偏微分方程式の数値解法のソースを表示

{{Differential equations}}
{{計算物理学}}
'''偏微分方程式の数値解法''' (へんびぶんほうていしきのすうちかいほう、{{lang-en-short|Numerical methods for PDEs}}) は、[[数値解析]]において[[偏微分方程式]]を数値的に解く技術の総称である<ref name="Yamamoto1">{{Cite book |和書 |author=山本哲朗 |title=数値解析入門 |edition=増訂版 |date=2003-06 |publisher=[[サイエンス社]] |series=サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14 |ISBN=4-7819-1038-6}}</ref><ref name="mori">[[森正武]]. 数値解析 第2版. [[共立出版]].</ref>。
{{seealso|偏微分方程式|数値解析}}

==背景==
===数値解法の必要性===
これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの[[偏微分方程式]]が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、[[ソリトン]]方程式に対する[[広田の方法]]<ref>[[広田良吾]]. (1992). 直接法による[[ソリトン]]の数理. [[岩波書店]].</ref>や[[:en:inverse scattering transform]]<ref name="as">Ablowitz, M. J., & Segur, H. (1981). Solitons and the inverse scattering transform. [[:en:Society for industrial and applied mathematics|SIAM]].</ref> などを除いて、[[偏微分方程式]]を手計算だけで厳密に解く技術はほとんどないに等しい。そのため多くの研究者たちが[[偏微分方程式]]を数値的に解く技術について研究をしてきた<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/>。
===差分法とその問題点===
{{main|差分法}}
[[偏微分方程式]]を数値的に解く技術の中で最も初歩的なものは[[差分法]]である。これは微分を差分で近似して解くというものである<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/>。
:<math>f^\prime(x)\simeq\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\quad h<<1.</math>
この方法で精度良く解けるということは少なからずあるが、万能な解法ではない。例えば
*[[KdV方程式]]
*[[mKdV方程式]]
*[[ナビエ・ストークス方程式]]
*[[非線形シュレディンガー方程式]]
などは非線形性によって[[差分法]]では精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 ([[精度保証付き数値計算#幻影解|幻影解]]) にたどり着く危険がある。そのため、[[有限要素法]]・[[有限体積法]]などのように[[差分法]]以外の方法が追求されると同時に<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/>、よりよい差分化を模索する動きが始まった。

===差分法の進化===
ここで言う「よりよい差分化」とは、元の方程式が持つ何らかの性質を保存した差分化のことである。着目する性質によって流派が異なる。
====可積分差分スキーム====
{{main|可積分アルゴリズム}}
[[広田良吾]]<ref group="A">R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 4116-4124.</ref><ref group="A">R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 2074-2078.</ref><ref group="A">R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 2079-2086.</ref><ref group="A">R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 45 (1978) 321-332.</ref><ref group="A">R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 46 (1979) 312-319.</ref>やAblowitzたち<ref name="as"/><ref group="A">M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, J. Math. Phys. 16 (1975) 598-603.</ref><ref group="A">M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, J. Math. Phys. 17 (1976) 1011-1018.</ref><ref group="A">M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, Stud. Appl. Math. 55 (1977) 213-229.</ref><ref group="A">M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, Stud. Appl. Math. 57 (1977) 1-12.</ref>は可積分性 ({{lang-en-short|Integrability}}, [[可積分系]]で最も重要視される性質) を保存する差分化スキームを開発した。これは今日では'''可積分差分スキーム'''として知られており、[[差分法]]などの標準的手法と比べて精度がよくなることもわかっている<ref group="A">T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 192-202.</ref><ref group="A">T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 203-230.</ref><ref group="A">T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 231-253.</ref><ref group="A">T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1988), 540-548.</ref>。差分間隔を自動で調整する可積分差分スキームも開発されている<ref group="A">Feng, B. F., Maruno, K. I., & Ohta, Y. (2010). A self-adaptive moving mesh method for the Camassa–Holm equation. [[:en:Journal of computational and applied mathematics]], 235(1), 229-243.</ref>。

