数での（3、）9の倍数、十六進数での（3、5、）15の倍数、二十五進数の（2、3、4、6、8、12）24の倍数など。
; 下P桁で判定
: 下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。
; 11が合成数の場合
: 11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例：八進数での9（= 11{{sub|8}}）の倍数（3{{sup|2}} = 11）、二十進数での3の倍数と7の倍数（3×7 = 11）、三十二進数での3の倍数と11の倍数（33 = 11）など。
; 一の位をa倍
: 乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数（7×3 = '''2'''1）、十二進数における5の倍数（5×5 = '''2'''1）、十六進数における11の倍数（3×B ＝ '''2'''1）、四十進数における3{{sup|3}} の倍数（3×3×3×3 ＝ '''2'''1）など。
: 乗算表の最後の数｛(10-1){{sup|2}} = a1｝の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での3{{sup|4}} = '''8'''1の倍数など。
; 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算
: 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15（11{{sub|10}}）の倍数、十進数での3{{sup|5}} = 243 の倍数など。

素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。

とりわけ、[[六進法|六進数]]と[[十進法|十進数]]では、[[素因数]]に[[2]], [[3]], [[5]]が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 3{{sup|2}}+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである（その上に10の素因数も複数ある）。例えば、2{{sup|3}}×3{{sup|2}}×5 = 1400{{sub|(6)}} = 360{{sub|(10)}}の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類（1400, 3200, 5000, 10400…）、十進数だと「一の位が0、整数第二位～第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計25{{sub|10}}種類（'''36'''0, '''72'''0, 1'''08'''0, 1'''44'''0,1'''800''',2'''160''',2'''520'''…）となる。

