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{{Differential equations}}
'''偏微分方程式'''（へんびぶんほうていしき、{{lang-en-short|partial differential equation, '''PDE'''}}）は、未知関数の[[偏導関数]]を含む[[微分方程式]]である。

== 概要 ==
微分方程式は通常多くの解をもち、しばしば解集合を制限する[[境界条件]]を付加して考える。[[常微分方程式]]の場合にはそれぞれの解がいくつかの[[媒介変数|パラメータ]]の値によって特徴付けられるような族を解としてもっているが、偏微分方程式については、パラメータは関数値をとると考えるほうが有用である。このことは、過剰決定的な方程式系でない限りは概ね正しいといえる。 

偏微分方程式は、[[自然科学]]の分野で[[流体]]や[[重力場]]、[[電磁場]]といった[[場]]に関する自然現象を記述するモデルとして現れる。これらの場というものは例えば、[[フライトシミュレーション]]や[[コンピュータグラフィックス]]、あるいは天気予報などを扱うために重要な役割を果たす道具である。また、[[一般相対性理論]]や[[量子力学]]の基本的な方程式も偏微分方程式である。また、[[経済学]]においても重要な概念であり、特に[[金融工学]]において多用される。

== 記法 ==
以下では未知関数 &psi; の変数 ''x'' に関する偏微分を &psi;<sub>''x''</sub> のように表す：
:<math>\psi_x := {\partial \psi \over \partial x},</math>
:<math>\psi_{xy} := {\partial^2 \psi \over \partial y\, \partial x}.</math>

また、特別な記述がない限り、変数は[[時間]] ''t'' と[[3次元空間]] (''x'', ''y'', ''z'') とするが、数学的には一般の次元に拡張できる。

== 楕円型偏微分方程式 ==
{{main|楕円型偏微分方程式}}
=== ラプラス方程式 ===
{{main|ラプラス方程式}}
非常に重要で基礎的な偏微分方程式として、
: <math>\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz} = 0</math>
なる[[楕円型偏微分方程式]]を'''[[ラプラス方程式]]'''と呼ぶ。これはまた、&nabla;（[[ナブラ]]）や &Delta;（[[ラプラス作用素]]）といった微分作用素を用いて
:<math>{\nabla}^2 \psi = 0, \quad \Delta \psi = 0</math>
のようにも書かれる。ラプラス方程式の解は'''[[調和関数]]'''と呼ばれ、重力場や[[静電場]]といった物理的な[[ベクトル場]]の[[ポテンシャル]]を与える。

=== ポアソン方程式 ===
{{main|ポアソン方程式}}
ラプラス方程式は既知の関数 ''f'' (''x'', ''y'', ''z'') に関する微分方程式
:<math>\nabla^2 \psi = \psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz} = f(x,y,z)</math>
に一般化される。この偏微分方程式を'''[[ポアソン方程式]]'''という<ref>R. Courant, D. Hilbert, ''Methoden Der Mathematischen Physik '', [[リヒャルト・クーラント|R. クーラン]], [[ダフィット・ヒルベルト|D. ヒルベルト]] (著), 丸山 滋弥, 斎藤 利弥 (翻訳)『[[数理物理学]]の方法』[[東京図書]]</ref>。これは質量の存在する重力場や、電荷の存在する静電場など、場に発生源がある場合のポテンシャルを記述する方程式である。

=== ヘルムホルツ方程式 ===
{{main|ヘルムホルツ方程式}}
次の方程式のことをいう。[[電磁波]]の[[放射]]、[[地震学]]、[[音響学]]などで用いられる。
:<math>(\nabla^2 + k^2) \psi = 0</math>

== 双曲型偏微分方程式 ==
{{main|双曲型偏微分方程式}}
=== 波動方程式 ===
{{main|波動方程式}}
'''[[波動方程式]]'''は時間変数 ''t'' を含む[[双曲型偏微分方程式]]
: <math>\psi_{tt} = c^2 \nabla^2 \psi = c^2 (\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz})</math>
のことである<ref>恒藤敏彦『弾性体と流体』[[岩波書店]]〈物理入門コース 8〉、1983年。{{ISBN2|4000076485}}。</ref><ref>際本泰士『振動・波動論講義―物理実験を取り入れて』コロナ社、2005年。{{ISBN2|4339066095}}。</ref>。この方程式は[[光波]]や[[音波]]といった[[波]]を記述するもので、定数 ''c'' は波の速さを示している。より身近な現象として、[[ひも]]の振動であるとか[[太鼓]]の鼓面の振動などといったものもこの方程式に従う。波動方程式の解は基本的には[[正弦波]]を重ね合わせることによって得られる。

=== 移流方程式 ===
{{main|移流}}
'''[[移流]]方程式'''（[[:en:Advection]]）は速度場 '''u''' = (''u'', ''v'', ''w'' )のもとでの保存スカラー量&psi;の輸送を記述するもので、方程式は
:<math>\psi_t+\nabla\cdot(\mathbf{u}\psi) = \psi_t+(u\psi)_x+(v\psi)_y+(w\psi)_z = 0</math>
であたえられる。もし速度場 '''u''' が管状ベクトル場、すなわち &nabla;・'''u''' = 0 ならば方程式は
:<math>\psi_t+\mathbf{u}\cdot\nabla\psi = \psi_t+u\psi_x+v\psi_y+w\psi_z = 0</math>
と簡略化される。