====構造保存型数値解法====
一方で、多くの[[偏微分方程式]]は物理現象に由来しているので、[[保存則]]・散逸則など何らかの物理的性質を保存した差分化も考えられる。このような差分解法は'''構造保存型数値解法''' ({{lang-en-short|Structure Preserving Numerical Methods}}) と総称される<ref group="A">松尾宇泰, & 宮武勇登. (2012). 微分方程式に対する構造保存数値解法 (サーベイ, 科学技術計算と数値解析研究部会). [[日本応用数理学会]]論文誌, 22(3), 213-251.</ref><ref group="A">松尾宇泰. (2012). 構造保存差分スキームについて (Progress in Mathematics of Integrable Systems).</ref>。代表的なものとして、
*[[:en:symplectic integrator|シンプレティック数値解法]]<ref>Hairer, E., Lubich, C., & Wanner, G. (2006). Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. [[:en:Springer Science & Business Media]].</ref><ref>吉田春夫. (1995). シンプレクティック数値解法 (古典力学の輝き--未解決問題と新しい発見). 数理科学, 33(6), p37-46.</ref><ref group="A">佐々成正, 吉田春夫, [[非線形シュレディンガー方程式|非線形 Schrödinger 方程式]]に対する symplectic 数値解法, [[日本応用数理学会]]論文, 10 (2000), 119‐131.</ref>
*離散勾配法<ref group="A">Gonzalez, O., Time integration and discrete Hamiltonian systems, J. Nonlinear Sci., 6 (1996), 449‐467.</ref><ref group="A">Greenspan, D., Discrete Models, in Applied Mathematics and Computation, Addison‐Wesley Publishing Co., Reading, 1973</ref><ref group="A">ハミルトン方程式に対する離散勾配法のRiemann構造不変性 ([[日本応用数理学会]]論文誌 2016, Vol.26, No.4, pp.381-415) 石川歩惟, 谷口隆晴.</ref><ref group="A">A. Ishikawa and T. Yaguchi, Geometric investigation of the discrete gradient method for the Webster equation with a weighted inner product, JSIAM Lett., 7 (2015), 17-20.</ref><ref group="A">A. Ishikawa and T. Yaguchi, Invariance of Furihata's Discrete Gradient Schemes for the Webster Equation with Different Riemannian Structures, AIP Conf. Proc. 1648, 180003 (2015).</ref>
*離散変分法<ref name="fm" group="A">降籏大介, [[森正武]]. [[偏微分方程式]]に対する差分スキームの離散的変分による統一的導出. [[日本応用数理学会]]論文誌, 8 (1998), 317–-340.</ref><ref name="msfm" group="A">Takayasu Matsuo, Masaaki Sugihara, Daisuke Furihata, and Masatake Mori, Spatially Accurate Dissipative or Conservative Finite Difference Schemes Derived by the Discrete Variational Method, Japan J. Indust. Appl. Math., 19 (2002), 311-330.</ref>
*離散変分導関数法<ref>Furihata, D., & Matsuo, T. (2010). Discrete variational derivative method: a structure-preserving numerical method for partial differential equations. Chapman and Hall/CRC.</ref><ref group="A">金澤宏紀, 松尾宇泰, & 谷口隆晴. (2013). コンパクト差分に基づく離散変分導関数法 (理論). [[日本応用数理学会]]論文誌, 23(2), 203-232.</ref>
などがある。[[数値線形代数]]との関連も研究されている<ref group="A">Miyatake, Y., Sogabe, T., & Zhang, S. L. (2018). On the equivalence between SOR-type methods for linear systems and the discrete gradient methods for gradient systems. [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], 342, 58-69.</ref><ref group="A">宮武勇登, 曽我部知広, & 張紹良. (2017). 微分方程式に対する離散勾配法に基づく線形方程式の数値解法の生成. [[日本応用数理学会]]論文誌, 27(3), 239-249.</ref>。