====十進数での例====
[[十進法|十進数]]での倍数判定法がいくつか存在する。

{| class="wikitable" style="font-size:90%;"
|+ 1 - 9
|-
! {{nowrap|割る数<br>M}} !! <span title="或る整数が整数Mで割り切れるかどうか">整除性の判定法</span>（<span title="或る整数が整数Mの倍数かどうか">倍数の判定法</span>） !! 具体例・備考!!Mの倍数 一覧<br>{{000}}([[オンライン整数列大辞典|OEIS]]){{000}}
|-
! '''[[1]]''' 
| 任意の整数は1で割り切れる || 
|-
! '''[[2]]''' 
| 最後の桁が偶数（0、2、4、6、8）ならば2で割り切れる || 1294：最後の桁4は偶数である。割り算を実行してみれば分かるが、1294は2で割り切れる{{Sfn|日本大百科全書|1987|p=524}}||[https://oeis.org/A005843/list The nonnegative<br> even numbers:<br> a(n) = 2n.<br>(A005843)]
|-
!rowspan="2"| '''[[3]]''' 
| 各桁の数を合計したものが3で割り切れれば、3で割り切れる || 405の場合、4+0+5=9、これは3で割り切れるから405は3で割り切れる{{Sfn|日本大百科全書|1987|p=524}}
|rowspan="2"|[https://oeis.org/A008585/list a(n) = 3*n.<br>(A008585)]
|-
| 各桁に現れる1, 4, 7の数を数える。次に各桁に現れる2, 5, 8の数を数える。両者の差が0ならば3で割り切れる || 16,499,205,854,376：1, 4, 7は合計4回現れる。2, 5, 8は合計4回現れる。4-4= 0、∴3で割り切れる
|-
!rowspan="3"| '''[[4]]''' 
| 最後の2桁が4で割り切れれば4の倍数である || 40,832：最後の2桁である32が4で割り切れる{{Sfn|日本大百科全書|1987|p=524}}
|rowspan="3"|[https://oeis.org/A008586/list Multiples of 4.<br>(A008586)]
|-
| 10の位が偶数の場合、1の位が0, 4, 8<br>10の位が奇数の場合、1の位が2, 6ならば4の倍数である || 40,832：10の位の3は奇数で、1の位が2である
|-
| 10の位に2を掛け、それに1の位を加える。それが4で割り切れればもとの数は4の倍数である || 40832：2×3 + 2 = 8、これは4で割り切れるから40832は4の倍数
|-
! '''[[5]]''' 
| 1の位が0または5 || {{Sfn|日本大百科全書|1987|p=524}}||[https://oeis.org/A008587/list Multiples of 5: <br>a(n) = 5 * n.<br>(A008587)]
|-
!rowspan="2"| '''[[6]]''' 
| 2と3で同時に割り切れる || 1458：1 + 4 + 5 + 8 = 18、∴3で割り切れる。最後の桁2は偶数であるから2で割り切れ、よって6で割り切れる{{Sfn|学校数学事典|2014|p=20}}
|rowspan="2"|[https://oeis.org/A008588/list Nonnegative <br>multiples of 6.<br>(A008588)]
|-
| 10の位より上の数に4を掛け、1の位の数を加える。この操作を1桁になるまで続け、それが6で割り切れればもとの数は6の倍数である || 354: 35 × 4 + 4 = 144，14 × 4 + 4 = 60，6 × 4 + 0 = 24，2 × 4 + 4 = 12，1 × 4 + 2 = 6，よって354は6の倍数
|-
!rowspan="7"| '''[[7]]''' 
| 下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、下から偶数番目の区分は-1倍して合計する。これが7で割り切れれば7の倍数 || 1,369,851：851 − 369 + 1 = 483、これは7で割り切れる。よって1,369,851は7の倍数{{Sfn|学校数学事典|2014|p=20}}
|rowspan="7"| [https://oeis.org/A008589/list Multiples of 7.<br>(A008589)]
|-
| 下から6桁ごとに区分する。各区分を合計する。これが7で割り切れれば7の倍数 || 16,498,888：16 + 498888 = 498904、これは7で割り切れる。以下略
|-
| 1の位に2を掛ける。10以上の位からそれを引く。結果が7で割り切れれば7の倍数 || 483：48 −（3×2）= 42、7で割り切れる。
|-
| 1の位に5を掛け、10以上の位に加える。結果が7で割り切れれば7の倍数 || 483：48 + (3 × 5) = 63，7で割り切れる。
|-
| 最上位の桁の数に3を掛ける。それに上から2桁目の数を加える。こうして得られた数を上位2桁と置き換える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数 || 483：4×3 + 8 = '20'、20を48に置き換える。203：2×3 + 0 = '6'、6を20に置き換えます。63：6×3 + 3 = 21、7で割り切れる
|-
| 下から数えて3桁以上の数に2を掛ける。これに下2桁を加える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数 || 483,595：95 +（2×4835）= 9765、65 +（2×97）= 259、59 +（2×2）= 63、7で割り切れる。
|-
| （6, 12, 18…桁の数に有効）下の桁から順に1, 3, 2, -1, -3, -2を掛け（周期性あり）、合計する。得られた結果が7で割り切れれば、7の倍数 || 483,595：(4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7，7で割り切れる
|-
!rowspan="5"| '''[[8]]''' 
| 100の位が偶数の場合、下2桁が8で割り切れれば8の倍数 || 
|rowspan="5"|[https://oeis.org/A008590/list Multiples of 8.<br>(A008590)]
|-
| 100の位が奇数の場合、下2桁に4を加えて8の倍数になればもとの数は8の倍数 || 352：100の位3は奇数で、下2桁の52に4を加えれば56、これは8で割り切れる
|-
| 下から数えて2桁以上の数に2を掛ける。これに下1桁を加えて8で割り切れれば8の倍数 || 56：（5×2）+ 6 = 16、8で割り切れる。
|-
| 下3桁が8で割り切れれば8の倍数 || 34,152：152は8で割り切れる{{Sfn|Richmond et Richmond|2009|p=102-108}}
|-
| 100の位を4倍する。10の位を2倍する。これらの合計に1の位を加える。結果が8で割り切れれば8の倍数 || 34,152：1×4 + 5×2 + 2 = 16、8で割り切れる。
|-
! '''[[9]]''' 
| 各桁の数を合計したものが9で割り切れれば9の倍数 || 2880：2 + 8 + 8 + 0 = 18：1 + 8 = 9、9で割り切れる{{Sfn|日本大百科全書|1987|p=524}}
|[https://oeis.org/A008591/list Multiples of 9:<br> a(n) = 9*n.<br>(A008591)]
|-
|}