一次元定常移流方程式
: <math>\psi_t + u\psi_x = 0</math>
（''u'' は定数）は一般に'''豚小屋問題''' (''pigpen problem'') と称される。

== 放物型偏微分方程式 ==
{{main|放物型偏微分方程式}}
=== 拡散方程式 ===
{{main|拡散方程式}}
'''[[拡散方程式]]'''は与えられた領域において時間とともに変化する場を記述する[[放物型偏微分方程式]]で、
:<math>u_t = k\nabla^2\psi = k (\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz})</math>
によって与えられる。&psi;はたとえば温度場（[[熱伝導方程式]]）や、物質の濃度場（[[フィックの法則#フィックの第2法則|フィックの法則]]）などを表す。定数 ''k'' は物質の熱伝導性や拡散係数などを示している。解は時間の増加とともに大体均一に分布するように変化し、''t''→&infin;で調和関数に近づく。

=== その他の方程式 ===
*[[シュレーディンガー方程式]]は[[量子力学]]の核心となる偏微分方程式である<ref>シュレーディンガー方程式I, II (朝倉数学大系) by [[谷島賢二]] (著), [[砂田利一]] (編集), [[増田久弥]] (編集), 堀田良之 (編集), [[朝倉書店]].</ref>。

== 非線型偏微分方程式 ==
以上の例はすべて、 与えられた[[線形写像|線形作用素]] ''A'' と既知関数 ''f'' によって、''A''&psi; = ''f'' という形に表されるという意味で[[線型方程式|線型]]である。 そうでない、一般に非線形な偏微分方程式として重要なものに、
* 流体を記述する[[ナビエ-ストークス方程式]]<ref>Roger Temam　(1984): "Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis", ACM Chelsea Publishing.</ref>
* [[一般相対性理論]]における[[アインシュタイン方程式|アインシュタインの場の方程式]]
* 非線形波動を記述する[[KdV方程式]]<ref name="KdVNLS">Korteweg-de Vries and Nonlinear Schrödinger Equations: Qualitative Theory (2001), Zhidkov, Peter E., Springer.</ref>・[[mKdV方程式]] (これらの方程式は[[可積分系]]でも研究されている)
*[[クレローの方程式]]
*[[非線形シュレディンガー方程式]]<ref name="KdVNLS"/><ref>The Nonlinear Schrödinger Equation (1999) -Self-Focusing and Wave Collapse-, Sulem, Catherine, Sulem, Pierre-Louis, Springer.</ref><ref>The Nonlinear Schrödinger Equation -Singular Solutions and Optical Collapse- (2015), Gadi Fibich, Springer.</ref>
などがある。

== 解法 ==
線型偏微分方程式はその解を[[基底関数]]系で線型展開したもので近似することにより一般的に解かれる事が多い（たとえば[[正弦波]]関数を使った[[フーリエ級数]]展開<ref>[[大石進一]]『フーリエ解析』[[岩波書店]]〈理工系の数学入門コース 6〉、1989年。ISBN 4000077767。</ref>）。展開した個々の解の[[線型結合]]もまた元の方程式の解になる。また線型偏微分方程式が変数分離可能な構造を持つ場合には[[変数分離法]]により低い次元の微分方程式の問題に帰着して解くことが
できる場合がある。

しかし非線型な微分方程式に対しては一般的に使える解法理論はなくて、実際上のほとんどの方程式は解析的な方法では解くことが出来ない。（しかし，あるタイプの方程式には解法が存在することがある。たとえば、ホモトピー原理は過少決定性の方程式系を解くための非常に強力な方法である。また、[[ソリトン]]方程式に対しては[[広田の方法]]を使うのが標準的である<ref>[[広田良吾]]『直接法によるソリトンの数理』（[[岩波書店]]、1992年）</ref>。）

あるいは偏微分方程式を容易に解ける方程式から変化したものであるとみなせる場合にはその解を[[摂動]]的な展開を用いて表すことで近似解が得られる場合がある。またそれ以外に数値的な近似解法として、[[差分法|有限差分スキーム]]<ref>Smith, G. D. (1985). Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods. [[:en:Oxford university press]].</ref><ref>Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. [[:en:Society for industrial and applied mathematics|SIAM]].</ref>や[[有限要素法]]<ref>[[森正武]]. (1986) [[有限要素法]]とその応用. [[岩波書店]].</ref><ref>菊池文雄. (1999). 有限要素法概説 [新訂版]. [[サイエンス社]].</ref><ref>菊池文雄. (1994). 有限要素法の数理. [[培風館]].</ref>などが挙げられる。 具体的な解が必要であるが解析的な手段を用いては解くことのできない多くの科学や工学上の問題は，このような近似手法により離散化された大規模な数値計算の問題に変換され，もっぱらコンピュータを用いた計算により解かれる<ref>田端正久; 偏微分方程式の[[数値解析]], 2010. [[岩波書店]].</ref><ref>偏微分方程式の数値解法, 編集委員: [[伊理正夫]]・[[杉原厚吉]]・[[速水謙]]・今井浩, 神谷紀生 & 北栄輔著, 工系数学講座　第11巻,978-4-320-01610-1, 1998年03月, [[共立出版]].</ref><ref>登坂宣好, & 大西和榮. (2003). 偏微分方程式の数値シミュレーション. [[東京大学出版会]].</ref>。境界条件も含めて近似解を表すための自由度は非常に大きいものになることが普通であるので，計算を行うために扱うデータの量や演算の回数の多さから，計算機の性能向上と共に効率的な近似法や数値解法の開発が進められ発展してきた。