====汎用解法====
可積分差分スキーム・構造保存型数値解法は高精度な解法だが、与えられた方程式の性質に依存するため、汎用性が低いという弱点がある。そのため現代でも、可積分差分スキーム・構造保存型数値解法の研究と並行して、高精度で汎用性のある[[差分法]]が研究されている。例えば、
* Shortley-Weller 近似<ref name="Yamamoto1"/><ref group="A">Bramble, J. H., & Hubbard, B. E. (1962). On the formulation of finite difference analogues of the Dirichlet problem for Poisson's equation. [[:en:Numerische Mathematik]], 4(1), 313-327.</ref><ref group="A">Matsunaga, N., & Yamamoto, T. (2000). Superconvergence of the Shortley–Weller approximation for Dirichlet problems. [[:en:Journal of computational and applied mathematics]], 116(2), 263-273.</ref><ref group="A">Yamamoto T. (2001) A New Insight of the Shortley-Weller Approximation for Dirichlet Problems. In: Alefeld G., Rohn J., Rump S., Yamamoto T. (eds) Symbolic Algebraic Methods and Verification Methods. Springer, Vienna</ref>
* Swarztrauber-Sweet 近似<ref name="Yamamoto1"/><ref group="A">Swarztrauber, P. N., & Sweet, R. A. (1973). The direct solution of the discrete Poisson equation on a disk. [[:en:SIAM Journal on Numerical Analysis]], 10(5), 900-907.</ref><ref group="A">Strikwerda, J. C., & Nagel, Y. M. (1986). A Numerical Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations in Three-Dimensional Cylindrical Geometry (No. MRC-TSR-2948). WISCONSIN UNIV-MADISON MATHEMATICS RESEARCH CENTER.</ref><ref group="A">Matsunaga, N., & Yamamoto, T. (1999). Convergence of swartztrauber-sweets approximation for the poisson-type equation on a disk. Numerical functional analysis and optimization, 20(9-10), 917-928.</ref>
* Ascher-Mattheij-Russell 差分公式<ref group="A">Fang, Q. (2006). Convergence of Ascher-Mattheij-Russell Finite Difference Method for a Class of Two-point Boundary Value Problems. INFORMATION, 9(4), 563.</ref><ref group="A">Zhang, X. Y. (2010). A New Ascher-Mattheij-Russell Type FDM for Nonlinear Two-point Boundary Value Problems. INFORMATION-AN INTERNATIONAL INTERDISCIPLINARY JOURNAL, 13(4), 1185-1194.</ref>
等がある。