{| class="wikitable" style="font-size:90%;"
|+ 10 - 19
|-
! '''[[10]]''' 
| 1の位が0ならば10の倍数 || {{Sfn|Richmond et Richmond|2009|p=102-108}}
|[https://oeis.org/A008592/list Multiples of 10: <br>a(n) = 10 * n.<br>(A008592)]
|-
!rowspan="6"| '''[[11]]''' 
| 下から数えて奇数桁目は-1倍、偶数桁目は+1倍して合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数 || 918,082：9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22、11で割り切れる{{Sfn|日本大百科全書|1987|p=524}}
|rowspan="6"|[https://oeis.org/A008593/list Multiples of 11.<br>(A008593)]
|-
| 下から2桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数 || 627：6 + 27 = 33、11で割り切れる<br> 50,215：5 + 02 + 15 = 22、11で割り切れる
|-
| 下から数えて2桁以上の数から下1桁を引く。結果が11で割り切れれば11の倍数 || 627：62 − 7 = 55、11で割り切れる。
|-
| 1の桁を10倍して10以上の桁の数に加える。2桁になるまで続ける。11の倍数に行きついたらもとの数は11の倍数 || 627：62 + 70 = 132：13 + 20 = 33、11で割り切れる。
|-
| 全体で偶数桁の場合、最初の桁から最後の桁を引く。それを残りの（中間の）桁に加える。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数
| 918,082（6桁）→1808 +（9 − 2）= 1815、81 + 1 − 5 = 77、これは11で割り切れる。
|-
| 全体で奇数桁の場合、最初の桁と最後の桁を足す。それを残りの（中間の）桁から引く。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数
| 14,179（5桁）→417 −（1 + 9）= 407、0-（4 + 7）= -11、11で割り切れる。
|-
!rowspan="2"| '''[[12]]''' 
|同時に3と4で割り切れれば12の倍数
| {{Sfn|学校数学事典|2014|p=20}}
|rowspan="2"|[https://oeis.org/A008594/list Multiples of 12.<br>(A008594)]
|-
| 下から数えて2桁以上の数を2倍する。そこから下1桁を引く。それが12で割り切れれば12の倍数
| 288：28×2 − 8 = 48、12で割り切れる。
|-
!rowspan="5"| '''[[13]]''' 
| 下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数
| 2,911,272：2-911 + 272 = -637、13で割り切れる{{Sfn|学校数学事典|2014|p=20}}
|rowspan="5"| [https://oeis.org/A008595/list Multiples of 13.<br>(A008595)]
|-
| 下から6桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数
| 161,480,059：161 + 480059 = 480220、これは13で割り切れる
|-
| 下1桁を4倍する。それを残りの桁に加え、13の倍数になればもとの数は13の倍数
| 637：63 + 7×4 = 91、9 + 1×4 = 13、13で割り切れる。
|-
| 100の位以上の数を4倍する、そこから下2桁を引く。結果が13で割り切れれば13の倍数
| 923：9×4-23 = 13、13で割り切れる。
|-
| 下1桁を9倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が13で割り切れれば13の倍数
| 637：63-7×9 = 0、13で割り切れる。
|-
! id = 14 rowspan = 3 | '''[[14]]'''
| 2と7で同時に割り切れる
| {{Sfn|学校数学事典|2014|p=20}}
|rowspan="3"| [https://oeis.org/A008596/list Multiples of 14.<br>(A008596)]
|-
| 下から数えて3桁以上の数を2倍する。それに下2桁を加える。結果が14で割り切れれば14の倍数
| 364：3×2 + 64 = 70 <br /> 1764：17×2 + 64 = 98、どちらも14で割り切れる
|-
| 下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れれば14の倍数
| 1358：135×4 − 8 = 532、14で割り切れる。
|-
! id = 15 | '''[[15]]'''
|同時に3と5で割り切れる
| {{Sfn|学校数学事典|2014|p=20}}
| [https://oeis.org/A008597/list Multiples of 15.<br>(A008597)]
|-
! id = 16 rowspan = 4 | '''[[16]]'''
| style = "border-bottom：hidden;" |1000の位が偶数の場合、下3桁が16で割り切れれば16の倍数
| style = "border-bottom：hidden;" | 254,176：1000の位の4は偶数。下3桁は176で、16で割り切れる
|rowspan="4"| [https://oeis.org/A008598/list Multiples of 16.<br>(A008598)]
|-
|1000の位が奇数の場合、下3桁に8を加えたものが16で割り切れれば16の倍数
| 3408：1000の位の3は奇数。下3桁は408。408 + 8 = 416で、16で割り切れる
|-
| 下から数えて3桁以上の数を4倍する。それの下2桁を加える。結果が16で割り切れれば16の倍数
| 1168：11×4 + 68 = 112、16で割り切れる
|-
|下4桁が16で割り切れる
| 157,648：下4桁の7648は16で割り切れる{{Sfn|Richmond et Richmond|2009|p=102-108}}
|-
! id = 17 rowspan = 3 | '''[[17]]'''
|下1桁を5倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が17で割り切れれば17の倍数
| 221：22 −1×5 = 17、17で割り切れる。
|rowspan="3"| [https://oeis.org/A008599/list Multiples of 17.<br>(A008599)]
|-
|下から数えて3桁以上の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が17で割り切れれば17の倍数
| 4,675：46×2-75 = 17、これは17で割り切れます。
|-
|下から8桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が17で割り切れれば17の倍数
| 117,250,581：17250581-1 = 17250580、これは17で割り切れる
|-
! id = 18 | '''[[18]]'''
| 2と9で同時に割り切れる。
| 
| [https://oeis.org/A008600/list Multiples of 18.<br>(A008600)]
|-
! id = 19 rowspan = 3 | '''[[19]]'''
|下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数
| 437：43 + 7×2 = 57、19で割り切れる。
|rowspan="3"| [https://oeis.org/A008601/list Multiples of 19.<br>(A008601)]
|-
|下2桁に4を掛ける。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数
| 6935：69 + 35×4 = 209、これは19で割り切れる
|-
|下から9桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が19で割り切れれば19の倍数
| 1,232,228,318：232228318-1 = 232228317、これは19で割り切れる
|-
|}

