偏相関のソースを表示

{{Expand English|Partial correlation|date=2020年12月}}

'''偏相関'''（へんそうかん、{{lang-en-short|partial correlation}}）は、別の交絡因子による影響を取り除いた関心のある2つの変数の間の[[相関]]を表す概念である。[[ピアソンの積率相関係数]]を使用すると、別の交絡因子がある場合に誤解を招く結果が得られる。この誤解を招く情報は、偏相関係数を計算し交絡変数を制御することによって回避できる。

偏相関係数は、ピアソンの積率相関係数と同様に、–1から1の範囲の値を取る。偏相関係数の値が–1のときは、別の交絡因子による影響を取り除いた完全な負の相関（線形関係）を表す。偏相関係数の値が1のときは完全な正の相関（線形関係）を表し、値が0のときは線形関係がないことを表す。

== 定義 ==
''n'' 個の制御変数 '''Z''' = {''Z''<sub>1</sub>, ''Z''<sub>2</sub>, ..., ''Z''<sub>''n''</sub>} が与えられた場合の ''X'' と ''Y'' の間の偏相関 ''ρ''<sub>''XY''·'''Z'''</sub> は、''e''<sub>''X''</sub>（''X'' を '''Z''' で線形回帰したときの残差）と ''e''<sub>''Y''</sub>（''Y'' を '''Z''' で線形回帰したときの残差）の相関である。

== 計算 ==
関連する2つの線形回帰問題を解き、残差を取得し、残差間の相関を計算する。

=== 線形回帰の使用 ===

==== 例 ====
{| class="wikitable"
|-
! X !! Y !! Z 
|-
| 2 || 1 || 0 
|-
| 4 || 2 || 0
|-
| 15 || 3 || 1
|-
| 20 || 4 || 1
|}


<syntaxhighlight lang="rout">
> X = c(2,4,15,20)
> Y = c(1,2,3,4)
> Z = c(0,0,1,1)
> mm1 = lm(X~Z)
> res1 = mm1$residuals
> mm2 = lm(Y~Z)
> res2 = mm2$residuals
> cor(res1,res2)
[1] 0.919145
> cor(X,Y)
[1] 0.9695016
> generalCorr::parcorMany(cbind(X,Y,Z))
                 
     nami namj partij   partji rijMrji  
[1,] "X"  "Y"  "0.8844" "1"    "-0.1156"
[2,] "X"  "Z"  "0.1581" "1"    "-0.8419"

</syntaxhighlight>

=== 再帰式の使用 ===
<math>\rho_{XY\cdot \mathbf{Z} } =
        \frac{\rho_{XY\cdot\mathbf{Z}\setminus\{Z_0\}} - \rho_{XZ_0\cdot\mathbf{Z}\setminus\{Z_0\}}\rho_{Z_0Y\cdot\mathbf{Z}\setminus\{Z_0\}}}
             {\sqrt{1-\rho_{XZ_0\cdot\mathbf{Z}\setminus\{Z_0\}}^2} \sqrt{1-\rho_{Z_0Y\cdot\mathbf{Z}\setminus\{Z_0\}}^2}}.</math>

<math>\rho_{XY\cdot Z}=
        \frac{\rho_{XY}-\rho_{XZ}\rho_{ZY}}
             {\sqrt{1-\rho_{XZ}^2}\sqrt{1-\rho_{ZY}^2}}</math>

=== 逆行列の使用 ===

: <math>\rho_{X_iX_j\cdot \mathbf{V} \setminus \{X_i,X_j\}} = - \frac{p_{ij}}{\sqrt{p_{ii}p_{jj}}}.</math>

== 解釈 ==
[[File:PartialCorrelationGeometrically.svg|frame|''N'' = 3 の観測データがあり、2次元の超平面がある場合の偏相関の幾何学的解釈]]

=== 幾何学的 ===


=== 条件付き独立性テストとして ===
参照：[[フィッシャー変換]]

<math>z(\hat{\rho}_{XY\cdot\mathbf{Z}}) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+\hat{\rho}_{XY\cdot\mathbf{Z}}}{1-\hat{\rho}_{XY\cdot\mathbf{Z}}}\right).</math>

<math>\sqrt{N - |\mathbf{Z}| - 3}\cdot |z(\hat{\rho}_{XY\cdot\mathbf{Z}})| > \Phi^{-1}(1-\alpha/2),</math>

== 半偏相関（部分相関） ==

== 時系列分析で使用 ==
<math>\varphi(h)= \rho_{X_0X_h\,\cdot\, \{X_1,\,\dots\,,X_{h-1} \}}. </math>

== 関連項目 ==

* [[線形回帰]]
* [[条件付き独立]]
* [[重相関|多重相関]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
{{wikiversity}}

* {{SpringerEOM|id=Partial_correlation_coefficient&oldid=14288|title=Partial correlation coefficient|first=A.V.|last=Prokhorov}}
* Mathematical formulae in the "Description" section of the [https://web.archive.org/web/20140526130544/http://www.roguewave.com/portals/0/products/imsl-numerical-libraries/fortran-library/docs/7.0/stat/stat.htm IMSL Numerical Library PCORR routine]
* A [https://web.archive.org/web/20170728094342/http://faculty.vassar.edu/lowry/ch3a.html three-variable example]

{{統計学}}

{{DEFAULTSORT:へんそうかん}}
[[Category:多変量統計]]
[[Category:統計量]]
[[Category:時系列分析]]