==解の存在検証==
{{seealso|精度保証付き数値計算|計算機援用証明|ニュートン＝カントロビッチの定理}}
ここまで高精度に解く技術について説明したが、それと並行して「計算機で解の存在を検証する」という研究もおこなわれている<ref name="oishi">[[精度保証付き数値計算]]の基礎』[[大石進一]] 編著、コロナ社、2018年。</ref><ref name="nakao">{{cite book |author=Nakao, Mitsuhiro T; Plum, Michael; Watanabe, Yoshitaka |year=2019 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-13-7669-6 |title=Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations |publisher=Springer |doi=10.1007/978-981-13-7669-6 |ref=harv}}</ref><ref name="ny">中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算 チュートリアル: 応用数理最前線.</ref><ref name="nw">中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, [[サイエンス社]].</ref><ref group="B">中尾充宏. (2009). 偏微分方程式の解に対する数値的存在検証. [[電子情報通信学会]] 基礎・境界ソサイエティ Fundamentals Review, 2(3), 3_19-3_28.</ref>。このような研究が必要となるのは、近似解が求まったとしてもそれが幻影解である危険性があるからである。実際、すでに幻影解は報告されている<ref name="oishi"/><ref group="B">Breuer, B., Plum, M., & McKenna, P. J. (2001). "Inclusions and existence proofs for solutions of a nonlinear boundary value problem by spectral numerical methods." In Topics in Numerical Analysis (pp. 61–77). Springer, Vienna.</ref><ref group="B"> Gidas, B., Ni, W. M., & Nirenberg, L. (1979). "Symmetry and related properties via the maximum principle." Communications in Mathematical Physics, 68(3), 209–243.</ref>。解の存在検証に関する研究は活発に行われており<ref name="oishi"/><ref name="nakao"/><ref name="ny"/><ref name="nw"/><ref name="ol" group="B">Liu, X., & Oishi, S. (2013). Verified eigenvalue evaluation for the Laplacian over polygonal domains of arbitrary shape. [[:en:SIAM Journal on Numerical Analysis]], 51(3), 1634-1654.</ref><ref name="ol2013" group="B">Liu, X., & Oishi, S. (2013). Guaranteed high-precision estimation for <math>P_0</math> interpolation constants on triangular finite elements. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 30(3), 635-652.</ref><ref name="oishi1995" group="B">Oishi, S. (1995). Numerical verification of existence and inclusion of solutions for nonlinear operator equations. [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], 60(1-2), 171-185.</ref><ref name="oishi1994" group="B">Oishi, S. (1994). Two topics in nonlinear system analysis through fixed point theorems. IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, 77(7), 1144-1153.</ref>、2012年度[[日本数学会]][[秋季賞]]や2011年度[[日本応用数理学会]]論文賞<ref group="B"> Numerical verification method of solutions for elliptic equations and its application to the Rayleigh-Bénard problem, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics Vol.26, Issue 2-3, Oct. 2009, pp.443--463, Yoshitaka Watanabe(Kyushu University), Mitsuhiro T. Nakao(Kyushu University)</ref>を受賞している。
===固有値評価===
解の一意存在性検証など、偏微分方程式に関連する多くの問題は[[微分作用素]]の[[固有値]]評価と密接に関係している<ref name="oishi"/>。そのため、偏微分方程式の近似解法・誤差評価の研究と並行して、固有値問題の近似解法<ref group="A">Fox, L., Henrici, P., & Moler, C. (1967). Approximations and bounds for eigenvalues of elliptic operators. [[:en:SIAM Journal on Numerical Analysis]], 4(1), 89-102.</ref><ref group="A">Yuan, Q., & He, Z. (2009). Bounds to eigenvalues of the Laplacian on L-shaped domain by variational methods. [[:en:Journal of computational and applied mathematics]], 233(4), 1083-1090.</ref><ref group="A">Babuška, I., & Osborn, J. (1991). Eigenvalue problems.</ref><ref group="A">Bramble, J. H., & Osborn, J. E. (1973). Rate of convergence estimates for nonselfadjoint eigenvalue approximations. [[:en:Mathematics of computation]], 27(123), 525-549.