{| class="wikitable" style="font-size:90%;"
|+ 20 - 29
|-
! id = 20 rowspan = 1 | '''[[20]]'''
|1の位が0、10の位が偶数
| 
|[https://oeis.org/A008602/list Multiples of 20.<br>(A008602)]
|-
! id = 21 rowspan = 2 | '''[[21]]'''
|同時に3と7で割り切れる。
| 
|rowspan="2"| [https://oeis.org/A008603/list Multiples of 21.<br>(A008603)]
|-
|下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が21で割り切れれば21の倍数
| 168：16 −8×2 = 0、21で割り切れる。
|-
! id = 22 | '''[[22]]'''
| 2と11で同時に割り切れる。
| 
| [https://oeis.org/A008604/list Multiples of 22.<br>(A008604)]
|-
! id = 23 rowspan = 5 | '''[[23]]'''
|下1桁を7倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。繰り返して23の倍数に行きつけばもとの数は23で割り切れる
| 3128：312 + 8×7 = 368、36 + 8×7 = 92、これは23で割り切れる
|rowspan="5"| [https://oeis.org/A008605/list Multiples of 23.<br>(A008605)]
|-
|下2桁を3倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が23で割り切れれば23の倍数
| 1725：17 + 25×3 = 92、これは23で割り切れる
|-
|1の位の数を16倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が23で割り切れれば23の倍数
|391: 39 - 16 = 23、よって391は23の倍数
|-
|下から数えて2桁以上の数を下1桁の数で割る。結果が16ならば23の倍数
|1449: 144/9 = 16、23の倍数
|-
|下から11桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が23で割り切れれば23の倍数
| 167,788,290,564：67788290564-1 = 67788290563、これは23で割り切れる
|-
! id = 24 rowspan = 2 | '''[[24]]'''
|同時に3と8で割り切れる。
| 
|rowspan="2"| [https://oeis.org/A008606/list Multiples of 24.<br>(A008606)]
|-
| 下から数えて3桁以上の数を4倍する。それに下2桁を加える。結果が24で割り切れれば24の倍数
| 1632：16×4 + 32 = 96、24で割り切れる
|-
! id = 25 | '''[[25]]'''
|下2桁が25の倍数（00、25、50、75）
| 
| [https://oeis.org/A008607/list Multiples of 25.<br>(A008607)]
|-
! id = 26 | '''[[26]]'''
| 2と13で同時に割り切れる。
| 
| [https://oeis.org/A252994/list Multiples of 26.<br>(A252994)]
|-
! rowspan = "3" id = "27" | '''[[27]]'''
|下から3桁ごとに区分する。それらの区分を合計して27で割り切れれば27の倍数
| 2,644,272：2 + 644 + 272 = 918、これは27で割り切れます。
|rowspan="3"| [https://oeis.org/A305548/list a(n) = 27*n.<br>(A305548)]
|-
|下1桁を-1倍して下から2桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数
| 621：62 −1×8 = 54、27で割り切れる。
|-
|下2桁の-2倍を下から3桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数
| 6507：65×8-7 =  513、27で割り切れる
|-
! id = 28 | '''[[28]]'''
|同時に4と7で割り切れる。
| 
| [https://oeis.org/A135628/list Multiples of 28.<br>(A135628)]
|-
! rowspan = "2" id = "29" | '''[[29]]'''
|下1桁に3を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数
| 493：49 + 3×3 = 58、29で割り切れる
|rowspan="2"| [https://oeis.org/A195819/list Multiples of 29.<br>(A195819)]
|-
|下2桁を9倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数
| 5510：55 + 10×9 = 145、これは29で割り切れる
|-
|}

