倍積完全数のソースを表示

'''倍積完全数'''（ばいせきかんぜんすう、{{lang-en-short|multiply perfect number, multiperfect number, pluperfect number}}）とは、その[[約数]]の[[総和]]が元の数の整数倍になるような[[自然数]]のことである。[[約数関数]] σ を用いて定義すると σ(''n'') = ''kn'' （''k'' は自然数）を満たす自然数 ''n'' が倍積完全数であり、これを '''''k''倍完全数'''ともいう。

== 概要 ==
''k'' = 1 の場合は σ(''n'') = ''n'' を満たす ''n'' が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみであり、[[不足数]]である。''k'' = 2 の場合である2倍完全数は単に[[完全数]]と呼ぶ<ref>理論的には1を「完全数」と呼び、2倍以上の完全数を「～倍完全数」と呼ぶと分かりやすいが、歴史的な経緯により単に「完全数」と言えば2倍完全数を指し、「1倍完全数」の「1倍」は省略できないため注意が必要である。</ref>。''k'' ≥ 3 の場合は[[過剰数]]であり、1 を除く全ての倍積完全数は[[合成数]]である。

例えば、120 の約数の総和は
:σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120
であり、120 の 3 倍となるので、120 は3倍完全数である。

具体的には [[1]], [[6]], [[28]], [[120]], [[496]], [[672]], [[8128]], [[30240]], [[32760]], [[523776]], 2178540, 23569920, …（{{OEIS|A007691}}）

== ''k''倍完全数の表 ==
以下にそれぞれの ''k''倍完全数 (''k'' &le; 11) のうち、現在見つかっている中で最小の数を挙げる。''k''=7 まではこれが最小であることが確認され、OEISに掲載されている（{{OEIS|A007539}}）。''k''=8 以降は Flammenkamp のページに拠った。
{| class="wikitable"
! ''k'' !! 最小の ''k''倍完全数 !! 発見者、年
|-
| <center>1</center> || 1 || -
|-
| <center>2</center> || 6 || -
|-
| <center>3</center> || 120 || -
|-
| <center>4</center> || 30240 || [[ルネ・デカルト|デカルト]]、[[1638年]]
|-
| <center>5</center> || 14182439040 || デカルト、[[1638年]]
|-
| <center>6</center> || 154345556085770649600 || カーマイケル ([[:en:Robert Daniel Carmichael]])、[[1907年]]
|-
| <center>7</center> || 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 || TE Mason、[[1911年]]
|-
| <center>8</center> || 8.268099687077761372899241948635962893501… × 10<sup>132</sup> || Stephen F. Gretton、[[1990年]]
|-
| <center>9</center> || 5.61308081837371589… × 10<sup>286</sup> || Fred Helenius、[[1995年]]
|-
| <center>10</center> || 4.48565429898310924… × 10<sup>638</sup> || George Woltman ([[:en:George Woltman]])、[[2013年]]
|-
| <center>11</center> || 2.51850413483992918… × 10<sup>1906</sup> || George Woltman、[[2001年]]
|}
2013年現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。

* 1倍完全数 : 1
* 2倍完全数 : [[完全数]]を参照。
* 3倍完全数 : 120, 672, 523776, 459818240, …（{{OEIS|A005820}}）
* 4倍完全数 : 30240, 32760, 2178540, 23569920, …（{{OEIS|A027687}}）
* 5倍完全数 : 14182439040, 31998395520, …（{{OEIS|A046060}}）
* 6倍完全数 : 154345556085770649600, …（{{OEIS|A046061}}）

<div style="overflow: auto;">
* 7倍完全数 : 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000
* 8倍完全数 : 8268099687077761372899241948635962893501943883292455548843932421413884476391773708366277840568053624227289196057256213348352000000000
* 9倍完全数 : 56130808183737158999998793684026231356147190822348283579122819870557664808030968216100782148452765644947099984854756332066651809002612793115408005967022213284272150201873375214629478176342119709234895003815657961417701371450048608475283004587476685222825422086715415685343739904000000000
<ref>[http://www.aliquotes.com/multiparfait.html Les dix premiers nombres multiparfaits ou nombres K-parfaits]</ref>
</div>

== 性質 ==
* ''k'' = 1 の場合については [[1]] を参照。
* ''k'' = 2 の場合については[[完全数]]を参照。
* ''k''倍完全数が無数に存在するかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、これより多くは存在しないと言われている。
* 3倍完全数で[[偶数]]の完全数と同じ形{{math|2<sup>''n''-1</sup> × (2<sup>''n''</sup> - 1) }}の数は [[120]](''n'' = 4) と [[523776]](''n'' = 10) の2個が発見されている。また [[2016]](''n'' = 6) は [[672]] の約数の和になっている。
* 偶数の3倍完全数は自分自身と2番目に大きい約数の和がその他の約数の和に等しい。
:例：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 = 60 + 120 = 180
* 完全数の倍数である4倍完全数は、完全数の約数で割った商である約数の和がその他の約数の和に等しい。一般に ''k'' 倍完全数の倍数である ''2k'' 倍完全数は、''k'' 倍完全数の約数で割った商である約数の和がその他の約数の和に等しい。
* ''k'' &ge; 2 とし、''N'' を ''r'' 個の相異なる[[素因数]]を持つ ''k'' 倍完全数とする。このとき ''N'' は、''k'' と ''r'' に依存するある定数 ''C'' 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる（Kanold, 1956）。この定数 ''C'' は実際に計算可能である（Pomerance, 1977）。
* ''k'' 倍完全数 ''n'' における約数の逆数の和は ''k'' に等しい。これは ''n'' の約数の和を ''N'' としたとき、逆数の和は <math>\frac{N}{n} = k</math> になることから証明できる。
:例：''n'' = 6 のとき <math> \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2 </math>
* 倍積完全数の約数の和になっている数は 1, [[12]], [[56]], [[360]], [[992]], [[2016]], 16256, 120960, …（{{OEIS|A307741}}）
* ''p'' が ''n'' を割り切らない[[素数]]とすると、''n'' が ''p''倍完全数であることと、その約数の和 ''pn'' が (''p'' + 1)倍完全数であることは[[同値]]である。例えば、4倍完全数 1379454720 は 3 で割り切れるが 9 で割り切れないため、3 で割った 459818240 は 3 で割り切れない3倍完全数となっている。3倍完全数 51001180160 と4倍完全数 153003540480 も同様であり、5倍完全数と6倍完全数でも20組が発見されている（いずれも[[澗]]以上の[[巨大数]]）。これと同様に3倍完全数 ''m'' が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合（すなわち ''m'' が[[単偶数]]である場合）、''m''/2 は[[奇数]]の完全数となるが、そのような数の組はいまだに見つかっていない。
:''n'' (''p'') の例: 459818240 (3), 51001180160 (3),…({{OEIS2C|A323653}})

== 参考文献 ==
* H.-J. Kanold, &Uuml;ber einen Satz von L. E. Dickson, II, ''Math. Ann.'' '''132''' (1956), 246--255. {{doi|10.1007/BF01360184}}
* C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, ''Math. Ann.'' '''226''' (1977), 195--206. {{doi|10.1007/BF01362422}}

== 外部リンク ==
* A. Flammenkamp. [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html The Multiply Perfect Numbers page].
* C. K. Caldwell. [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=MultiplyPerfect The Prime Glossary: Multiply perfect numbers].
* {{MathWorld|title=Multiperfect Number|urlname=MultiperfectNumber}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[完全数]]

{{Divisor classes}}
{{DEFAULTSORT:はいせきかんせんすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]