</ref><ref group="A">Boffi, D., Brezzi, F., & Gastaldi, L. (2000). On the problem of spurious eigenvalues in the approximation of linear elliptic problems in mixed form. [[:en:Mathematics of computation]], 69(229), 121-140.</ref><ref group="A">Boffi, D., Duran, R. G., & Gastaldi, L. (1999). A remark on spurious eigenvalues in a square. Applied mathematics letters, 12(3), 107-114.</ref>・誤差評価<ref name="ol" group="B"/><ref group="B">Liu, X. (2015). A framework of verified eigenvalue bounds for self-adjoint differential operators. Applied Mathematics and Computation, 267, 341-355.</ref>について様々な研究がなされている。
===関連する関数解析学の概念===
*[[ニュートン＝カントロビッチの定理]]<ref name="oishi"/><ref name="nakao"/><ref name="ny"/><ref name="nw"/><ref group="B">Sekine, K., Takayasu, A., & Oishi, S. I. (2014). An algorithm of identifying parameters satisfying a sufficient condition of Plum's Newton-Kantorovich like existence theorem for nonlinear operator equations. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(1), 64-79.</ref>
*[[半群]]・[[解析半群]]<ref group="B">Mizuguchi, M., Takayasu, A., Kubo, T., & Oishi, S. I. (2017). A method of verified computations for solutions to semilinear parabolic equations using semigroup theory. [[:en:SIAM Journal on Numerical Analysis]], 55(2), 980-1001.</ref>
===関連ライブラリ・ソフトウェア===
* [https://verified.computation.jp/ VCP] [[C++]]で作成されたライブラリで, [[BLAS]]・[[LAPACK]]による高速化が可能である<ref group="B">関根晃太, "偏微分方程式の解の計算機援用存在証明法のための[[C++]]を用いた[[精度保証付き数値計算]]ライブラリの構築", 第59回プログラミング・シンポジウム</ref>
*[[:en:Chebfun]]<ref group="A">Driscoll, T. A., Hale, N., & Trefethen, L. N. (2014). Chebfun guide.</ref><ref group="A">
Platte, R. B., & Trefethen, L. N. (2010). Chebfun: a new kind of numerical computing. In Progress in industrial mathematics at ECMI 2008 (pp. 69-87). Springer, Berlin, Heidelberg.</ref><ref group="A">Hashemi, B., & Trefethen, L. N. (2017). Chebfun in three dimensions. [[:en:SIAM Journal on Scientific Computing]], 39(5), C341-C363.</ref><ref group="A">Wright, G. B., Javed, M., Montanelli, H., & Trefethen, L. N. (2015). Extension of Chebfun to periodic functions. [[:en:SIAM Journal on Scientific Computing]], 37(5), C554-C573.</ref>
====有限要素法====
* [[FreeFem++]]<ref group="A">Hecht, F. (2012). New development in [[FreeFem++]]. Journal of numerical mathematics, 20(3-4), 251-266.</ref><ref group="A">Hecht, F., Pironneau, O., Le Hyaric, A., & Ohtsuka, K. (2005). [[FreeFem++]] manual.</ref><ref group="A">Sadaka, G. (2012). [[FreeFem++]], a tool to solve PDEs numerically. arXiv preprint arXiv:1205.1293.</ref><ref group="A">大森克史, & 山口範和. [[FreeFem++]] と [[ParaView]] による非線形現象の可視化.</ref>
* [[:en:FEniCS Project]]<ref group="A">Alnæs, M., Blechta, J., Hake, J., Johansson, A., Kehlet, B., Logg, A., ... & Wells, G. N. (2015). The FEniCS project version 1.5. Archive of Numerical Software, 3(100).</ref><ref group="A">Dupont, T., Hoffman, J., Johnson, C., Kirby, R. C., Larson, M. G., Logg, A., & Scott, L. R. (2003). The fenics project. Chalmers Finite Element Centre, Chalmers University of Technology.</ref><ref>Logg, A., Mardal, K. A., & Wells, G. (Eds.). (2012). Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. [[:en:Springer Science & Business Media]].</ref><ref>Langtangen, H. P., Logg, A., & Tveito, A. (2016). Solving PDEs in Python: The FEniCS Tutorial I. Springer International Publishing.</ref>
**{{GitHub|FEniCS}}
**{{twitter|fenicsproject|FEniCS Project}}
* {{GitHub|certik/femhub}}
**{{twitter|femhubsocial|FEMhub}}
**{{instagram|femhubsocial|FEMhub}}