{| class="wikitable" style="font-size:90%;"
|+ 30 - 39
|-
! id = 30 | '''[[30]]'''
|下1桁が0、その他の桁の数の合計が3で割り切れる
| 270：2 + 7 = 9, 3で割り切れる∴270は30の倍数
| [https://oeis.org/A249674/list a(n) = 30*n.<br>(A249674)]
|-
! rowspan = "2" id = 31 | '''[[31]]'''
|下1桁を最後3倍する。これを下から2桁以上の位の数字から引く。結果が31で割り切れれば31の倍数
| 341：34 −1×3 = 31、31で割り切れる。
|rowspan="2"| [https://oeis.org/A135631/list Multiples of 31.<br>(A135631)]
|-
|下から4桁以上の位の数を8倍する。これに下3桁を加える。結果が31で割り切れれば31の倍数
| 18042：18×8 + 42 = 186、これは31で割り切れる
|-
! rowspan = "5" id = "32" | '''[[32]]'''
|10000の位が偶数の場合、下4桁が32で割り切れる
| 
| rowspan = "5"| [https://oeis.org/A174312/list 32*n.<br>(A174312)]
|-
| 10000の位が奇数の場合、下4桁に16を加えたものが32で割り切れる
| 340,179,488：10000の位の7は奇数。9488 + 16 = 9504，これは32で割り切れる
|-
| 下から3桁以上の位の数に、下2桁の4倍を加える。これが32で割り切れれば32の倍数
| 1376：13 × 4 + 76 = 128，これは32で割り切れる
|-
|下から4桁以上の位の数を8倍して下3桁を加える。結果が32で割り切れれば32の倍数
| 19584：19×8 + 584 = 736、これは32で割り切れます。
|-
| 下5桁が32の倍数
| 
|-
!rowspan = "3" id = "33" | '''[[33]]''' 
| 下から2桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計したものが33で割り切れる || 169,257：16 + 92 + 57 = 165、これは33で割り切れる
|rowspan="3"|（登録なし）
|-
|同時に3と11で割り切れる。
|-
|下1桁を10倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が33で割り切れれば33の倍数
| 16104：1610 + 4×10 = 1650, 165 + 0×10 = 165, これは33で割り切れる
|-
!rowspan = "2" id = "34" | '''[[34]]''' 
| 下から3桁以上の位の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が34で割り切れれば34の倍数 || 2516：25×2 − 16 = 34、34で割り切れる。
|rowspan="2"|（登録なし）
|-
|同時に2と17で割り切れる。
|-
! id = "35" | '''[[35]]''' 
| 下から3桁以上の位の数を5倍する。そこから下2桁を引く。結果が35で割り切れれば35の倍数 || 7455：74×5 − 55 = 315、35で割り切れる。||（登録なし）
|-
!rowspan = "2" id = "36" | '''[[36]]''' 
| 下から3桁以上の位の数を8倍する。そこから下2桁を引く。結果が36で割り切れれば36の倍数 || 1512：15×8 − 12 = 108。36で割り切れる。
|rowspan="2"| [https://oeis.org/A044102/list Multiples of 36.<br>(A044102)]
|-
| 4と9で同時に割り切れる。
|-
!rowspan = "3" id = "37" | '''[[37]]''' 
| 下から3桁以上の位の数を11倍する。そこから下2桁を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数 || 68265：682×11 − 65 = 7437、37で割り切れる。
|rowspan="3"| [https://oeis.org/A085959/list Multiples of 37.<br>(A085959)]
|-
|下から3桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。それが37で割り切れれば37の倍数
| 728,395,061：728 + 395 + 61 = 1184、これは37で割り切れる
|-
|下から2桁以上の位の数から下1桁の11倍を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数
| 2294：229 −4×11 = 185、37で割り切れる。
|-
! id = 38 | '''[[38]]'''
| 2と19で同時に割り切れる。
| ||（登録なし）
|-
!rowspan = "3" id = "39" | '''[[39]]''' 
| 3と13で同時に割り切れる。 || 
|rowspan = "3"|（登録なし）
|-
|下から6桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。これが39で割り切れれば39の倍数
| 458,535,168：458 + 535168 = 535626、これは39で割り切れます。
|-
|下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が39で割り切れれば39の倍数
| 2262：226 + 2×4 = 234、これは39で割り切れます。
|-
|}