''fill in: ''ディリクレ-ノイマン境界、双曲的/放物的/楕円的変数分離、[[フーリエ解析]]、[[グリーン関数]]

== 関連項目 ==
{{commonscat|Partial differential equations}}
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[楕円型偏微分方程式]]
* [[双曲型偏微分方程式]]
* [[放物型偏微分方程式]]
* [[常微分方程式]]
* [[積分方程式]]
===関連分野===
* [[関数解析学]]
* [[偏微分方程式の数値解法]] ([[:en:Numerical partial differential equations|en]])
===研究者===
====日本====
* [[溝畑茂]]
* [[加藤敏夫]]
* [[藤田宏]]
* [[増田久弥]]
====海外====
* [[ヴォルフガンク・ウォルター]]
* [[テレンス・タオ]]
* [[ピーター・オルバー]] ([[:en:Peter J. Olver|en]])

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 == 
===和書===
*{{Cite book|和書|author=寺沢寛一|authorlink=寺沢寛一|date=1983-05-18|title=自然科学者のための数学概論|edition=増訂版|publisher=[[岩波書店]]|isbn=4-00-005480-5}}
*{{Cite book|和書|author=溝畑茂|authorlink=溝畑茂|date=1965-08-25|title=偏微分方程式論|publisher=[[岩波書店]]|isbn=4-00-005971-8}}
* 熊ノ郷準. (1978). 偏微分方程式. [[共立出版]].
* K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（上）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-02-X (1991年9月1日).
* K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（下）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-03-8 (1992年9月1日).
* 金子晃：「偏微分方程式入門」、[[東京大学出版会]]、ISBN 978-4-13-062903-4　(1998年2月5日)。
* 井川満：「双曲型偏微分方程式と波動現象」、岩波書店、ISBN 4-00-005611-5 (2006年4月5日).
* 村田實、倉田和浩：「楕円型・放物型偏微分方程式」、[[岩波書店]]、ISBN 4-00-005650-6 (2006年5月10日).　※ 岩波オンデマンドブックス（2016/12）。
* 田端正久：「偏微分方程式の数値解析」、岩波書店、ISBN 978-4000059794（2010年12月22日).
* スタンリー・ファーロウ(著)、[[伊理正夫]]・伊理由美(訳)：「偏微分方程式　科学者・技術者のための使いかたと解き方」、[[朝倉書店]]。
* 中村宏樹：「偏微分方程式とフーリエ解析」、[[東京大学出版会]]　(東京大学基礎工学双書)。
* W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I上」、産業図書（1978年7月28日）。
* W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I下」、産業図書（1978年9月1日）。
* W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 II」、産業図書（1983年）。
* 小薗英雄、小川卓克、三沢正史：「これからの非線形偏微分方程式」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78438-3 (2007年5月20日)。
* 柴田良弘、久保隆徹：「非線形偏微分方程式」、[[朝倉書店]]、ISBN 978-4-254-11771-4 (2012年).

===洋書===
* Lawrence C. Evans: ''Partial Differential Equations'' (Graduate Studies in Mathematics)  [[アメリカ数学会|American Mathematical Society]], 2010/04/.
* Dorina Mitrea: ''Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis'' (Universitext) , Springer, 2019/01.
* Michael Taylor: ''Partial Differential Equations'' I-III (Applied Mathematical Sciences),  Springer.
* Egorov, Y. V., & Shubin, M. A. (2013): ''Foundations of the classical theory of partial differential equations''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Egorov, Komech and Shubin : ''Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations'' (1999) Springer.
* Sommerfeld, A. (1949): ''Partial differential equations in physics''. [[:en:Academic Press]].
* Renardy, M., & Rogers, R. C. (2006): ''An introduction to partial differential equations''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Logan, J. D. (2008): ''An introduction to nonlinear partial differential equations''. John Wiley & Sons.
* Olver, P. J.: ''Introduction to partial differential equations''. Berlin: Springer.
* Fritz Schwarz: ''Loewy Decomposition of Linear Differential Equations'', Springer, ISBN 978-3-7091-1286-1 (2012).

== 外部リンク ==
* {{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Partial_differential_equation |title=Partial differential equation |date=20080504042907}} - [[スカラーペディア]]百科事典「偏微分方程式」の項目。
{{数学}}
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