===これまで解の存在検証・計算機援用証明が行われた方程式===
* [[ポアソン方程式]]<ref name="oishi"/>
* [[アレン・カーン方程式]]<ref group="B">[[大石進一]] et. al. (2019). 半線形楕円型境界値問題の精度保証付き数値計算結果の改善. [[日本応用数理学会]]論文誌, 29(1), 17-45.</ref>
* [[ナビエ・ストークス方程式]]<ref group="B">Watanabe, Y., Yamamoto, N., & Nakao, M. T. (1999). A numerical verification method of solutions for the Navier-Stokes equations. In Developments in reliable computing (pp. 347-357). Springer, Dordrecht.</ref><ref group="B">Nakao, M. T., Hashimoto, K., & Kobayashi, K. (2007). Verified numerical computation of solutions for the stationary Navier-Stokes equation in nonconvex polygonal domains. Hokkaido Mathematical Journal, 36(4), 777-799.</ref>
* [[:en:Kuramoto–Sivashinsky equation]]<ref group="B">Wilczak, D. (2003). Chaos in the Kuramoto–Sivashinsky equations—a computer-assisted proof. Journal of Differential Equations, 194(2), 433-459.</ref><ref group="B">Zgliczynski, P. (2002). Attracting fixed points for the Kuramoto--Sivashinsky equation: A computer assisted proof. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 1(2), 215-235.</ref><ref group="B">Zgliczynski, P. (2004). Rigorous numerics for dissipative partial differential equations II. Periodic orbit for the Kuramoto–Sivashinsky PDE—a computer-assisted proof. Foundations of Computational Mathematics, 4(2), 157-185.</ref><ref group="B">Zgliczynski, P., & Mischaikow, K. (2001). Rigorous numerics for partial differential equations: The Kuramoto—Sivashinsky equation. Foundations of Computational Mathematics, 1(3), 255-288.</ref>
* [[:en:Orr–Sommerfeld equation]]<ref group="B">Lahmann, J. R., & Plum, M. (2004). A computer‐assisted instability proof for the Orr‐Sommerfeld equation with Blasius profile. ZAMM‐Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Applied Mathematics and Mechanics, 84(3), 188-204.</ref><ref group="B">Watanabe, Y., Plum, M., & Nakao, M. T. (2009). A computer‐assisted instability proof for the Orr‐Sommerfeld problem with Poiseuille flow. ZAMM‐Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Applied Mathematics and Mechanics, 89(1), 5-18.</ref><ref group="B">Watanabe, Y., Nagatou, K., Plum, M., & Nakao, M. T. (2011). A computer-assisted stability proof for the Orr-Sommerfeld problem with Poiseuille flow. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 2(1), 123-127.</ref><ref group="B">中尾充宏, & 渡部善隆. (2004). Orr-Sommerfeld 問題の解に対する計算機援用証明について (数学解析の理論的展開の計算機による支援・遂行可能性).</ref>
* [[バーガース方程式]]<ref group="B">Cyranka, J. (2015). Existence of globally attracting fixed points of viscous Burgers equation with constant forcing. A computer assisted proof. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 45(2), 655-697.</ref><ref group="B">Cyranka, J., & Zgliczynski, P. (2015). Existence of globally attracting solutions for one-dimensional viscous Burgers equation with nonautonomous forcing-A computer assisted proof. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 14(2), 787-821.</ref>
*[[:en:heat equation|熱方程式]]<ref group="B">A. Takayasu, M. Mizuguchi, T. Kubo, and S. Oishi: "Accurate method of verified computing for solutions of semilinear heat equations", Reliable computing, Vol. 25, pp. 74-99, July 2017.</ref><ref group="B">Mizuguchi, M., Takayasu, A., Kubo, T., & Oishi, S. I. (2014, September). A sharper error estimate of verified computations for nonlinear heat equations. In SCAN 2014 Book of Abstracts (p. 119-120).</ref><ref group="B">Mizuguchi, M., Kubo, T., Takayasu, A., & Oishi, S. (2013) A priori error estimate of inhomogeneous heat equations using rational approximation of semigroups. Japan Society for Simulation Technology.</ref>
*[[移流#移流方程式|移流方程式]] ([[:en:advection#the advection equation|en]])<ref group="B">Takayasu, A., Yoon, S., & Endo, Y. (2019). Rigorous numerical computations for 1D advection equations with variable coefficients. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 36(2), 357-384.</ref>