{| class="wikitable" style="font-size:90%;"
|+ 40 - 50
|-
! id = 40 rowspan = 4 | '''[[40]]'''
|下1桁が0。下3桁と下2桁を2桁の数とみなし、それが4の倍数。
| 15960：最後の桁は0。96は4の倍数
|rowspan="4"| [https://oeis.org/A317095/list a(n) = 40*n.<br>(A317095)]
|-
|下3桁が40の倍数
| 
|-
|下から3桁以上の位の数を20倍する。これに下2桁を加える。結果が40で割り切れれば40の倍数
| 322840：3228×20 + 40 = 64600、これは40で割り切れる
|-
|100の位が偶数の場合、下2桁が00, 40, 80<br>100の位が奇数の倍、下2桁が20, 60
| 467520、100の位の5は奇数で、下2桁は20。これは40の倍数
|-
! id = 41 rowspan = 2 | '''[[41]]'''
|下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が41で割り切れれば41の倍数
| 492：49 −2×4 = 41、41で割り切れる。
|rowspan = "2"|（登録なし）
|-
|下から5桁ごとに区分する。各区分を合計し、41で割り切れる
| 147,559：1 + 47559 = 47560、これは41で割り切れる
|-
!rowspan = "2" id = 42 | '''[[42]]'''
| 2と3と7で同時に割り切れる。||
|rowspan = "2"|（登録なし）
|-
|下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れ、かつ数字和が3の倍数ならば42の倍数。
| 210: 21*4 = 84, 84 - 0 = 84。84は14で割り切れ、数字和2+1+0が3の倍数。
|-
!rowspan = "2" id = 43| '''[[43]]'''
|下1桁を13倍し、下から2桁以上の位の数に加える。これが43で割り切れれば43の倍数
| 50998：5099 + 8×13 = 5203、520 + 3×13 = 559、これは43で割り切れます。
|rowspan = "2"|（登録なし）
|-
|下2桁を3倍する。ここから下から3桁以上の位の数を引く。これが43で割り切れれば43の倍数
| 2021：21×3-20 = 43、43で割り切れる
|-
! id = 44 | '''[[44]]'''
| 4と11で同時に割り切れる。
| 
|（登録なし）
|-
! id = 45 | '''[[45]]'''
| 5と9で同時に割り切れる。
| 
|（登録なし）
|-
!rowspan = "2" id = 46 | '''[[46]]'''
| 2と23で同時に割り切れる。
| 
|rowspan = "2"|（登録なし）
|-
|下から3桁以上の位の数に8を掛ける。それに下2桁を加える。結果が46で割り切れれば46の倍数
| 162,288：88 +（8×1622）= 13064、64 +（8×130）= 1104、4 +（8×11）= 92、46で割り切れる。
|-
!rowspan = "3" id = "47" | '''[[47]]''' 
| 下から3桁以上の位の数に6を掛ける。それに下2桁を加える。結果が47で割り切れれば47の倍数 || 30691：91+6×306 = 1927、47で割り切れる。
|rowspan = "3"|（登録なし）
|-
|下1桁を33倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が47で割り切れれば47の倍数
| 48128：4812 + 8×33 = 5076、および507 + 6×33 = 705、47で割り切れる
|-
|下1桁に14を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が47で割り切れれば47の倍数
| 3948：394 −8×14 = 282、47で割り切れる。
|-
!rowspan = "2" id = "48" | '''[[48]]''' 
| 下から3桁以上の位の数に4を掛ける。それに下2桁を加える。結果が48で割り切れれば48の倍数 || 5712：12 + 4×57 = 240、48で割り切れる。
|rowspan = "2"|（登録なし）
|-
| 3と16で同時に割り切れる。
| 
|-
!rowspan = "2" id = "49" | '''[[49]]''' 
| 下2桁を2倍する。それを下から3桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数 || 12457956：56 + 2×124579 = 249214、14 + 2×2492 = 4998、98+ 2×49 = 196、49で割り切れる。
|rowspan = "2"|（登録なし）
|-
|下1桁を5倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数
| 3871：387 + 1×5 = 392、これは49で割り切れる
|-
!rowspan = "2" id = 50 | '''[[50]]'''
|下2桁が50の倍数（00, 50）
| 
|（登録なし）
|-
|}

割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。
*一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を [[51]] で割って余りが 0 であれば、その数は 51 の倍数である。
*一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を [[81]] で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
*下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が [[99]] で割り切れれば、その数は 99 の倍数である。
*下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が [[101]] で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
*下三桁が [[125]] の倍数（つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000）ならば、その数は 125 の倍数である。

これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a*b*c*…*n と表せるとき、a, b, c,･･･, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。

*4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は[[108]]の倍数である。
*5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は[[185]]の倍数である。
*3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は[[240]]の倍数である。
*2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は[[378]]の倍数である。
*8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は[[792]]の倍数である。

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|title=日本大百科全書|volume=13|edition=初版第一刷|ref={{SfnRef|日本大百科全書|1987}}|date=1987-11-01|publisher=小学館|isbn=4-09-526018-1}}
* {{Cite book|和書|author=Fritz Reinhardt|translator=長岡昇勇et長岡由美子|title=カラー図解 学校数学事典|ref={{SfnRef|学校数学事典|2014}}|date=2014-04-25|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01895-2}}
* {{cite book|author1=Bettina Richmond|author2=Thomas Richmond|title=A Discrete Transition to Advanced Mathematics|series=Pure and Applied Undergraduate Texts|volume=3|year=2009|publisher=American Mathematical Soc.|ref={{SfnRef|Richmond et Richmond|2009}}|isbn=978-0-8218-4789-3}}

== 関連項目 ==
*[[倍]]
*[[倍数詞]]
*[[公倍数]]
*[[最小公倍数]]
*[[偶数]]
*[[約数]]
*[[倍数比例の法則]]
*[[倍数性]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はいすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]