==主な研究者==
===日本===
* [[森正武]] (構造保存型数値解法の研究に従事<ref name="fm" group="A"/><ref name="msfm" group="A"/>)
* [[大石進一]] (解の存在検証技術に貢献<ref name="oishi"/><ref name="ol" group="B"/><ref name="ol2013" group="B"/><ref name="oishi1995" group="B"/><ref name="oishi1994" group="B"/>)
* [[村島定行]] ([[代用電荷法]]を確立<ref group="A">代用電荷法とその応用　POD版 (2008) [[村島定行]](著), [[森北出版]].</ref>)

===海外===
* [[イズライル・ゲルファント]] (差分解法を開発<ref name="Yamamoto1"/>)
* [[ピーター・ラックス]] ([[:en:Lax–Friedrichs method|ラックス・フリードリヒ法]]、[[:en:Lax–Wendroff method|ラックス・ウェンドロフ法]]で知られる)
* [[ジョン・フォン・ノイマン]] ([[:en:Neumann-Dirichlet method|ノイマン・ディリクレ法]]、[[:en:Neumann-Neumann methods|ノイマン・ノイマン法]]で知られる)
* [[ペーター・ドイフルハード]] (論文・著書を多数執筆<ref>Deuflhard, P., & Weiser, M. (2012). Adaptive numerical solution of PDEs. Walter de Gruyter.</ref>)

==出典==
{{reflist}}
===離散化・近似解法に関する論文===
{{Reflist|group="A"|2}}
===精度保証・計算機援用証明に関する論文===
{{Reflist|group="B"|2}}

==参考文献==
===和書===
{{Div col|rules=yes}}
* 菊池文雄、斎藤宜一：[[数値解析]]の原理、[[岩波書店]]　(2016年）.
* 山本哲朗：「境界値問題と行列解析」、[[朝倉書店]]（朝倉数学大系 7）、(2014年11月)。
* 田端正久：「偏微分方程式の数値解析」、[[岩波書店]] 、ISBN 978-4-00-005979-4 (2010年).
* 三井斌友 et. al.：「微分方程式による計算科学入門」、[[共立出版]]（2004年）。
* 神谷紀生、北栄輔：「偏微分方程式の数値解法」、共立出版（工系数学講座 11）、{{ISBN2|978-4-320-01610-1}}, (1998年)。
* S. J. Farlow(著)、[[伊理正夫]]・伊理由美(訳)：「偏微分方程式：科学者・技術者のための使い方と解き方」, 朝倉書店、{{ISBN2|978-4-254-11071-5}}（1996年12月）。
* 登坂宣好、大西和榮：「[[偏微分方程式]]の数値シミュレーション」、[[東京大学出版会]]（2003年)。
* 山崎郭滋(著) :「偏微分方程式の数値解法入門」、[[森北出版]] (1993年).
{{Div col end}}
====有限要素法====
{{Div col|rules=yes}}
* [[森正武]]： [[有限要素法]]とその応用. [[岩波書店]]（1986年）.
* 菊池文雄： [[有限要素法]]概説 [新訂版]. [[サイエンス社]]（1999年）.
* 菊池文雄： [[有限要素法]]の数理. [[培風館]]（1994年）.
* O.C. Zienkiewicz、K. Morgan(著) ; [[伊理正夫]]、伊理由美(訳)：「有限要素と近似」、ワイリー・ジャパン、[[啓学出版]]（1984年11月）。原題: Finite elements and approximation.
* 高石武史：「[[有限要素法]]で学ぶ現象と数理：[[FreeFem++]]数理思考プログラミング」、[[共立出版]]。
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====境界要素法====
* J. T. カチカデーリス(著）、田中正隆、荒井雄理(訳)：「[[境界要素法]]：基本と応用」、朝倉書店、{{ISBN2|978-4-254-23104-5}}、(2004年10月)。

====スペクトル法====
* 石岡圭一：「[[:en:spectral method|スペクトル法]]による数値計算入門」, [[東京大学出版会]].

===洋書===
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====有限要素法====
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* Strang, G., & Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method. Englewood Cliffs, NJ: [[:en:Prentice Hall|Prentice-hall]].
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* Braess, D. (2007). Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics. [[Cambridge University Press]].
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====有限差分法====
* Smith, G. D. (1985). Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods. [[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]].
* Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.
====有限体積法====
{{seealso|有限体積法}}
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====境界要素法====
{{seealso|境界要素法}}
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* Katsikadelis, John T. (2002), Boundary Elements Theory and Applications, Amsterdam: Elsevier, pp. XIV+336, {{ISBN2|978-0-080-44107-8}}.
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====スペクトル法====
{{seealso|:en:spectral method}}
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* Lloyd N. Trefethen (2000) Spectral Methods in [[MATLAB]]. SIAM, Philadelphia, PA.
* D. Gottlieb and S. Orzag (1977) "Numerical Analysis of Spectral Methods : Theory and Applications", SIAM, Philadelphia, PA.
* J. Hesthaven, S. Gottlieb and D. Gottlieb (2007) "Spectral methods for time-dependent problems", Cambridge UP, Cambridge, UK.
* Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., and Zang T.A. (2006) Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
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====構造保存型数値解法====
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* Sanz‐Serna, J. M. and Calvo, M. P., Numerical Hamiltonian Problems, Applied Mathematics and Mathematical Computation 7, Chapman & Hall, London, 1994.
* Arnold, D. N., Bochev, P. B., Lehoucq, R. B., Nicolaides, R. A. and Shashkov, M. (eds.), Compatible Spatial Discretizations, in The IMA Volumes in Mathematics and Its Applications, Springer, New York, 2006.
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* Jan S. Hesthaven: "Numerical Methods for Conservation Laws: From Analysis to Algorithms", SIAM, ISBN 978-1-611975-09-3 (2018).
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==外部リンク==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[http://probabilistic-numerics.org/index.html Probabilistic-Numerics.org]、[[確率論]]を取り入れた偏微分方程式の数値解法 ({{lang-en-short|Probabilistic Integrator}}) に関する情報をまとめたサイト
===解説記事===
*{{PDFlink|[https://271.jp/PDF/2014seminar.pdf 楕円型連立半線形偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算法]}}
*{{PDFlink|[https://271.jp/PDF/2018seminar.pdf 偏微分方程式の精度保証付き数値計算法:半線形楕円型境界値問題]}}
*{{PDFlink|[http://www.infsup.jp/saito/materials/pde19a.pdf Introduction to Numerical Analysis for Partial Differential Equations]}}
*{{PDFlink|[http://www.oishi.info.waseda.ac.jp/seminar/171226jsiam1.pdf (偏微分方程式の) 数値計算の落とし穴]}}
===研究グループ===
*[https://sites.google.com/site/utmsnumericalanalysis/ Numerical Analysis Group at the Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo] ([[東京大学大学院数理科学研究科]]内にある非線形偏微分方程式の数値解法に関する研究グループ)
*[http://www.sr3.t.u-tokyo.ac.jp/ 数値情報学研究室（数理情報第3研究室）] ([[東京大学大学院工学系研究科・工学部|東京大学工学部]]計数工学科内にある非線形偏微分方程式の数値解法に関する研究グループ、[[杉原正顯]]がかつて教授を務めていた)
*[http://scna.jsiam.org/ 科学技術計算と数値解析] ([[日本応用数理学会]]の研究部会)

===精度保証付き数値計算===
*[http://mathsoc.jp/office/prize/haruaki/nakao2012aki.html 精度保証付き数値計算の研究及びその偏微分方程式への応用]、2012年度[[日本数学会]][[秋季賞]]
*[http://www.hit-u.ac.jp/hq-mag/research_issues/264_20180405/ 精度保証付き数値計算と水面波方程式]、[[一橋大学]]ウェブマガジン (2015年1月)
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-11J07191/ 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算法の発展]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-15K17596/ 非線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算理論の研究]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-18K13453/ 双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算理論の研究]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-16H03950/ 有限要素法に基づく精度保証付き数値計算の高度化に関する研究]

===構造保存型数値解法===
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-17K05376/ 流体力学における構造保存型数値解法の開発]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-17H02826/ モデル縮減に基づく新世代高速構造保存数値計算法の創出]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-16K17550/ 微分方程式に対する汎用的並列構造保存数値解法の基礎理論構築と数値的検証]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-22760060/ ハミルトン偏微分方程式に対する新しいエネルギー保存数値解法と離散解析力学の構築]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-25287030/ 離散関数解析と変分理論からなる差分法の基礎理論構築]
{{偏微分方程式の数値解法}}
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[[Category:数値微分方程式]]
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